2018届威海市高考理科数学模拟试卷及答案
高考理科数学主要考察考生，基本计算的准确与速度、思考问题的全面与严谨等方面内容，我们可以多做高考理科数学模拟试卷来提升这方面的能力，下面是小编为大家精心推荐的2018届威海市高考理科数学模拟试卷，希望能够对您有所帮助。
2018届威海市高考理科数学模拟试卷题目
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知 是虚数单位，则复数 的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.6名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的概率为( )
A. B. C. D.
4.设 为双曲线 的左、右焦点， 为 上一点， 与 轴垂直，直线 的斜率为 ，则双曲线 的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为2，则输出 的值为( )
A.64 B.84 C.340 D.1364
6.已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
7.已知函数 的图象关于直线 对称，则 ( )
A. B. C. D.
8.在区域 中，若满足 的区域面积占 面积的 ，则实数 的值是( )
A. B. C. D.
9.在四面体 中，若 ， ， ，则直线 与 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
10.函数 的图象大致是( )
A. B. C. D.
11.已知 是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上，线段 与圆 相切于点 ，且点 为线段 的中点，则 (其中 为椭圆 的离心率)的最小值为( )
A. B. C. D.
12.“牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).如图，正边形 是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为 的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.已知向量 满足 ， ，且 ，则实数 .
14. 的展开式中 的系数是20，则实数 .
15.已知函数 ，数列 满足 ，则 .
16.对于定义域为 的函数 ，若满足① ;②当 ，且 时，都有 ;③当 ，且 时， ，则称 为“偏对称函数”.现给出四个函数： ; ;
; .
则其中是“偏对称函数”的函数个数为 .
三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在 中，角 所对的边分别为 ，且 ， .
(Ⅰ)若 ，求角 的正弦值及 的面积;
(Ⅱ)若 在线段 上，且 ， ，求 的长.
18.如图，在四棱锥 中，侧面 底面 ，底面 是平行四边形， ， ， ， 为 的中点，点 在线段 上.
(Ⅰ)求证： ;
(Ⅱ)试确定点 的位置，使得直线 与平面 所成的角和直线 与平面 所成的角相等.
19.某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费;若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费;若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费.为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量(单位：吨)，将数据按照 分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况.
(ⅰ)现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率;
(ⅱ)试估计全市居民用水价格的期望(精确到0.01);
(Ⅱ)如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费 (元)与月份 的散点图，其拟合的线性回归方程是 .若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数.
20.已知椭圆 的右焦点 ，椭圆 的左，右顶点分别为 .过点 的.直线 与椭圆交于 两点，且 的面积是 的面积的3倍.
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)若 与 轴垂直， 是椭圆 上位于直线 两侧的动点，且满足 ，试问直线 的斜率是否为定值，请说明理由.
21.已知函数 ， .
(Ⅰ)当 时，求证：过点 有三条直线与曲线 相切;
(Ⅱ)当 时， ，求实数 的取值范围.
请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目记分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为： ，将曲线 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线 .
(Ⅰ)求曲线 的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知直线 与曲线 交于 两点，点 ，求 的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数 ， .
(Ⅰ)当 时，求关于 的不等式 的解集;
(Ⅱ)当 时， ，求实数 的取值范围.
2018届威海市高考理科数学模拟试卷答案
一、选择题
1-5:ADBCB 6-10:AACDD 11、12：CC
二、填空题
13. 14.2 15. 16.2
三、解答题
17.解：(Ⅰ) ， ， ，
在 中，由正弦定理 ，
得 ，
又 ，所以 ，则 为锐角，所以 ，
则 ，
所以 的面积 .
(Ⅱ)设 ，则 ， ，又 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
则 ，所以 ，
在直角 中， .
18.解：(Ⅰ)证明：在平行四边形 中，连接 ，因为 ， ， ，
由余弦定理得 ，得 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ，
又 ， ，所以 ， ，
所以 平面 ，所以 .
(Ⅱ)侧面 底面 ， ，所以 底面 ，所以直线 两两互相垂直，以 为原点，直线 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系 ，则 ，所以 ， ， ，
设 ，
则 ， ，
所以 ，
易得平面 的法向量 .
设平面 的法向量为 ，
由 ， ，
得 ，令 ，得 .
因为直线 与平面 所成的角和此直线与平面 所成的角相等，
所以 ，即 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 .
19.解：(Ⅰ)(ⅰ)由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为 ，因此这5户居民恰好3户居民的月用水量都超过12吨的概率为
.
(ⅱ)由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：
月用水量 (吨)
价格 (元/吨)
4 4.20 4.60
概率
0.9 0.06 0.04
所以全市居民用水价格的期望 吨.
(Ⅱ)设李某2016年1～6月份的月用水费 (元)与月份 的对应点为 ，它们的平均值分别为 ，则 ，又点 在直线 上，所以 ，因此 ，所以7月份的水费为 元.
设居民月用水量为 吨，相应的水费为 元，则
，即 ，
当 时， ，
所以李某7月份的用水吨数约为13吨.
20.解法一：(Ⅰ)因为 的面积是 的面积的3倍，
所以 ，即 ，所以 ，所以 ，
则椭圆 的方程为 .
(Ⅱ)当 ，则 ，
设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
不妨设点 在 轴上方， ，设 ，
则 的直线方程为 ，代入 中整理得
，
;
同理 .
所以 ， ，
则 ，
因此直线 的斜率是定值 .
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)依题意知直线 的斜率存在，所以设 方程： 代入 中整理得
，设 ，
所以 ， ，
当 ，则 ，不妨设点 在 轴上方， ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，
整理得 ，
即 ，所以 或 .
当 时，直线 过定点 ，不合题意;
当 时， ，符合题意，
所以直线 的斜率是定值 .
21.解法一：(Ⅰ)当 时， ，
设直线与曲线 相切，其切点为 ，
则曲线 在点 处的切线方程为： ，
因为切线过点 ，所以 ，
即 ，
∵ ，∴ ，
设 ，
∵ ， ， ，
∴ 在三个区间 上至少各有一个根
又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程 恰有三个根，
故过点 有三条直线与曲线 相切.
(Ⅱ)∵当 时， ，即当 时，
∴当 时， ，
设 ，则 ，
设 ，则 .
(1)当 时，∵ ，∴ ，从而 (当且仅当 时，等号成立)
∴ 在 上单调递增，
又∵ ，∴当 时， ，从而当 时， ，
∴ 在 上单调递减，又∵ ，
从而当 时， ，即
于是当 时， .
(2)当 时，令 ，得 ，∴ ，
故当 时， ，
∴ 在 上单调递减，
又∵ ，∴当 时， ，
从而当 时， ，
∴ 在 上单调递增，又∵ ，
从而当 时， ，即
于是当 时， ，
综合得 的取值范围为 .
解法二：(Ⅰ)当 时， ，
，
设直线与曲线 相切，其切点为 ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，
因为切线过点 ，所以 ，
即 ，
∵ ，∴
设 ，则 ，令 得
当 变化时， ， 变化情况如下表：
+ 0 - 0 +
↗ 极大值
↘ 极小值
↗
∴ 恰有三个根，
故过点 有三条直线与曲线 相切.
(Ⅱ)同解法一.
22.解：(Ⅰ)曲线 的直角坐标方程为 ，
∴ 的直角坐标方程为 .
(Ⅱ)由直线 的极坐标方程： ，得
所以直线 的直角坐标方程为： ，又点 在直线 上，
所以直线 的参数方程为： ( 为参数)，
代入 的直角坐标方程得 ，
设 对应的参数分别为 ，
∴ ，∴ .
23.解：(Ⅰ)当 时，不等式 为
若 时，不等式可化为 ，解得 ，
若 时，不等式可化为 ，解得 ，
若 时，不等式可化为 ，解得 ，
综上所述，关于 的不等式 的解集为 .
(Ⅱ)当 时， ，
所以当 时， 等价于 ，
当 时，等价于 ，解得 ，
当 时，等价于 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
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