2017九年级上册数学期末试卷（附答案）
24.如图，对称轴为直线x= 的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4).
(1)求抛物线解析式及顶点坐标;
(2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形?
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形?若存在，求出点E的坐标;若不存在，请说明理由.
考点： 二次函数综合题.
专题： 压轴题.
分析： (1)已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A、B两点坐标代入求解即可.
(2)平行四边形的面积为三角形OEA面积的2倍，因此可根据E点的横坐标，用抛物线的解析式求出E点的纵坐标，那么E点纵坐标的绝对值即为△OAE的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE的面积与x的函数关系式进而可得出S与x的函数关系式.
①将S=24代入S，x的函数关系式中求出x的值，即可得出E点的坐标和OE，OA的长;如果平行四边形OEAF是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形OEAF是否为菱形.
②如果四边形OEAF是正方形，那么三角形OEA应该是等腰直角三角形，即E点的坐标为(3，﹣3)将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E点.
解答： 解：(1)因为抛物线的对称轴是x= ，
设解析式为y=a(x﹣ )2+k.
把A，B两点坐标代入上式，得 ，
解得a= ，k=﹣ .
故抛物线解析式为y= (x﹣ )2﹣ ，顶点为( ，﹣ ).
(2)∵点E(x，y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y= (x﹣ )2﹣ ，
∴y<0，
即﹣y>0，﹣y表示点E到OA的距离.
∵OA是OEAF的对角线，
∴S=2S△OAE=2× ×OA•|y|=﹣6y=﹣4(x﹣ )2+25.
因为抛物线与x轴的两个交点是(1，0)和(6，0)，
所以自变量x的取值范围是1
①根据题意，当S=24时，即﹣4(x﹣ )2+25=24.
化简，得(x﹣ )2= .
解得x1=3，x2=4.
故所求的点E有两个，
分别为E1(3，﹣4)，E2(4，﹣4)，
点E1(3，﹣4)满足OE=AE，
所以平行四边形OEAF是菱形;
点E2(4，﹣4)不满足OE=AE，
所以平行四边形OEAF不是菱形;
②当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，
此时点E的坐标只能是(3，﹣3)，
而坐标为(3，﹣3)的点不在抛物线上，
故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形.
点评： 本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的性质、菱形和正方形的判定等知识.综合性强，难度适中.
【2017九年级上册数学期末试卷（附答案）】相关文章：