2016-2017初三数学期中考试题
12.如图，设P是等边三角形ABC内任意一点， △ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA”、“=”、“<”)
【考点】旋转的性质;三角形三边关系;等边三角形的判定.
【分析】此题只需根据三角形的任意两边之和大于第三边和等边三角形的性质，进行分析即可.
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：BC
又AB=BC>PA，
∴PA
【点评】本题结合旋转主要考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
13.已知x1，x2是方程x2﹣5x=0的两个实数根，则x1+x2的值是5.
【考点】根与系数的关系.
【分析 】利用一元 二次方程根与系数的关系求解即可.
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣5x=0的两个实数根，
∴x1+x2=5.
故答案为：5.
【点评】本题主要考查了根与系数的关键，解题的关键是熟记x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2= .
14.抛物线y=﹣ x2可以看作是抛物线y=﹣ (x﹣4)2向左平移4个单位得到的.
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】直接利用二次函数图象平移规律进而得出答案.
【解答】解：抛物线y=﹣ (x﹣4)2的顶点坐标是(4，0)，抛物线y=﹣ x2的顶点坐标是(0，0).
抛物线y=﹣ (x﹣4)2的顶点向左平移4个单位即可得到(0，0).
即抛物线y=﹣ x2可以看作是抛物线y=﹣ (x﹣4)2向 左平移4个单位得到的.
故答案是：向左平移4个单位.
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键.
15.如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，∠A=55°，则∠ OCD的度数是35°.
【考点】圆周角定理;垂径定理.
【分析】首先连接OB，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数，又由OB=OC，根据等边对等角的性质，即可求得∠OCD的度数.
【解答】解：连接OB，
∵∠A=5 5°，
∴∠BOC=2∠A=110°，
∵OB=OC，
∴∠OCD=∠OBC= =35°.
故答案为：35°.
【点评】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质.此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.
16.某种商品每件进价为30元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(30≤x≤40，且x为整数)出售，可卖出(40﹣x)件，若使利润最大，每件的售价应为35元.
【考点】二次函数的应用.
【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价.再根据所列二次函数求最大值.
【解答】解：设最大利润为w元，
则w=(x﹣30 )(40﹣x)=﹣(x﹣35)2+25，
∵30≤x≤40，
∴当x=35时，二次函数有最大值25.
故答案是：35.
【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用.此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题.
三、解答题(共9小题，计72分，解答应写出过程)
17.解方程：x(x﹣3)=6+3x.
【考点】解一元二次方程-配方法.
【分析】先去掉括号，再把3x移到等号的左边，然后再在等式的左右两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方，得出(x﹣3)2=15，再开方即可.
【解答】解：x(x﹣3)=6+3x，
x2﹣3x﹣3x=6，
x2﹣6x=6，
x2﹣6x+9=15，
(x﹣3)2=15，
x﹣3=± ，
x1=3+ ，x2=3﹣ .
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.
18.如图，△ABC绕点C旋转后，顶点A旋转到了点A′，画出旋转后的三角形并指出一个旋转角.
【考点】作图 -旋转变换.
【分析】利用旋转的性质，结合旋转角定义得出答案.
【解答】解：如图所示：△A′B′C即为所求，旋转角为∠ACA′.
【点评】此题主要考查了旋转变换，得出对应点位置是解题关键.
19.抛物线y=2x2﹣m与x轴并于A、B两点，与y轴交于点C，若∠ACB=90°，求抛物线的解析式.
【考点】抛物线与x轴的交点.
【分析】由条件可用m表示出A、B、C的坐标，再由条件可得到OA=OB=OC，可求得m的值，可求得抛物线解析式.
【解答】解：∵抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，
∴A(﹣ ，0)，B( ，0)，C(0，﹣m)，
又∵∠ACB=90°，且y轴是抛物线的对称轴，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴OA=OB=OC，
∴ =m，即 =m2，解得m=0(不合题意，舍去)或m= ，
∴y=2x2﹣ .
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，利用抛物线与x轴的交点及等腰三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键.
20.随着经济的发展，铁路客运量不断增长，为了满足乘客需求，火车站开始启动了扩建工程，其中某项工程，乙队单独完成所需时间比甲队单独完成所需时间少4个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的4.8倍，求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要(x﹣4)个月，根据两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的4.8倍建立方程求出其解即可.
【解答】解：设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要(x﹣4)个月，由题意，得
x(x﹣4)=4.8(x+x﹣4)，
解得：x1=1.6(舍去)，x2=12.
乙队单独完成这项工程需要12﹣4=8个月
答：甲队单独完成这项工程需要12个月，乙队单独完成这项工程需要4个月.
【点评】本题考查了工程问题的数量关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的4.8倍建立方程是关键.
21.⊙O的直径AB和弦CD相交于点P，已知AP=9cm，PB=3cm，∠CPA=30°，求弦CD的长.
【考点】垂径定理;含30度角的直角三角形;勾股定理.
【分析】过点O作OE⊥CD于点E，连接OC，先根据AP=9cm，PB=3cm得出AB=12cm，故可得出OP=3cm，再由直角三角形的性质求出OE的长，根据勾股定理求出CE的长，由垂径定理即可得出结论.
【解答】解：过点O作OE⊥CD于点E，连接OC，
∵AP=9cm，PB=3cm，
∴AB=12cm，
∴OC=OB=6cm，
∴OP=6﹣3=3cm.
∵∠CPA=30°，
∴OE= OP= (cm)，
∴CE= = (cm).
∵OE过点O且OE⊥CD，
∴CD=2CE=3 (cm).
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.
22.如图，M、N分别是x、y轴上一点，M从坐标(8，0)开始以每秒2个单位的速度沿x轴向O点移动，N从坐标(0，0)开始以每秒3个单位的速度沿y轴向上移动，若M、N两点 同时出发，经过几秒，使得△MNO的面积为9个平方单位?
【考点】一元二次 方程的应用.
【专题】几何动点问题.
【分析】可设经过x秒，使得△MNO的面积为9个平方单位，根据三角形面积公式列出方程求解即可.
【解答】解：设经过x秒，使得△MNO的面积为9个平方单位，依题意有
×3x(8﹣2x)=9，
解得x1=1，x2=3.
答：经过1秒或3秒，使得△MNO的面积为9个平方单位.
【点评】考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.
23.如图，A、B、C、D是半径为10的⊙O上的四点，其中∠CAD=∠ABD°=60°。
(1)求证：△ACD是等边三角形;
(2)求圆心O到CD的距离OE.
【考点】圆周角定理;垂径定理.
【分析】(1)先根据圆周角定理得出∠ACD=∠ABD=60°，再根据三角形的内角和定理求出∠ADC=60°，然后根据等边三角形的判定即可证明△ACD是等边三角形;
(2)连接OC，由等边三角形的性质可知，∠OCE=30°，根据OC=10利用直角三角形的性质即可得出结论.
【解答】(1)证明：在△ACD中，
∵∠CAD=∠ABD=60°，∠ACD=∠ABD，
∴∠ACD=60°，
∴∠ADC=180°﹣∠CAD﹣∠ACD=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴△ACD是等边三角形;
(2)解：连接OC，
∵△ACD为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴O也为△ACD的内心，
∴CO平分∠ACD，
∴∠OCE=30°，
∴OE= OC=5.
【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，直角三角形的性质等知识，将各知识点有机结合，旨在考查同学们的综合应用能力.
24.李爷爷借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用32m长的篱笆围成一个矩形花园，想在里面种些花草，篱笆只围AB、BC两边.
(1)若花 园的面积为252m2，求AB的长度;
(2)若在P处有一棵树，与墙CD、AD的距离分别是17m和8m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值.
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)根据AB=x米可知BC=(32﹣x)米，再根据矩形的面积公式即可得出结论;
(2)根据P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是18米和8米求出x的取值范围，再根据(1)中的函数关系式即可得出结论;
【解答】解：(1)设AB=x米可知BC=(32﹣x)米，根据题意得：x(32﹣x)=252.
解这个方程得：x1=18，x2=14，
答：AB的长度18m或14m.
(2)设周围的矩形面积为S，
则S=x(32﹣x)=﹣(x﹣16)2+256.
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离是17m和8米，
∴8≤x≤15.
∴当x=15时，S最大=﹣(15﹣16)2+256=255(平方米).
答：花园面积的最大值是255平方米.
【点评】本题考查的是二次函数的应用，熟知矩形的面积公式及二次函数的增减性是解答此题的关键.
25.如图，抛物线y=﹣ x2+bx+4与x轴交于A(2，0)、B两点，与y轴交于点C.
(1)求b的值;
(2)求抛物线的对称轴及顶点坐标;
(3)以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第二象限的点P，若PC=PD，求P点的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)将A点坐标代入即可求出;
(2)直接用对称轴公式与顶点坐示公式计算即可;
(3)连接BP，则BP直角角三角形斜边CD上的中线，即BP=CP，连接OP，可证△BPO与△CPO全等，从而OP平分∠BOC，设出P点坐标代入抛物线解析式即可解出.
【解答】解：(1)将A(2，0)代入y=﹣ x2+bx+4得b=﹣1.
(2)对称轴 .
，
∴顶点坐标：(﹣1， ).
(3)连接PB，PO，如图，
令 ，解得x1=﹣4，x2=2，
∴B(﹣4，0)，
当x=0时，y=4，
∴C(0，4)，
∴OB=OC，
在Rt△BDC中，∵PC=PD，
∴BP=PC，
在△BPO和△CPO中，
，
∴△BPO≌△CPO(SSS)，
∴OP平分∠COB，
设P(m，﹣m)，
则有 ，解得：m= ，
又P在第二象限，
∴P( ， ).
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线的对称轴公式与顶点坐标公式、直角三角形斜中线定理、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程等多个知识点，有一定综合性，难度适中.第(3)问当中，证明△BPO≌△CPO是关键。
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