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数学组合综合练习题及答案

时间:2021-06-20 12:47:31 数学 我要投稿

数学组合综合练习题及答案

  一、选择题

数学组合综合练习题及答案

  1.某年级有6个班,分别派3名语文教师任教,每个教师教2个班,则不同的任课方法种数为(  )

  A.C26C24C22   B.A26A24A22

  C.C26C24C22C33   D.A26C24C22A33

  [答案] A

  2.从单词“equation”中取5个不同的字母排成一排,含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排法共有(  )

  A.120种    B.480种

  C.720种    D.840种

  [答案] B

  [解析] 先选后排,从除qu外的6个字母中任选3个字母有C36种排法,再将qu看成一个整体(相当于一个元素)与选出的3个字母进行全排列有A44种排法,由分步乘法计数原理得不同排法共有C36A44=480(种).

  3.从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种,在3块不同的土地上试种,每块土地上试种一种,其中1号种子必须试种,则不同的试种方法有(  )

  A.24种    B.18种

  C.12种    D.96种

  [答案] B

  [解析] 先选后排C23A33=18,故选B.

  4.把0、1、2、3、4、5这六个数,每次取三个不同的数字,把其中最大的数放在百位上排成三位数,这样的三位数有(  )

  A.40个    B.120个

  C.360个    D.720个

  [答案] A

  [解析] 先选取3个不同的数有C36种方法,然后把其中最大的数放在百位上,另两个不同的数放在十位和个位上,有A22种排法,故共有C36A22=40个三位数.

  5.(2010湖南理,7)在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为(  )

  A.10     B.11

  C.12     D.15

  [答案] B

  [解析] 与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:

  第一类:与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C24=6(个)

  第二类:与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C14=4(个)

  第三类:与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C04=1(个)

  与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6+4+1=11(个)

  6.北京《财富》全球论坛开幕期间,某高校有14名志愿者参加接待工作.若每天排早,中,晚三班,每班4人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为(  )

  A.C414C412C48   B.C1214C412C48

  C.C1214C412C48A33    D.C1214C412C48A33

  [答案] B

  [解析] 解法1:由题意知不同的排班种数为:C414C410C46=14×13×12×114!10×9×8×74!6×52!=C1214C412C48.

  故选B.

  解法2:也可先选出12人再排班为:C1214C412C48C44,即选B.

  7.(2009湖南理5)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为(  )

  A.85     B.56

  C.49     D.28

  [答案] C

  [解析] 考查有限制条件的组合问题.

  (1)从甲、乙两人中选1人,有2种选法,从除甲、乙、丙外的7人中选2人,有C27种选法,由分步乘法计数原理知,共有2C27=42种.

  (2)甲、乙两人全选,再从除丙外的其余7人中选1人共7种选法.

  由分类计数原理知共有不同选法42+7=49种.

  8.以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有(  )

  A.6个    B.12个

  C.18个    D.30个

  [答案] B

  [解析] C46-3=12个,故选B.

  9.(2009辽宁理,5)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有(  )

  A.70种    B.80种

  C.100种    D.140种

  [答案] A

  [解析] 考查排列组合有关知识.

  解:可分两类,男医生2名,女医生1名或男医生1名,女医生2名,

  ∴共有C25C14+C15C24=70,∴选A.

  10.设集合Ⅰ={1,2,3,4,5}.选择Ⅰ的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有(  )

  A.50种    B.49种

  C.48种    D.47种

  [答案] B

  [解析] 主要考查集合、排列、组合的基础知识.考查分类讨论的思想方法.

  因为集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素,A中元素从1、2、3、4中取,B中元素从2、3、4、5中取,由于A、B非空,故至少要有一个元素.

  1° 当A={1}时,选B的方案共有24-1=15种,

  当A={2}时,选B的方案共有23-1=7种,

  当A={3}时,选B的方案共有22-1=3种,

  当A={4}时,选B的方案共有21-1=1种.

  故A是单元素集时,B有15+7+3+1=26种.

  2° A为二元素集时,

  A中最大元素是2,有1种,选B的方案有23-1=7种.

  A中最大元素是3,有C12种,选B的方案有22-1=3种.故共有2×3=6种.

  A中最大元素是4,有C13种.选B的方案有21-1=1种,故共有3×1=3种.

  故A中有两个元素时共有7+6+3=16种.

  3° A为三元素集时,

  A中最大元素是3,有1种,选B的方案有22-1=3种.

  A中最大元素是4,有C23=3种,选B的方案有1种,

  ∴共有3×1=3种.

  ∴A为三元素时共有3+3=6种.

  4° A为四元素时,只能是A={1、2、3、4},故B只能是{5},只有一种.

  ∴共有26+16+6+1=49种.

  二、填空题

  11.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学,每所小学至少得到2台,共有______种不同送法.

  [答案] 10

  [解析] 每校先各得一台,再将剩余6台分成3份,用插板法解,共有C25=10种.

  12.一排7个座位分给3人坐,要求任何两人都不得相邻,所有不同排法的`总数有________种.

  [答案] 60

  [解析] 对于任一种坐法,可视4个空位为0,3个人为1,2,3则所有不同坐法的种数可看作4个0和1,2,3的一种编码,要求1,2,3不得相邻故从4个0形成的5个空档中选3个插入1,2,3即可.

  ∴不同排法有A35=60种.

  13.(09海南宁夏理15)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有________种(用数字作答).

  [答案] 140

  [解析] 本题主要考查排列组合知识.

  由题意知,若每天安排3人,则不同的安排方案有

  C37C34=140种.

  14.2010年上海世博会期间,将5名志愿者分配到3个不同国家的场馆参加接待工作,每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数是________种.

  [答案] 150

  [解析] 先分组共有C35+C25C232种,然后进行排列,有A33种,所以共有(C35+C25C232)A33=150种方案.

  三、解答题

  15.解方程Cx2+3x+216=C5x+516.

  [解析] 因为Cx2+3x+216=C5x+516,所以x2+3x+2=5x+5或(x2+3x+2)+(5x+5)=16,即x2-2x-3=0或x2+8x-9=0,所以x=-1或x=3或x=-9或x=1.经检验x=3和x=-9不符合题意,舍去,故原方程的解为x1=-1,x2=1.

  16.在∠MON的边OM上有5个异于O点的点,边ON上有4个异于O点的点,以这10个点(含O点)为顶点,可以得到多少个三角形?

  [解析] 解法1:(直接法)分几种情况考虑:O为顶点的三角形中,必须另外两个顶点分别在OM、ON上,所以有C15C14个,O不为顶点的三角形中,两个顶点在OM上,一个顶点在ON上有C25C14个,一个顶点在OM上,两个顶点在ON上有C15C24个.因为这是分类问题,所以用分类加法计数原理,共有C15C14+C25C14+C15C24=5×4+10×4+5×6=90(个).

  解法2:(间接法)先不考虑共线点的问题,从10个不同元素中任取三点的组合数是C310,但其中OM上的6个点(含O点)中任取三点不能得到三角形,ON上的5个点(含O点)中任取3点也不能得到三角形,所以共可以得到C310-C36-C35个,即C310-C36-C35=10×9×81×2×3-6×5×41×2×3-5×41×2=120-20-10=90(个).

  解法3:也可以这样考虑,把O点看成是OM边上的点,先从OM上的6个点(含O点)中取2点,ON上的4点(不含O点)中取一点,可得C26C14个三角形,再从OM上的5点(不含O点)中取一点,从ON上的4点(不含O点)中取两点,可得C15C24个三角形,所以共有C26C14+C15C24=15×4+5×6=90(个).

  17.某次足球比赛共12支球队参加,分三个阶段进行.

  (1)小组赛:经抽签分成甲、乙两组,每组6队进行单循环比赛,以积分及净剩球数取前两名;

  (2)半决赛:甲组第一名与乙组第二名,乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者;

  (3)决赛:两个胜队参加决赛一场,决出胜负.

  问全程赛程共需比赛多少场?

  [解析] (1)小组赛中每组6队进行单循环比赛,就是6支球队的任两支球队都要比赛一次,所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数,所以小组赛共要比赛2C26=30(场).

  (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场,所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数,所以半决赛共要比赛2A22=4(场).

  (3)决赛只需比赛1场,即可决出胜负.

  所以全部赛程共需比赛30+4+1=35(场).

  18.有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种分法?

  (1)甲得4本,乙得3本,丙得2本;

  (2)一人得4本,一人得3本,一人得2本;

  (3)甲、乙、丙各得3本.

  [分析] 由题目可获取以下主要信息:

  ①9本不同的课外书分给甲、乙丙三名同学;

  ②题目中的3个问题的条件不同.

  解答本题先判断是否与顺序有关,然后利用相关的知识去解答.

  [解析] (1)分三步完成:

  第一步:从9本不同的书中,任取4本分给甲,有C49种方法;

  第二步:从余下的5本书中,任取3本给乙,有C35种方法;

  第三步:把剩下的书给丙有C22种方法,

  ∴共有不同的分法有C49C35C22=1260(种).

  (2)分两步完成:

  第一步:将4本、3本、2本分成三组有C49C35C22种方法;

  第二步:将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有A33种方法,

  ∴共有C49C35C22A33=7560(种).

  (3)用与(1)相同的方法求解,

  得C39C36C33=1680(种).

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