2018届上海市松江区高三数学模拟试卷及答案
数学在高考中所占分比例高，要想在高考取得好成绩，一定要多做一些高考数学模拟试卷，以下是百分网小编为你整理的2018届上海市松江区高三数学模拟试卷，希望能帮到你。
2018届上海市松江区高三数学模拟试卷题目
一.填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1.已知 ，则 ▲ .
2.已知集合 则 ▲ .
3.若复数 ( 是虚数单位)，且 为纯虚数,则实数 = ▲ .
4.直线 ( 为参数)对应的普通方程是 ▲ .
5.若 ，且 ，则 的值为 ▲ .
6.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是 ▲ .
7.若函数 在区间 上有零点，则实数 的取值范围是 ▲ .
8.在约束条件 下，目标函数 的最大值为 ▲ .
9.某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ▲ .
10.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，记 .若此椭圆上存在点 ，使 到直线 的距离是 与 的等差中项，则 的最大值为 ▲ .
11.如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点 在大圆上， 与小圆相切于点 ， 为小圆上的点，则 的取值范围是 ▲ .
12.已知递增数列 共有 项，且各项均不为零， ，如果从 中任取两项 ，当 时， 仍是数列 中的项，则数列 的各项和 ▲ .
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13.设 分别是两条异面直线 的方向向量，向量 夹角的取值范围为 ， 所成角的'取值范围为 ，则“ ”是“ ”的
(A) 充要条件
(B) 充分不必要条件
(C) 必要不充分条件
(D) 既不充分也不必要条件
14. 将函数 图像上的点 向左平移 个单位，得到点 ，若 位于函数 的图像上，则
(A) ， 的最小值为 (B) ， 的最小值为
(C) ， 的最小值为 (D) ， 的最小值为
15.某条公共汽车线路收支差额 与乘客量 的函数关系如图所示(收支差额 车票收入 支出费用)，由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用;建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则
(A) ①反映了建议(Ⅱ)，③反映了建议(Ⅰ)
(B) ①反映了建议(Ⅰ)，③反映了建议(Ⅱ)
(C) ②反映了建议(Ⅰ)，④反映了建议(Ⅱ)
(D) ④反映了建议(Ⅰ)，②反映了建议(Ⅱ)
16.设函数 的定义域是 ，对于以下四个命题：
(1) 若 是奇函数，则 也是奇函数;
(2) 若 是周期函数，则 也是周期函数;
(3) 若 是单调递减函数，则 也是单调递减函数;
(4) 若函数 存在反函数 ，且函数 有零点，则函数 也有零点.
其中正确的命题共有
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
三.解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分;第1小题6分，第2小题8分)
直三棱柱 中，底面 为等腰直角三角形， ， ， ， 是侧棱 上一点，设 .
(1) 若 ，求 的值;
(2) 若 ，求直线 与平面 所成的角.
18.(本题满分14分;第1小题6分，第2小题8分)
设函数 ，函数 的图像与函数 的图像关于 轴对称.
(1)若 ，求 的值;
(2)若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.
19.(本题满分14分;第1小题6分，第2小题8分)
如图所示， 是某海湾旅游区的一角，其中 ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸 和 上分别修建观光长廊 和AC，其中 是宽长廊，造价是 元/米， 是窄长廊，造价是 元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段 上靠近点 的三等分点 处建一个观光平台，并建水上直线通道 (平台大小忽略不计)，水上通道的造价是 元/米.
(1) 若规划在三角形 区域内开发水上游乐项目，要求 的面积最大，那么 和 的长度分别为多少米?
(2) 在(1)的条件下，建直线通道 还需要多少钱?
20.(本题满分16分;第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分)
设直线 与抛物线 相交于不同两点 、 ，与圆
相切于点 ，且 为线段 中点.
(1) 若 是正三角形( 是坐标原点)，求此三角形的边长;
(2) 若 ，求直线 的方程;
(3) 试对 进行讨论，请你写出符合条件的直线 的条数(直接写出结论).
21.(本题满分18分;第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
对于数列 ，定义 ， .
(1) 若 ，是否存在 ，使得 ?请说明理由;
(2) 若 ， ，求数列 的通项公式;
(3) 令 ，求证：“ 为等差数列”的充要条件是“ 的前4项为等差数列，且 为等差数列”.
2018届上海市松江区高三数学模拟试卷答案
一.填空题(本大题共54分)第1～6题每个空格填对得4分，第7～5题每个空格填对得5分
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11 . 12.
二、选择题 (每小题5分，共20分)
13. C 14.A 15. B 16.B
三.解答题(共78分)
17.(1)以 为坐标原点，以射线 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则 , ， ， ……………………2分
， ……………………4分
由 得 ，即
解得 . ……………………6分
(2) 解法一：此时
……………8分
设平面 的一个法向量为
由 得
所以 ……………………10分
设直线 与平面 所成的角为
则 ……………12分
所以直线 与平面 所成的角为 ………………14分
解法二：联结 ，则 ，
， 平面 …………………8分
平面
所以 是直线 与平面 所成的角; ……………………10分
在 中，
所以 ……………………12分
所以
所以直线 与平面 所成的角为 ………………14分
18.(1)由 得 ……………………2分
所以 (舍)或 ， ……………………4分
所以 ……………………6分
(2)由 得 ……………………8分
……………………10分
而 ，当且仅当 时取等号…12分
所以 ，所以 .………………………………14分
19.(1)设 长为 米， 长为 米，依题意得 ，
即 ， ………………………………2分
…………………………4分
=
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以当 的面积最大时， 和AC的长度分别为750米和1500米……6分
(2)在(1)的条件下，因为 .
由 …………………………8分
得
…………………………10分
， …………………………12分
元
所以，建水上通道 还需要 万元. …………………………14分
解法二：在 中，
………8分
在 中，
…………………………10分
在 中，
= …………12分
元
所以，建水上通道 还需要 万元. …………………………14分
解法三：以A为原点，以AB为 轴建立平面直角坐标系，则 ，
,即 ，设 ………8分
由 ，求得 ， 所以 …………10分
所以， ……………………12分
元
所以，建水上通道 还需要 万元. …………………………14分
20. (1)设 的边长为 ，则 的坐标为 ………2分
所以 所以
此三角形的边长为 . ……………………………4分
(2)设直线
当 时， 符合题意 ……………………………6分
当 时， …………………8分
，舍去
综上所述，直线 的方程为： ……………………………10分
(3) 时，共2条;……………………………12分
时，共4条; ……………………………14分
时，共1条. ……………………………16分
21.：(1)由 ，可知数列 为递增数列，……………………………2分
计算得 ， ，
所以不存在 ，使得 ; ………………………4分
(2)由 ，可以得到当 时，
， ……………………6分
又因为 ，
所以 ， 进而得到 ，
两式相除得 ，
所以数列 ， 均为公比为6的等比数列， ……………………8分
由 ，得 ，
所以 ; ………… …………10分
(3)证明：由题意 ，
当 时， ，
因此，对任意 ，都有 . …………12分
必要性( )：若 为等差数列，不妨设 ，其中 为常数，
显然 ，
由于 = ，
所以对于 ， 为常数，
故 为等差数列; …………14分
充分性( )：由于 的前4项为等差数列，不妨设公差为
当 时，有 成立。…………15分
假设 时 为等差数列，
即 …………16分
当 时，由 为等差数列，得 ，
即： ，
所以 …………17分
，
因此 ，
综上所述：数列 为等差数列. …………18分
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