2018届上海市虹口区高三数学模拟试卷及答案
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2018届上海市虹口区高三数学模拟试卷题目
一、填空题(1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分)
1、集合 ， ，则 .
2、复数 所对应的点在复平面内位于第 象限.
3、已知首项为1公差为2的等差数列 ，其前 项和为 ，则 .
4、若方程组 无解，则实数 .
5、若 的二项展开式中，含 项的系数为 ，则实数 .
6、已知双曲线 ,它的渐近线方程是 ,则 的值为 .
7、在 中，三边长分别为 ， ， ，则 ___________.
8、在平面直角坐标系中，已知点 ，对于任意不全为零的实数 、 ，直线 ，若点 到直线 的距离为 ，则 的取值范围是 .
9、函数 ，如果方程 有四个不同的实数解 、 、 、 ，则 .
10、三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于 .
11、在直角 中， ， ， ， 是 内一点，且 ，若 ，则 的最大值 .
12、无穷数列 的前 项和为 ，若对任意的正整数 都有 ，则 的可能取值最多有 个.
二、选择题(每小题5分，满分20分)
13、已知 ， ， 都是实数，则“ ， ， 成等比数列”是“ 的( )
充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
14、 、 是空间两条直线， 是平面，以下结论正确的是( ).
如果 ∥ ， ∥ ，则一定有 ∥ . 如果 ， ，则一定有 .
如果 ， ，则一定有 ∥ . 如果 ， ∥ ，则一定有 .
15、已知函数 ， 、 、 ，且 ， ， ，则 的值( )
一定等于零. 一定大于零. 一定小于零. 正负都有可能.
16、已知点 与点 在直线 的两侧，给出以下结论：
① ;②当 时， 有最小值，无最大值;③ ;
④当 且 时， 的取值范围是 .
正确的个数是( )
1 2 3 4
三、解答题(本大题满分76分)
17、(本题满分14分.第(1)小题7分，第(2)小题7分.)
如图 是直三棱柱，底面 是等腰直角三角形，且 ，直三棱柱的高等于4，线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，线段 的中点为 .
(1)求异面直线 、 所成角的大小;
(2)求三棱锥 的体积.
18、(本题满分14分.第(1)小题7分，第(2)小题7分.)
已知定义在 上的函数 是奇函数，且当 时， .
(1)求 在区间 上的解析式;
(2)当实数 为何值时，关于 的方程 在 有解.
19、(本题满分14分.第(1)小题6分，第(2)小题8分.)
已知数列 是首项等于 且公比不为1的.等比数列， 是它的前 项和，满足 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 且 ，求数列 的前 项和 的最值.
20、(本题满分16分.第(1)小题3分，第(2)小题5分，第(3)小题8分.)
已知椭圆 ，定义椭圆 上的点 的“伴随点”为 .
(1)求椭圆 上的点 的“伴随点” 的轨迹方程;
(2)如果椭圆 上的点 的“伴随点”为 ，对于椭圆 上的任意点 及它的“伴随点” ，求 的取值范围;
(3)当 ， 时，直线 交椭圆 于 ， 两点，若点 ， 的“伴随点”分别是 ， ，且以 为直径的圆经过坐标原点 ，求 的面积.
21、(本题满分18分.第(1)小题3分，第(2)小题6分，第(3)小题9分.)
对于定义域为 的函数 ，部分 与 的对应关系如下表：
1 2 3 4 5
0 2
2 0
0 2
(1)求 ;
(2)数列 满足 ，且对任意 ，点 都在函数 的图像上，求 ;
(3)若 ，其中 ， ， ， ，求此函数的解析式，并求 ( ).
2018届上海市虹口区高三数学模拟试卷答案
一、填空题(1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分)
1、 ; 2、四; 3、 ; 4、 ; 5、1; 6、2 ;
7、 ; 8、 ; 9、4; 10、 ; 11、 ; 12、91;
二、选择题(每小题5分，满分20分)
13、 ; 14、 ; 15、 ; 16、 ;
三、解答题(本大题满分76分)
17、(14分)解:(1)以A为坐标原点， 、 、 分别为 轴和 轴建立直角坐标系.
依题意有 (2，2，4)， (0，0，0)， (2，2，0)， (0，4，2)
所以 .……………………3分
设异面直线 、 所成角为角，
所以 ，
所以异面直线 、 所成角的大小为 …………7分
(2) 线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，由 ，高 ，得 ， ， ………………3分
由 为线段 的中点，且 , ,由 面 , ，
得 面 ,
三棱锥 的体积为 体积单位.……………………7分
18、(14分)解：(1)设 ，则 ，
是奇函数，则有 …………4分
………………7分
(2)设 ，令 ，则 ，而 .
，得 ，从而 ， 在 的取值范围是 .…………………………11分
又设 ，则 ，由此函数是奇函数得 ， ，从而 .………………13分
综上所述， 的值域为 ，所以 的取值范围是 .…………14分
19、(14分)解：(1) ， ， .……2分
整理得 ，解得 或 (舍去).………………4分
.………………6分
(2) .………………8分
1)当 时，有 数列 是以 为公差的等差数列，此数列是首项为负的递增的等差数列.
由 ，得 .所以 . 的没有最大值.………11分
2)当 时，有 ，数列 是以 为公差的等差数列，此数列是首项为正的递减的等差数列.
，得 ， . 的没有最小值.…………14分
20、(16分)解：(1)解.设 ( )由题意 则 ，又
，从而得 ……………………3分
(2)由 ，得 .又 ，得 .…………5分
点 在椭圆上， ， ，且 ，
，
由于 ， 的取值范围是 ……8分
(3) 设 ,则 ;
1)当直线 的斜率存在时,设方程为 , 由
得 ; 有 ① ……10分
由以 为直径的圆经过坐标原点O可得: ;
整理得: ②
将①式代入②式得: ,………………………… 12分
又点 到直线 的距离
所以 ……………………14分
2) 当直线 的斜率不存在时,设方程为
联立椭圆方程得 ;代入 得 ，解得 ,从而 , 综上: 的面积是定值, ……………………16分
21、(18分)解：(1) ……………………3分
(2)
,周期为4 , 所以 = .……………………9分
(3)由题意得 由
又 而 …………11分
从而有
…………………………13分
此函数的最小正周期为6,
…………14分
1)当 时.
.……………………16分
2)当 时.
.………………18分
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