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正定名校高二上学期数学期末考试题及答案
现如今，我们都不可避免地要接触到考试题，借助考试题可以更好地对被考核者的知识才能进行考察测验。相信很多朋友都需要一份能切实有效地帮助到自己的考试题吧？下面是小编为大家收集的正定名校高二上学期数学期末考试题及答案，欢迎大家分享。
正定名校高二上学期数学期末考试题及答案 1
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2.复数 ( )
A. B. C. D.
3.抛物线 的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
4. ( )
A. B. C.0 D.
5.曲线 在 处的切线平行于直线 ，则 点坐标为( )
A. B. C. 或 D. 或
6.已知函数 ，若将函数 的图像向左平移 个单位后所得图像对应的函数为偶函数，则实数 ( )
A. B. C. D.
7.已知 是不等式组 表示的平面区域内的一点， ，O为坐标原点，则 的最大值( )
A. B. C. D.
8.分配 名水暖工去 个不同的居民家里检查暖气管道. 要求 名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
9. 已知 展开式中各项系数和为625，则展开式中含 项的系数为( )
A. B. C. D.
10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
11.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与双曲线 的右支相交于 两点，若 ，且 ，则双曲线的`离心率 ( )
A. B. C. D.
12.已知数列 满足： ，则 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.在正项等比数列 中，前 项和为 ___________.
14.设向量 与 的夹角为 ,且 ,则 ___________.
15.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 个程序，其中程序 只能出现在第一或最后一步，程序 和 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 ___________种(用数字作答).
16.已知函数 的导函数为 ，若使得 成立的 ，则实数 的取值范围为___________.
三、解答题: (本大题共6小题，共70分.)
17.(本题满分10分)等差数列 中,
(1)求 的通项公式;
(2)设
18.(本题满分12分)在 中，已知角 、 、 的对边分别为 ，且 。
(1)求 的大小;
(2)若 ，试判断 的形状.
19.(本题满分12分)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组 ， ，…， 后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求分数在 内的频率;
(2)估计本次考试的平均分;
(3)用分层抽样的方法在分数段为 的学生中抽取一个容量为 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取 人，求至多有 人在分数段 内的概率.
20.(本题满分12分)如图：四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，平面 平面 ， ， , 分别为线段 和 的中点.
(1) 求证： 平面 ;
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得平面 和平面 所成二面角的大小为 ?若存在，试确定 的位置;若不存在，请说明理由.
21. (本题满分12分)已知两点 ，直线AM、BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为 .
(1)求点M的轨迹方程;
(2)记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q、R，求△OQR的面积的最大值(其中点O为坐标原点).
22.(本题满分12分)
设 为实数，函数
(1)当 时，求 在 上的最大值;
(2)设函数 ，当 有两个极值点 时，总有 ，求实数 的值.
答案
一BACCC DDCAA DB
二13. 14. 15. 96 16.
三17.解(Ⅰ)设等差数列 的公差为d,则
因为 ,所以 .
解得, .
所以 的通项公式为 .
(Ⅱ) ,
所以 .
18.解：(1)
(2)
又
又 是等边三角形
19.解：(1)分数在[120，130)内的频率为
1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3.
(2)估计平均分为
=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121.
(3)由题意，[110，120)分数段的人数为60×0.15=9(人).
在[120，130)分数段的人数为60×0.3=18(人).
∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130)的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110，120)分数段内抽取2人，并分别记为m，n;
在[120，130)分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d;设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130)内”为事件A，则基本事件共有{m，n}，{m，a}，…，{m，d}，{n，a}，…，{n，d}，{a，b}，…，{c，d}，共15个.
则事件A包含的基本事件有{m，n}，{m，a}，{m，b}，{m，c}，{m，d}，{n，a}，{n，b}，{n，c}，{n，d}，共9个.
∴P(A)= = .
20.(1)取PA中点为H，连结CE、HE、FH，
因为H、E分别为PA、PD的中点，所以HE∥AD, ,
因为ABCD是平行四边形，且F为线段BC的中点
所以FC∥AD,
所以HE∥FC, 四边形FCEH是平行四边形 所以EC∥HF
又因为
所以CE∥平面PAF ……………4分
(2)因为四边形ABCD为平行四边形且∠ACB=90°，
所以CA⊥AD 又由平面PAD⊥平面ABCD可得
CA⊥平面PAD 所以CA⊥PA
由PA=AD=1，PD= 可知，PA⊥AD…………5分
所以可建立如图所示的平面直角坐标系A-xyz
因为PA=BC=1，AB= 所以AC=1
所以
假设BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC
所成二面角的大小为60°，
设点G的坐标为(1，a，0)，
所以
设平面PAG的法向量为
则 令
所以
又
设平面PCG的法向量为
则 令 所以
因为平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，所以
所以 又 所以
所以线段BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°点G即为B点.
21.解：(1)设点 ，
整理得点M所在的曲线C的方程： ( )
(2)由题意可得点P( )
直线PQ与直线PR的斜率互为相反数
设直线PQ的方程为 ，
与椭圆方程联立消去 ，得：
，
由于 1是方程的一个解，
所以方程的另一解为 同理
故直线RQ的斜率为 =
把直线RQ的方程 代入椭圆方程，消去 整理得
所以
原点O到直线RQ的距离为
.
22.(1)当 时， ，
则 ，
∴当 时， ，这时 单调递增，
当 时， ，这时 单调递减，
∴ 在 的极大值是 .
(2)由题意可知 ，则 .
根据题意，方程 有两个不同的实根 ，
∴ ，即 ，且 .
由 ，其中 ，
可得 ，
注意到 ，
∴上式化为 ，
即不等式 对任意的 恒成立，
(i)当 时，不等式 恒成立， ;
(ii)当 时， 恒成立，即 ，
令函数 ，显然， 是 上的减函数，
∴当 时， ，∴ ，
(iii)当 时， 恒成立，即 ，
由(ii)，当 时， 即 ，
综上所述， .
正定名校高二上学期数学期末考试题及答案 2
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知函数\(f(x)\)在\(x = 1\)处的导数\(f^\prime(1)=2\)，则\(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1 + \Delta x)-f(1)}{2\Delta x}\)的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】A
【分析】根据导数定义，\(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f^\prime(x_0)\)，对所给式子进行变形，\(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1 + \Delta x)-f(1)}{2\Delta x}=\frac{1}{2}\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1 + \Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)，因为\(f^\prime(1)=2\)，所以\(\frac{1}{2}\times2 = 1\)，故选 A。
圆\(C_1\)：\(x^2 + y^2 - 2x = 0\)与圆\(C_2\)：\(x^2 + y^2 + 4y = 0\)的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切
【答案】B
【分析】将圆\(C_1\)方程化为标准方程：\((x - 1)^2 + y^2 = 1\)，圆心\(C_1(1,0)\)，半径\(r_1 = 1\)；圆\(C_2\)方程化为标准方程：\(x^2+(y + 2)^2 = 4\)，圆心\(C_2(0,-2)\)，半径\(r_2 = 2\)。两圆心之间的距离\(d=\sqrt{(1 - 0)^2+(0 + 2)^2}=\sqrt{5}\)，\(r_2 - r_1 = 1\)，\(r_1 + r_2 = 3\)，因为\(1\lt\sqrt{5}\lt3\)，所以两圆相交，故选 B。
在空间直角坐标系中，已知\(A(1,0,0)\)，\(B(0,1,0)\)，\(C(0,0,1)\)，则平面\(ABC\)的一个法向量可以是（ ）
A. \((1,1, - 1)\) B. \((1, - 1,1)\) C. \(( - 1,1,1)\) D. \(( - 1, - 1, - 1)\)
【答案】D
【分析】设平面\(ABC\)的法向量为\(\overrightarrow{n}=(x,y,z)\)，\(\overrightarrow{AB}=( - 1,1,0)\)，\(\overrightarrow{AC}=( - 1,0,1)\)。由法向量定义\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\)且\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)，即\(\begin{cases}-x + y = 0\\-x + z = 0\end{cases}\)，令\(x = - 1\)，则\(y = - 1\)，\(z = - 1\)，所以平面\(ABC\)的一个法向量可以是\(( - 1, - 1, - 1)\)，故选 D。
已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_{n + 1}=2a_n\)，\(a_1 = 1\)，则\(a_5\)的值为（ ）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
【答案】A
【分析】由\(a_{n + 1}=2a_n\)，\(a_1 = 1\)可知数列\(\{a_n\}\)是以\(1\)为首项，\(2\)为公比的等比数列，根据等比数列通项公式\(a_n=a_1q^{n - 1}\)（\(q\)为公比），则\(a_5 = 1\times2^{5 - 1}=16\)，故选 A。
已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt b\gt0)\)的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且过点\((\sqrt{3},\frac{1}{2})\)，则该椭圆的方程为（ ）
A. \(\frac{x^2}{4}+y^2 = 1\) B. \(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1\) C. \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\) D. \(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1\)
【答案】A
【分析】因为离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)（\(c\)为半焦距），即\(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)，又\(a^2 = b^2 + c^2\)，所以\(b^2 = a^2 - c^2 = a^2-\frac{3}{4}a^2=\frac{1}{4}a^2\)，椭圆方程可化为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1\)。把点\((\sqrt{3},\frac{1}{2})\)代入得\(\frac{(\sqrt{3})^2}{a^2}+\frac{4\times(\frac{1}{2})^2}{a^2}=1\)，即\(\frac{3}{a^2}+\frac{1}{a^2}=1\)，解得\(a^2 = 4\)，则\(b^2 = 1\)，所以椭圆方程为\(\frac{x^2}{4}+y^2 = 1\)，故选 A。
已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一条渐近线方程为\(y = 2x\)，则该双曲线的离心率为（ ）
A. \(\sqrt{5}\) B. \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) C. \(\sqrt{3}\) D. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
【答案】A
【分析】双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，已知一条渐近线方程为\(y = 2x\)，则\(\frac{b}{a}=2\)，即\(b = 2a\)。离心率\(e=\frac{c}{a}\)，且\(c^2 = a^2 + b^2\)，把\(b = 2a\)代入得\(c^2 = a^2 + 4a^2 = 5a^2\)，即\(c=\sqrt{5}a\)，所以离心率\(e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}\)，故选 A。
已知抛物线\(y^2 = 2px(p\gt0)\)的焦点为\(F\)，点\(M\)在抛物线上，且\(|MF| = 5\)，若点\(M\)到\(y\)轴的距离为\(4\)，则\(p\)的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】A
【分析】抛物线\(y^2 = 2px(p\gt0)\)的准线方程为\(x = -\frac{p}{2}\)，由抛物线定义知，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离。已知点\(M\)到\(y\)轴距离为\(4\)，则点\(M\)横坐标为\(4\)，又\(|MF| = 5\)，所以\(4+\frac{p}{2}=5\)，解得\(p = 2\)，故选 A。
已知正方体\(ABCD - A_1B_1C_1D_1\)的棱长为\(2\)，点\(E\)是棱\(CC_1\)的中点，点\(P\)在正方形\(BCC_1B_1\)内（含边界）运动，且\(AP\parallel\)平面\(A_1DE\)，则动点\(P\)的轨迹长度为（ ）
A. \(\sqrt{2}\) B. \(2\) C. \(2\sqrt{2}\) D. \(4\)
【答案】C
【分析】取\(BB_1\)中点\(F\)，\(BC\)中点\(G\)，连接\(AF\)，\(FG\)，\(AG\)。易证平面\(AFG\parallel\)平面\(A_1DE\)，因为\(AP\parallel\)平面\(A_1DE\)，所以点\(P\)的轨迹为线段\(FG\)。在正方形\(BCC_1B_1\)中，\(FG=\sqrt{(2\div2)^2+(2\div2)^2}=2\sqrt{2}\)，故选 C。
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的`得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。
已知函数\(f(x)=x^3 - 3x\)，则下列说法正确的是（ ）
A. \(f(x)\)在\(x = - 1\)处取得极大值
B. \(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上单调递增
C. \(f(x)\)的图象关于原点对称
D. 方程\(f(x)=1\)有三个不同的实数根
【答案】ABC
【分析】对\(f(x)=x^3 - 3x\)求导得\(f^\prime(x)=3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x=\pm1\)。当\(x\lt - 1\)时，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)单调递增；当\(-1\lt x\lt1\)时，\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)单调递减；当\(x\gt1\)时，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)单调递增，所以\(f(x)\)在\(x = - 1\)处取得极大值，A 正确，B 正确。因为\(f(-x)=(-x)^3 - 3(-x)=-(x^3 - 3x)=-f(x)\)，所以\(f(x)\)是奇函数，图象关于原点对称，C 正确。\(f(-2)= - 8 + 6 = - 2\)，\(f(-1)= - 1 + 3 = 2\)，\(f(1)=1 - 3 = - 2\)，\(f(2)=8 - 6 = 2\)，作出\(y = f(x)\)图象与\(y = 1\)图象，可知方程\(f(x)=1\)有两个不同实数根，D 错误。故选 ABC。
已知圆\(C\)：\((x - 1)^2+(y - 2)^2 = 25\)，直线\(l\)：\((2m + 1)x+(m + 1)y - 7m - 4 = 0(m\in R)\)，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线\(l\)恒过定点\((3,1)\)
B. 直线\(l\)与圆\(C\)恒相交
C. 直线\(l\)被圆\(C\)截得的弦长最短时，直线\(l\)的方程为\(2x - y - 5 = 0\)
D. 直线\(l\)被圆\(C\)截得的弦长最短时，弦长为\(4\sqrt{5}\)
【答案】ABCD
【分析】将直线\(l\)方程\((2m + 1)x+(m + 1)y - 7m - 4 = 0\)变形为\(m(2x + y - 7)+(x + y - 4)=0\)，令\(\begin{cases}2x + y - 7 = 0\\x + y - 4 = 0\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}\)，所以直线\(l\)恒过定点\((3,1)\)，A 正确。点\((3,1)\)到圆心\((1,2)\)的距离\(d=\sqrt{(3 - 1)^2+(1 - 2)^2}=\sqrt{5}\lt5\)（圆半径），所以点\((3,1)\)在圆内，直线\(l\)与圆\(C\)恒相交，B 正确。当直线\(l\)与定点\((3,1)\)和圆心\((1,2)\)连线垂直时，弦长最短。定点\((3,1)\)与圆心\((1,2)\)连线的斜率\(k=\frac{2 - 1}{1 - 3}=-\frac{1}{2}\)，则直线\(l\)的斜率为\(2\)，直线\(l\)方程为\(y - 1 = 2(x - 3)\)，即\(2x - y - 5 = 0\)，C 正确。此时弦长为\(2\sqrt{r^2 - d^2}=2\sqrt{25 - 5}=4\sqrt{5}\)，D 正确。故选 ABCD。
已知\(\overrightarrow{a}=(1, - 2,1)\)，\(\overrightarrow{b}=( - 1,1,3)\)，\(\overrightarrow{c}=(2,x,y)\)，若\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{c}\)共面，则（ ）
A. \(x = - 7\) B. \(x = 7\) C. \(y = 3\) D. \(y = - 3\)
【答案】AC
【分析】因为\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{c}\)共面，则存在实数\(m\)，\(n\)使得\(\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}\)，即\((2,x,y)=m(1, - 2,1)+n(-1,1,3)\)，可得\(\begin{cases}2 = m - n\\x = - 2m + n\\y = m + 3n\end{cases}\)，由\(2 = m - n\)得\(m = n + 2\)，代入\(x = - 2m + n\)得\(x = - 2(n + 2)+n=-n - 4\)，代入\(y = m + 3n\)得\(y = n + 2 + 3n = 4n + 2\)。再将\(m = n + 2\)代入\(2 = m - n\)验证成立，由\(2 = m - n\)与\(x = - 2m + n\)联立消去\(m\)，\(n\)得\(x = - 7\)，再代入\(y = m + 3n\)得\(y = 3\)，故选 AC。
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