2018届上海市黄浦区高三数学模拟试卷及答案
高考即将来临，多做一些高考数学模拟试卷可以熟悉知识点和积累知识点，以下是百分网小编为你整理的2018届上海市黄浦区高三数学模拟试卷，希望能帮到你。
2018届上海市黄浦区高三数学模拟试卷题目
一、填空题(本大题共有12题，满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[
1.函数 的定义域是 .
2.若关于 的方程组 有无数多组解，则实数 _________.
3.若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则 的最大值为 .
4.已知复数 ， (其中i为虚数单位)，且 是实数，则实数t等于 .
5.若函数 (a>0,且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是 .
6.设变量 满足约束条件 则目标函数 的最小值为 .
7. 已知圆 和两点 ，若圆 上至少存在一点 ，使得 ，则 的取值范围是 .
8. 已知向量 ， ，如果 ∥ ，那么 的值为 .
9.若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是
.
10.若将函数 的图像向左平移 个单位后，所得
图像对应的函数为偶函数，则 的最小值是 .
11.三棱锥 满足： ， ， ， ，
则该三棱锥的体积V的取值范围是 .
12.对于数列 ，若存在正整数 ，对于任意正整数 都有 成立，则称数列 是以 为
周期的周期数列.设 ，对任意正整数n都有 若数列
是以5为周期的周期数列，则 的值可以是 .(只要求填写满足条件的一个m值即可)
二、选择题(本大题共有4题，满分20分.)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13.下列函数中，周期为π，且在 上为减函数的是 ( )
A.y = sin(2x+ B.y = cos(2x+
C.y = sin(x+ D.y = cos(x+
14.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的
表面积是 ( )
A. B.
C. D.
15.已知双曲线 的右焦点到左顶点的距离等
于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为 ( )
A. B.
C. D.
16.如图所示， ，圆 与 分别相切于点 ，
，点 是圆 及其内部任意一点，且
，则 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
三、解答题(本大题共有5题，满分76分.)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，在直棱柱 中， ， ， 分别是 的中点.
(1)求证： ;
(2)求 与平面 所成角的大小及点 到平面 的距离.
18.(本题满分14分)本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分.
在 中，角 的对边分别为 ，且 成等差数列.
(1)求角 的大小;
(2)若 ， ，求 的值.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.
如果一条信息有n 种可能的情形(各种情形之间互不相容)，且这些情形发生的概率分别为 ，则称 (其中 )为该条信息的信息熵.已知 .
(1)若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小;
(2)某次比赛共有n位选手(分别记为 )参加，若当 时，选手 获得冠军的概率为 ，求“谁获得冠军”的信息熵 关于n的表达式.
20.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
设椭圆M: 的左顶点为 、中心为 ，若椭圆M过点 ，且 .
(1)求椭圆M的方程;
(2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的.最大值;
(3)过点 作两条斜率分别为 的直线交椭圆M于 两点，且 ，求证：直线 恒过一个定点.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
若函数 满足:对于任意正数 ，都有 ，且 ，则称函数 为“L函数”.
(1)试判断函数 与 是否是“L函数”;
(2)若函数 为“L函数”，求实数a的取值范围;
(3)若函数 为“L函数”，且 ，求证：对任意 ，都有
2018届上海市黄浦区高三数学模拟试卷答案
一、填空题：(1~6题每题4分;7~12题每题5分)
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ;
7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. (或 ，或 ).
二、选择题：(每题5分)
13.A 14.D 15. C 16. B
三、解答题：(共76分)
17.解：(1)以A为坐标原点、AB为x轴、 为y轴、
为z轴建立如图的空间直角坐标系.
由题意可知 ，
故 ，…………………4分
由 ，
可知 ，即 . …………………6分
(2)设 是平面 的一个法向量，
又 ，
故由 解得 故 . …………9分
设 与平面 所成角为 ，则 ，…………12分
所以 与平面 所成角为 ，
点 到平面 的距离为 . …………………14分
18.解：(1)由 成等差数列，
可得 ， …………………2分
故 ，所以 ， ………4分
又 ，所以 ，故 ，
又由 ，可知 ，故 ，所以 . …………………6分
(另法：利用 求解)
(2)在△ABC中，由余弦定理得 ， …………………8分
即 ，故 ，又 ，故 ，………………10分
所以
…………………12分
，
故 . …………………14分
19.解：(1)由 ，可得 ，解之得 . …………………2分
由32种情形等可能，故 ， ……………………4分
所以 ，
答：“谁被选中”的信息熵为 . ……………………6分
(2) 获得冠军的概率为 ，……………8分
当 时， ，又 ，
故 ， ……………………11分
，
以上两式相减，可得 ，故 ，
答：“谁获得冠军”的信息熵为 . ……………………14分
20.解：(1)由 ，可知 ，
又 点坐标为 故 ，可得 ， ……………………………2分
因为椭圆M过 点，故 ，可得 ，
所以椭圆M的方程为 . ……………………………4分
(2)AP的方程为 ，即 ，
由于 是椭圆M上的点，故可设 ， ……………………………6分
所以 ……………………………8分
当 ，即 时， 取最大值.
故 的最大值为 . ……………………………10分
法二：由图形可知，若 取得最大值，则椭圆在点 处的切线 必平行于 ，且在直线 的下方. …………………………6分
设 方程为 ，代入椭圆M方程可得 ，
由 ，可得 ，又 ，故 . …………………………8分
所以 的最大值 . ……………………………10分
(3)直线 方程为 ，代入 ，可得
， ，
又 故 ， ， ………………12分
同理可得 ， ，又 且 ，可得 且 ，
所以 ， ， ，
直线 的方程为 ， ………………14分
令 ，可得 .
故直线 过定点 . ………………16分
(法二)若 垂直于 轴，则 ，
此时 与题设矛盾.
若 不垂直于 轴，可设 的方程为 ，将其代入 ，
可得 ，可得 ，………12分
又 ，
可得 ， ………………14分
故 ，
可得 或 ，又 不过 点，即 ，故 .
所以 的方程为 ，故直线 过定点 . ………………16分
21.解：(1)对于函数 ，当 时， ，
又 ，所以 ，
故 是“L函数”. ………………2分
对于函数 ，当 时， ，
故 不是“L函数”. ………………4分
(2)当 时，由 是“L函数”，
可知 ，即 对一切正数 恒成立，
又 ，可得 对一切正数 恒成立，所以 . ………………6分
由 ，可得 ，
故 ，又 ，故 ，
由 对一切正数 恒成立，可得 ，即 . ………………9分
综上可知，a的取值范围是 . ………………………10分
(3)由函数 为“L函数”， 可知对于任意正数 ，
都有 ，且 ，
令 ，可知 ，即 ， ………………………12分
故对于正整数k与正数 ，都有
， ………………………………14分
对任意 ，可得 ，又 ，
所以 ，…………………16分
同理 ，
故 . ……………………………18分
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