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如何解决初中数学教学中一些难点
教学难点往往会使学生对数学知识、思想方法的理解、掌握或运用产生一定的困难，甚至造成混淆或发生错误。然而，数学教学的概念根本任务在于发展学生的数学思维。没有问题就没有思维，没有困难，就不会有积极的思考。教学的难点正是数学的魅力所在，正是对学生进行积极训练的良好素材，正是发展学生思维能力和提高学生数学素养的大好时机。全日制义务教育《数学课程标准》（实验稿）强调，在培养学生“克服困难的自信心、意志力”方面，我们应当关注两件事：（1）向学生提供具有挑战性的问题，使他们有机会经历克服困难的活动；（2）让他们在从事这些活动的过程中获得成功的体验。
1、对数学教学难点的认识
通俗地讲，数学教学难点就是学生在数学学习中感到困难的地方。
因此，我们要改变传统教学中把知识当作第一任务，过多地强调难点的消极作用，只是被动地单纯地追求化难为易的效果的做法，而应更看重化难为易的数学活动过程，因为只有在这个过程中，学生才能在难点被克服的同时，获得思维的进步，体验成功的快乐。
我们知道，数学教学难点可分为整册的难点，章节难点和一节课的难点，本文所研究的是一节课的难点。
2、正确估计教学难点
多数情况下，教学的重点是统一的，而教学的难点往往因所教学生的不同而有所区别，即因班因人而异。我们必须在认真研究所教学生的基础上，正确估计教学难点。
一般说来，数学教学的难点，是由学生现有的数学思维结构不适应建立新的数学知识结构的需要而产生的。具体地说，我们可以从以下几个主要方面估计教学难点：
2.1 教学内容的抽象性与学生思维的形象性的矛盾产生的难点
例如，无理数的概念十分抽象，无理数概念的建立需要具有一定的抽象思维能力和初步的极限思想，而初二学生的抽象思维发展还是经验型的，在思维过程中具体形象成份仍然起主要作用，他们对和无理数有关的具体的、直观的、形象的、感性经验又十分缺乏，这就会造成学生对实数概念的理解的困难，所以本节课的教学难点应确定为实数概念的建立。
2.2 教学内容深化与学生的思维定势的矛盾产生的难点
例如，《一元一次方程的应用》这节课，教学内容是列一元一次方程解简单的应用题。由于学生在小学的数学学习中熟悉了算术解法，有思维定势，遇到应用题，首先的想法是列出算式，通过计算来解。而不善于分析问题中的等量关系。这种教学内容的深化就会与学生的思维定势产生矛盾，所以本节课的教学难点是找出等量关系列方程。又如《不等式的基本性质》一课，在运用不等式基本性质3时，学生容易由方程解法迁移而忽略不等号方向的改变，因此，这节课的教学难点是不等式基本性质3的理解和运用。
2.3 教学内容的复杂性与学生思维能力较低的矛盾产生的难点
例如，由于函数的意义本身含有运动变化、对应规则等内容，虽然课本采用变量说来定义函数，有助于学生形象理解函数的概念，但其中的“变量”、“对应”等名词也是无法透彻理解的。函数的概念是学生第一次接触，过去遇到的实例不多，在此以前，学生所接触的数学对象和数学关系大多是静止的、孤立的，初中学生对于运动变化的、连续的数学对象和数学关系的认知思维能力较差，所以本课的难点应确定为对函数意义的理解。
2.4 教学内容内部联系隐蔽性与学生认识能力较差的矛盾产生的难点
例如《绝对值》和代数第二册《二次根式 化简》这两节课，由于
|a|=
这两个式子所反映的知识实质比较隐蔽，而初一、初二学生的抽象、概括能力较弱，他们容易从表面上看问题，所以这两节课的教学难点分别是这两个式子的概括过程和对这两个式子的理解。
2.5 知识基础的宽广或综合性，使学生对基础知识的掌握残缺不全引起的矛盾产生的难点
例如，（等腰三角形的性质）第一课的教学，由于用文字叙述的几何命题的证明包括了证明几何命题的完整过程，既要求学生有较强的审题能力，又需要学生具有一定的综合应用能力，还需要学生具备一定的逻辑思维能力，性质定量的证明又需要添加辅助线。这对于刚刚进入推理入门学习的初二学生来说，有较大的难度，所以本节课的难点可确定为：用文字语言叙述的几何命题的证明及辅助线的添加。
3、教学难点的处理策略
处理教学难点的根本办法是“对症下药”，针对学生学习感到困难的原因，采取适当的措施加以突破。大体上可以灵活地运用如下几种策略：
3.1 分散性策略
“分散难点”一直是难点教学的传统策略，现在，它仍是一种重要策略，只不过我们在使用这种策略时，不仅要追求化难为易的效果，而应更看重化难为易的数学活动过程。这种策略就是将解决难点的过程分成若干个小阶梯，让学生经过努力逐步跨越这些阶梯，有步骤、分层次地提高学生的数学能力，最后使困难得到解决。如用配方法解一元二次方程的教学，让学生完成以下一组练习题，逐步掌握配方法解下列方程：
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(1)x2=9 (2)(x-2)2=16
(3)x2+2x+1=4 (4)x2-6x-16=0
(5)x2+2x+2=0 (6)2x2+6x-1=0
(7)3x2-1=4x (8)ax2+bx+c=0(a≠0)
3.2 发现性策略
发现性策略就是将难点的解决过程组织成在教师引导下学生独立的发现过程，它可以较好地发挥难点促进思维发展的积极作用。使用这种策略时，教师的主要任务在于合理地组织教学程序和针对学生的发现活动作适当的引导。
为了说明这一策略的使用，把在《圆周角定理》一课中，定理的发现及证明需分三种情况逐一进行的必要性这两个难点的处理的教学过程的有关部分实录如下：
师：一个圆周角所对的弧有几条？一条弧所对的圆周角有多少个？这条弧所对的圆心角 有多少个？
（用几何画板给出图1，拖动点a，使之在 上移动，让学生观察思考）。
生：……，一条弧所对的圆周角有无数多个，这条弧所对的圆心角只有一个。
师：由此你会想到什么吗？
生：这个圆心角和这些圆周角之间可能会存在一定的关系。
师：好！你能发现是什么关系吗？如何进行研究呢？
生：可度量这两上角的大小。
师：很好！请作出如图1所示的图形，用量角器测量所作图中∠bac与∠boc的度数，找出这两个角之间的关系，同学之间相互交流。
（巡视发现由于作图和测量的误差，少数学生测出的数据影响了结论的得出）
师：大多数同学已经找到了这两个角之间的关系，为了验证这种关系，请看老师演示。（用几何画板测出图1中两个角的度数，并拖动点a在 上移动），你看到了什么？
生：虽然两角的大小发生变化，但它们之间的却保持着2倍的关系。
师：由上面的研究，你能得出一个命题吗？
生：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
师：从有限次的实验中得出的命题，能当作定理吗？
生：不能，需要证明。
师：如何证明呢？ 所对的圆周角有无数多个，如果把这无数多个角与∠boc逐一验证，显然是不现实的，有没有其它办法呢？请同学们看老师演示，并注意观察这无数多个圆周角与圆心有几种位置关系？（再次拖动图1中点a，使之在 上从b点向c点移动）
生：三种位置关系，一是圆心在角的一边上，另一种是圆心在角的内部，再一种是圆心在角的外部。
师：（作出图2）发现定理的证明思路了吗？
生：对上面的三种情况分别进行证明。
3.3 提示性策略
当实际情况不允许采用发现性策略时，可以考虑采用提示性策略。即在解决问题的过程中，教师适当提示问题的思考原则和方法，逐步缩小学生的探索范围，求得问题的解决。这种策略多用于例题、习题的教学中。使用这种策略时，教师对学生的提示大体上可分为一般性提示、功能性提示、特殊性提示三种。
例如，当我们把三角形内角平分线性质定理作为一道习题来处理时，可以作如下教学设计：
（1）直接提示定理：如图3，在△abc中，ad是∠bac的平分线，求证： 。
（2）考虑证明线段成比例有哪些方法、定理（一般性提示）。
（3）创造条件，使用平行线分线段成比例定理，如图4所示（功能性提示）即如何设法使ab、ac、bd、dc四条线段分布在两条射线上。
因为ab、bd、dc已经在两条射线上，考虑能否移动ac，怎样移动。
（4）延长ba到e，使ae=ac，问题转化为证明 （特殊性提示）。
3.4 反思性策略
当实际情况不允许采用发现性策略和提示性策略，如学生的知识水平达不到或时间有限时，教师可以对难点问题直接讲授或通过学生阅读课本，绕过知识被探索发现的过程。由于这种做法越过了重要的思维环节，应当在上述教学过程中，加上反思的程序。这种策略几乎应用于一切场合。
例如，当学生掌握了二元二次方程组的解法后，对消元思想方法这个难点的整体回顾，即是反思性策略。
3.5 躲避性策略
当学生即使在教师的指导下也不具备解决难点所必须的知识或能力时，或者对于非重点的难点内容，学生在掌握过程中受阻而影响重点内容的学习时可以采用这种策略。例如几何第一册中把平行线基本判别法作为“公理”处理，就是这种策略的应用。
躲避性策略是一种消极的策略，但是运用得好仍可取得积极的效果，因为有时只有放弃一些非重点的东西，才能换得全局的胜利。不过我们要充分估计学生的能力，不能滥用这种策略，更不能不自觉地应用这种策略。
在使用躲避性策略时，也要对问题作形象直观的说明。例如由于平行线基本判别法在课本中以“公理”的地位出现，所以，教学中，可以躲避证明过程，但对于差别法的发现过程仍应大作文章，以加深学生对差别法的理解。
3.6 辅助性策略
利用多种行之有效的手段也是突破难点的重要方法，如利用客观物体、数学模型、电化教学设备、计算机教学软件等。
总之，对于数学教学难点，要重视它，研究它，要根据具体情况采取相应的方法解决它，突破它。难点处理得好，可以更好地提高学生的数学素养和培养学生的创新能力。
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