2018届揭阳市高考理科数学模拟试卷及答案
高考模拟试卷是考试前的前瞻，能帮助理科考生们熟悉理科数学考试的题型，这样在高考备考中就能很好的划分重点进行复习，下面是小编为大家精心推荐的2018届揭阳市高考理科数学模拟试卷，希望能够对您有所帮助。
2018届揭阳市高考理科数学模拟试卷题目
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)函数 的定义域为
(A) (B) (C) (D)
(2)已知复数 ( ， 是虚数单位)是纯虚数，则 为
(A) (B) (C)6 (D)3
(3)“ 为真”是“ 为真”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(4)已知 ，则
(A) (B) (C) (D)
(5)已知 ，则
(A) (B)
(C) (D)
(6)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年
商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图1
所示(单位：升)，则此量器的体积为(单位：立方升)
(A)14 (B)
(C) (D)
(7)设计如图2的程序框图，统计高三某班59位同
学的数学平均分，输出不少于平均分的人数
(用j表示)，则判断框中应填入的条件是
(A) (B)
(C) (D)
(8)某微信群中四人同时抢3个红包，每人最多抢一个，
则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为
(A) (B) (C) (D)
(9)已知实数 满足不等式组 ，若
的最小值为-3，则a的值为
(A)1 (B) (C)2 (D)
(10)函数 的大致图象是
(A) (B) (C) (D)
(11)已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为
(A)64 (B)128 (C)192 (D)384
(12)已知函数 ， .若 在区间 内有零点，则 的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题 第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答.第(22)题 第(23)题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上.
(13)已知向量 满足 ，则 .
(14)已知直线 与圆 相切，则 的值为 .
(15)在△ABC中，已知 与 的夹角为150°， ，则 的取值范围是 .
(16)已知双曲线 的离心率为 ， 、 是双曲线的两个焦点，A为左顶点、B ，点P在线段AB上，则 的最小值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知数列 中， ， .
(I)求证：数列 是等比数列;
(II)求数列 的前 项和为 .
(18)(本小题满分12分)
已知图3中，四边形 ABCD是等腰梯形， ， ，O、Q分别为线段AB、CD的中点，OQ与EF的交点为P，OP=1，PQ=2，现将梯形ABCD沿EF折起，使得 ，连结AD、BC，得一几何体如图4示.
(Ⅰ)证明：平面ABCD 平面ABFE;
(Ⅱ)若图3中， ，CD=2，求平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值.
(19)(本小题满分12分)
某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智
力游戏，游戏共五关.规定第一关没过者没奖励，过
关者奖励 件小奖品(奖品都一样).图5
是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估
计概率.
(Ⅰ)估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值;
(Ⅱ)估计小明在3 次游戏中至少过两关的平均次数;
(Ⅲ)估计小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率.
(20)(本小题满分12分)
已知椭圆 与抛物线 共焦点 ，抛物线上的点M到y轴的距离等于 ，且椭圆与抛物线的交点Q满足 .
(I)求抛物线的方程和椭圆的方程;
(II)过抛物线上的点 作抛物线的切线 交椭圆于 、 两点，设线段AB的中点为 ，求 的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
设函数 ( )， ，
(Ⅰ) 试求曲线 在点 处的切线l与曲线 的公共点个数;
(Ⅱ) 若函数 有两个极值点，求实数a的取值范围.
(附：当 ，x趋近于0时， 趋向于 )
请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.
(22) (本小题满分10分)选修4 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，已知直线l1： ( ， )，抛物线
C： (t为参数).以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线l1 和抛物线C的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线l1 和抛物线C相交于点A(异于原点O)，过原点作与l1垂直的直线l2，l2和抛物线C相交于点B(异于原点O)，求△OAB的面积的最小值.
(23) (本小题满分10分)选修4 5：不等式选讲
已知函数 .
(Ⅰ)求不等式 的解集 ;
(Ⅱ)当 时，证明： .
2018届揭阳市高考理科数学模拟试卷答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A C C B B D A B C D
解析：(6)易得该几何体为一底面半径为 、高为2的圆柱与一长、宽、高分别为4、3、1的长方体的组合，故其体积为： .
(8)3个红包分配给四人共有 种分法，“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红包中选2个分配给甲、乙，其余1个分配给另外二人，其概率为 .
(9)如右图，当直线 过点 时，z取得最小值，即 .
(10)由 可排除(D)，由 ， ，可排(A)(C)，故选(B).
(11)以投影面为底面，易得正方体的高为 ，设长方体底面边长分别为 ，则 ， .
(12) ，由 令 得函数 有一零点 ，排除(B)、(C)，令 得函数 在 上的零点从小到大为： ，显然 ， 可排除(A)，故答案为(D)
【法二： ，由 得 ，当 时， ，由题意知存在 ， ，即 ，所以 ，由 知 ，当 时， ， ， ，…，所以选D.】
二、填空题：
题号 13 14 15 16
答案
解析：
(15) 由 与 的夹角为150°知 ,由正弦定理得：
,又 得 .
(16)易得 ，设 则 ，
显然，当 时， 取得最小值，
由面积法易得 ，故 的最小值为 .
三、解答题：
(17)解：(I)证法1：由已知得 ，-----------------------------1分
∴ ，--------------------------------------------------------3分
又 ，得 ，∴ ，---------------------------------------5分
∴数列 是首项为2，公比为2的等比数列.-----------------------6分
【证法2：由 得 ，----------------1分
由 及递推关系，可知 ，所以 ，
∴ ，------------------5分
∴数列 是首项为2，公比为2的等比数列.----------------------------------6分】
(II)由(I)得 ，∴ ，---------------------------8分
，
设 ，-------------①
则 ，---------②
①式减去②式得
，
得 ，------------------------------------------------------------------10分
又 ，
∴ .-----------------------------------------------------12分
(18)解：(Ⅰ)证明：在图3中，四边形ABCD为等腰梯形，
O、Q分别为线段AB、CD的中点，
∴OQ为等腰梯形ABCD的对称轴，又AB// ，
∴OP⊥EF、PQ⊥EF，①---------------------2分
在图4中，∵ ，∴ --------------3分
由①及 ，得EF⊥平面OPQ，∴EF⊥OQ，----------------4分
又 ，∴OQ 平面ABFE，----------------------------------5分
又 平面ABCD，∴平面ABCD 平面ABFE;-------------------------------------6分
(Ⅱ)在图4中，由 ，CD=2，易得PE=PF=3，AO=OB=4，----------------7分
以O为原点，PO所在的直线为x轴建立空间直角坐标系 ，如图所示，
则 、 、
得 ， -------8分
设 是平面BCF的`一个法向量，
则 ，得 ，
取z=3，得 ---------9分
同理可得平面ADE的一个法向量 -------------------------------------10分
设所求锐二面角的平面角为 ，
则 =
所以平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值为 .-------------------------------12分
(19)解：(Ⅰ)设小明在1次游戏中所得奖品数为 ，则 的分布列为
0 1 2 4 8 16
P 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1
-------------------2分
的期望值 ;----------------4分
(Ⅱ)小明在1 次游戏中至少过两关的概率为0.7，-----------------------------5分
设小明在3 次游戏中至少过两关的次数为X，可知 ，
则X的平均次数 ;------------------------------------------7分
(Ⅲ)小明在3 次游戏中所得奖品超过30件含三类：恰好一次 和两次 ，恰好二次 ，恰好三次 ，---------------------------------------------------------------8分
，---------------------------------9分
= ，------------------------10分
------------------------------------------------------------11分
所以小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率为 .------12分
(20)解：(I)∵抛物线上的点M到y轴的距离等于 ，
∴点M到直线 的距离等于点M到焦点 的距离，----------------1分
得 是抛物线 的准线，即 ，
解得 ，∴抛物线的方程为 ;-----------------------------------3分
可知椭圆的右焦点 ，左焦点 ，
由 得 ，又 ，解得 ，-------4分
由椭圆的定义得 ，----------------------5分
∴ ，又 ，得 ，
∴椭圆的方程为 .-----------------------------------------------------6分
(II)显然 ， ，
由 ，消去x，得 ，
由题意知 ，得 ，-----------------------------------7分
由 ，消去y，得 ，
其中 ，
化简得 ，-------------------------------------------------------9分
又 ，得 ，解得 ，--------------------10分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 <0，
由 ，得 ，∴ 的取值范围是 .--------------12分
(21)解：(Ⅰ)∵ ， ，
切线 的斜率为 ，---------------------------------------------1分
∴切线 的方程为 ，即 ，-----2分
联立 ，得 ;
设 ，则 ，----------3分
由 及 ，得 或 ，
∴ 在 和 上单调递增，可知 在 上单调递减，----4分
又 ， ，所以 ， ，-----------5分
∴方程 有两个根：1和 ，从而切线l与曲线 有两个公共点.--6分
(Ⅱ)由题意知 在 至少有两不同根，----------------7分
设 ，
①当 时， 是 的根，
由 与 ( )恰有一个公共点，可知 恰有一根 ，
由 得a=1，不合题意，
∴当 且 时，检验可知 和 是 的两个极值点;-----------------8分
②当 时， 在 仅一根，所以 不合题意;--9分
③当 时，需 在 至少有两不同根，
由 ，得 ，所以 在 上单调递增，
可知 在 上单调递减，
因为 ，x趋近于0时， 趋向于 ，且 时， ，
由题意知，需 ，即 ，解得 ，------11分
∴ .
综上知， .---------------------------------------------------12分
选做题：
(22)解：(Ⅰ)可知l1是过原点且倾斜角为 的直线，其极坐标方程为
---------------------------------------------------------2分
抛物线C的普通方程为 ，-------------------------------------------3分
其极坐标方程为 ，
化简得 .-----------------------------------------------------5分
(Ⅱ)解法1：由直线l1 和抛物线C有两个交点知 ，
把 代入 ，得 ，-----------------6分
可知直线l2的极坐标方程为 ，-----------------------7分
代入 ，得 ，所以 ，----8分
，
∴△OAB的面积的最小值为16.----------------------------------------------------------10分
【解法2：设 的方程为 ，由 得点 ，------6分
依题意得直线 的方程为 ，同理可得点 ，-------------7分
故 -------------------------8分
，(当且仅当 时，等号成立)
∴△OAB的面积的最小值为16.----------------------------------------------------------10分】
(23)解：(Ⅰ)由 ，得 ，即 ，--------------3分
解得 ，所以 ;----------------------------------------------5分
(Ⅱ)法一：
-----------------------------------7分
因为 ，故 ， ， ， ，--------8分
故 ，
又显然 ，故 .-------------------------------------------------1 0分
【法二：因为 ，故 ， ，----------------6分
而 ------------------------------7分
，-------------------------8分
即 ，故 .------------------------------------10分】
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