昌平区高二上学期理科数学期末考试题及答案
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(满分150分，考试时间 120分钟)
考生须知：
1. 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2. 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3. 答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4. 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。
5. 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.)
(1)抛物线 的焦点到准线的距离为
(A) (C) (C) (D)
(2)过点 且倾斜角为 的直线方程为
(A) ( B)
( C) ( D)
(3)若命题 是真命题，命题 是假命题，则下列命题一定是真命题的是
(A) (B) (C) (D)
(4)已知平面 和直线 ，若 ，则“ ”是“ ”的
(A)充分而不必要条件 ( B)必要而不充分条件
( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(5)如图，在正方体 中，点 分别是面对角线 的中点，若 则
(A) ( B)
( C) ( D)
(6)已知双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
(A) ( B) ( C) ( D)
(7)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是
(A)
( B)
(8)从点 向圆 作切线，当切线长最短时 的值为
(A) (B) (C) (D)
(9)已知点 是椭圆 的焦点，点 在椭圆 上且满足 ，
则 的面积为
(A) (B) (C) (D)
(10) 如图，在棱长为1的正方体 中，点 是左侧面 上的一个动点，满足 ，则 与 的夹角的最大值为
(A)
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
(11)若命题 ，则 .
(12) 已知 ， ，则 ______________.
(13)若直线 与直线 平行，则 的值为____ .
(14)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设 ，
， 是 的中点，则 所成角的
大小为____________， ___________.
(15)已知 是抛物线 上的一点，过点 向其准线作垂线交于点 ，定点 ，则
的最小值为_________;此时点 的坐标为_________ .
(16)已知直线 .若存在实数 ，使直线 与曲线 交于 两点，
且 ，则称曲线 具有性质 .给定下列三条曲线方程：
① ; ② ; ③ .
其中，具有性质 的曲线的序号是________________ .
三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
(17)(本小题满分14分)
已知圆 .
(I)求过点 的圆 的`切线方程;
(II)若直线 与圆 相交于 两点，且弦 的长为 ，求 的值.
(18)(本小题满分14分)
在直平行六面体 中，底面 是菱形， ， ， .
(I)求证： ;
(II)求证： ;
(III)求三棱锥 的体积.
(19)(本小题满分14分)
已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程;
(Ⅱ)如果过点 的直线与椭圆交于 两点( 点与 点不重合)，求证： 为
直角三角形.
(20)(本小题满分14分)
如图，在四棱锥 中， ，底面 为直角梯形， ，过 的平面分别交 于 两点.
(I)求证： ;
(II)若 分别为 的中点，
①求证： ;
②求二面角 的余弦值.
(21)(本小题满分14分)
抛物线 与直线 相切， 是抛物线上两个动点， 为抛物线的焦点，且 .
(I) 求 的值;
(II) 线段 的垂直平分线 与 轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由;
(III)求直线 的斜率的取值范围.
数学试卷参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D B D A A D C C
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
(11) (12) (13) 或
(14) ; (15) ; (16)②③
三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
(17)(本小题满分14分)
解：(I)圆 的方程可化为 ，圆心 ，半径是 . …2分
①当切线斜率存在时，设切线方程为 ，即 . ……3分
因为 ，
所以 . …………6分
②当切线斜率不存在时，直线方程为 ，与圆 相切. ……… 7分
所以过点 的圆 的切线方程为 或 . ………8分
(II)因为弦 的长为 ，
所以点 到直线 的距离为 . ……10分
即 . …………12分
所以 . …………14分
(18)(本小题满分14分)
证明：(I) 如图，在直平行六面体 中，
设 ，连接 .
因为 ，
所以四边形 是平行四边形.
所以 . ……1分
因为底面 是菱形，
所以 .
所以四边形 是平行四边形.
所以 . ……2分
因为 ，
所以 . ……4分
(II)因为 ， ，
所以 . ……5分
因为底面 是棱形，
所以 . ……6分
因为 ，
所以 . ……7分
因为 ， ……8分
所以 . ……9分
(III)由题意可知， ，
所以 为三棱锥 的高. ……10分
因为 .
所以三棱锥 的体积为 . ……14分
(19)(本小题满分14分)
解：(Ⅰ)因为椭圆经过点 ， ，
所以 . ……1分
由 ，解得 . ……3分
所以椭圆 的标准方程为 . ……4分
(Ⅱ)若过点 的直线 的斜率不存在，此时 两点中有一个点与 点重合，不满足题目条件. ……5分
若过点 的直线 的斜率存在，设其斜率为 ，则 的方程为 ，
由 可得 . ……7分
设 ，则
， ……9分
所以 ，
. ……11分
因为 ，
所以
所以 , 为直角三角形得证. ……14分
(20)(本小题满分14分)
证明：(I)因为底面 为直角梯形，
所以 .
因为
所以 . ……2分
因为 ，
所以 . ……4分
(II)①因为 分别为 的中点， ，
所以 . ……5分
因为
所以 .
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
所以 . ……7分
因为 ，
所以
因为 ，
所以 . ……9分
②如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 . ……10分
则 . ……11分
由(II)可知， ，
所以 的法向量为 . ……12分
设平面 的法向量为
因为 ， ,
所以 .即 .
令 ，则 ， .
所以
所以 .
所以二面角 的余弦值为 . ……14分
(21)(本小题满分14分)
解:(I)因为抛物线 与直线 相切，
所以由 得： 有两个相等实根. …2分
即 得： 为所求. ……4分
(II)法一：
抛物线 的准线 .且 ，
所以由定义得 ，则 . ………5分
设直线 的垂直平分线 与 轴的交点 .
由 在 的垂直平分线上，从而 ………6分
即 .
所以 .
即 ………8分
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，
所以点 的坐标为 .
即直线 的垂直平分线 与 轴的交点为定点 . ………10分
法二：
由 可知直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 .
由 可得 . ………5分
所以 . ………6分
因为抛物线 的准线 .且 ，
所以由定义得 ，则 . ………7分
所以 .
设线段 的中点为 .
则 .
所以 . ………8分
所以线段 的垂直平分线的方程为 . ………9分
令 ，可得 .
即直线 的垂直平分线 与 轴的交点为定点 . ………10分
(III)法一：
设直线 的斜率为 ，由(II)可设直线 方程为 .
设 的中点 ，由 .可得 .
因为直线 过点 ，
所以 . ………11分
又因为点 在抛物线 的内部，
所以 . …12分
即 ，则 .
因为 ，则 . …13分
所以 的取值范围为 . ………14分
法二：
设直线 的斜率为 ，则 .
由(II)可知 .
因为 ，即 ， …11分
所以 .
所以 .
即 .
所以 . …12分
因为 ，则 . …13分
所以 的取值范围为 . ………14分
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