届淄博市高考理科数学模拟试卷及答案

　　A.(0，4] B.(﹣∞，4) C.[4，+∞) D.(4，+∞)

　　【考点】18：集合的包含关系判断及应用.

　　【分析】利用一元二次不等式可化简集合A，再利用A⊆B即可得出.

　　【解答】解：对于集合A={x|x2﹣4x<0}，由x2﹣4x<0，解得0

　　又B={x|x

　　∵A⊆B，

　　∴a≥4.

　　∴实数a的取值范围是a≥4.

　　故选C.

　　【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，属于基础题.

　　2.欧拉公式eix=cosx+isinx (i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e 表示的复数的模为(　　)

　　A. B.1 C. D.

　　【考点】A8：复数求模.

　　【分析】直接由题意可得 =cos +isin ，再由复数模的计算公式得答案.

　　【解答】解：由题意， =cos +isin ，

　　∴e 表示的复数的模为 .

　　故选：B.

　　【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.

　　3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　)

　　A.100 B.82 C.96 D.112

　　【考点】L!：由三视图求面积、体积.

　　【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，分别计算长方体和棱锥的体积，相减可得答案.

　　【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，

　　长方体的体积为：6×6×3=108，

　　棱锥的体积为： ×4×3×4=8，

　　故组合体的体积V=108﹣8=100，

　　故选：A.

　　【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档.

　　4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)

　　A.函数f(x)的最小正周期为

　　B.直线x=﹣ 是函数f(x)图象的一条对称轴

　　C.函数f(x)在区间[﹣ ， ]上单调递增

　　D.将函数f(x)的图象向左平移 个单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)=2sin2x

　　【考点】H2：正弦函数的图象.

　　【分析】先求出函数的解析式，再进行判断，即可得出结论.

　　【解答】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象，

　　可得A=2，图象的一条对称轴方程为x= = ，一个对称中心为为( ，0)，

　　∴ = = ，∴T= ，∴ω=2，

　　代入( ，2)可得2=2sin(2× +φ)，∵|φ|<π，∴φ=﹣ ，

　　∴f(x)=2sin(2x﹣ )，将函数f(x)的图象向左平移 个单位，可得g(x)=2sin[2(x+ )﹣ ]=2sin2x，

　　故选：D.

　　【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键.

　　5.对于四面体A﹣BCD，有以下命题：①若AB=AC=AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等;②若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心;③四面体A﹣BCD的四个面中最多有四个直角三角形;④若四面体A﹣BCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为 .其中正确的命题是(　　)

　　A.①③ B.③④ C.①②③ D.①③④

　　【考点】2K：命题的真假判断与应用.

　　【分析】对于①，根据线面角的定义即可判断;

　　对于②，根据三垂线定理的逆定理可知，O是△BCD的垂心，

　　对于③在正方体中，找出满足题意的四面体，即可得到直角三角形的个数，

　　对于④作出正四面体的图形，球的球心位置，说明OE是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面积.

　　【解答】解：对于①，因为AB=AC=AD，设点A在平面BCD内的射影是O，因为sin∠ABO= ，sin∠ACO= ，sin∠ADO= ，所以sin∠ABO=sin∠ACO=sin∠ADO，

　　则AB，AC，AD与底面所成的角相等;故①正确;

　　对于②设点A在平面BCD内的射影是O，则OB是AB在平面BCD内的射影，因为AB⊥CD，根据三垂线定理的逆定理可知：CD⊥OB 同理可证BD⊥OC，所以O是△BCD的垂心，故②不正确;

　　对于③：如图：直接三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4.故③正确

　　对于④，如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为：1;

　　所以OE为内切球的半径，BF=AF= ，BE= ，

　　所以AE= = ，

　　因为BO2﹣OE2=BE2，

　　所以( ﹣OE)2﹣OE2=( )2，

　　所以OE= ，

　　所以球的表面积为：4π•OE2= ，故④正确.

　　故选D.

　　【点评】本题考查命题的真假判断与应用，综合考查了线面、面面垂直的判断与性质，考查了学生的空间想象能力，是中档题.

　　6.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n(modm)，例如11=2(mod3).现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于(　　)

　　A.21 B.22 C.23 D.24

　　【考点】EF：程序框图.

　　【分析】该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为2的数，根据所给的选项，得出结论.

　　【解答】解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，

　　在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23，

　　故选：C.

　　【点评】本题主要考查程序框图的应用，属于基础题.

　　7.若数列{an}是正项数列，且 + +…+ =n2+n，则a1+ +…+ 等于(　　)

　　A.2n2+2n B.n2+2n C.2n2+n D.2(n2+2n)

　　【考点】8H：数列递推式.

　　【分析】利用数列递推关系可得an，再利用等差数列的求和公式即可得出.

　　【解答】解：∵ + +…+ =n2+n，∴n=1时， =2，解得a1=4.

　　n≥2时， + +…+ =(n﹣1)2+n﹣1，

　　相减可得： =2n，∴an=4n2.n=1时也成立.

　　∴ =4n.

　　则a1+ +…+ =4(1+2+…+n)=4× =2n2+2n.

　　故选：A.

　　【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

　　8.某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置)，其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有(　　)

　　A.18种 B.24种 C.36种 D.48种

　　【考点】D8：排列、组合的实际应用.

　　【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，②、A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，每种情况下分析乘坐人员的情况，由排列、组合数公式计算可得其乘坐方式的数目，由分类计数原理计算可得答案.

　　【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：

　　①、A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，

　　可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，

　　有C32×C21×C21=12种乘坐方式;

　　②、A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，

　　需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上，

　　对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，

　　有C31×C21×C21=12种乘坐方式;

　　则共有12+12=24种乘坐方式;

　　故选：B.

　　【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，关键是依据题意，分析“乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭”的可能情况.

　　9.命题p：已知数列{an}为等比数列，且满足a3•a6= dx，则logπa4+logπa5= ;命题q：“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”.则下列四个命题：￢p∨￢q、p∧q、￢p∧q、p∧￢q中，正确命题的个数为(　　)

　　A.4 B.3 C.2 D.1

　　【考点】2E：复合命题的真假.

　　【分析】利用微积分基本定理与等比数列的性质即可判断出命题p的真假;利用复合命题真假的判定方法即可判断出命题q的真假.再利用复合命题真假的判定方法即可判断出真假.

　　【解答】解：命题p：已知数列{an}为等比数列，且满足a3•a6= dx= ×π×22=π，则logπa4+logπa5=logπ(a4a5)=logπ(a3a6)=logππ=1≠ ，因此是假命题;

　　命题q：“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”，是真命题.

　　则下列四个命题：￢p∨￢q、p∧q、￢p∧q、p∧￢q中，只有￢p∨￢q、￢p∧q是真命题.

　　正确命题的个数是2.

　　故选：C.

　　【点评】本题考查了微积分基本定理、等比数列的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

　　10.已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x+4)=f(x)，且x∈[0，2]时，f(x)=sinπx+2|sinπx|，则方程f(x)﹣|lgx|=0在区间[0，10]上根的个数是(　　)

　　A.17 B.18 C.19 D.20

　　【考点】54：根的存在性及根的个数判断.

　　【分析】由已知写出分段函数，然后画出图象，数形结合得答案.

　　【解答】解：f(x)=sinπx+2|sinπx|= ，

　　由f(x+4)=f(x)，可知f(x)是以4为周期的周期函数，

　　方程f(x)﹣|lgx|=0即f(x)=|lgx|，方程的根即为两函数y=f(x)与y=|lgx|图象交点的横坐标，

　　作出函数图象如图：

　　由图可知，方程f(x)﹣|lgx|=0在区间[0，10]上根的个数是19.

　　故选：C.

　　【点评】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题.

　　11.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，其准线经过双曲线 ﹣ =1(a>0，b>0)的左焦点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，则双曲线的离心率为(　　)

　　A. B.2 C. D. +1

　　【考点】KC：双曲线的简单性质.

　　【分析】确定抛物线y2=2px(p>0)的焦点与准线方程，利用点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，求出M的坐标，代入双曲线方程，即可求得结论.

　　【解答】解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F( ，0)，其准线方程为x=﹣ ，

　　∵准线经过双曲线 ﹣ =1(a>0，b>0)的左焦点，

　　∴c= ;

　　∵点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，

　　∴M的横坐标为 ，

　　代入抛物线方程，可得M的纵坐标为±p，

　　将M的坐标代入双曲线方程，可得 =1，

　　∴a= p，

　　∴e=1+ .

　　故选：D.

　　【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查曲线的交点，考查双曲线的几何性质，确定M的坐标是关键.

　　12.已知函数f(x)=xlnx+3x﹣2，射线l：y=kx﹣k(x≥1).若射线l恒在函数y=f(x)图象的下方，则整数k的最大值为(　　)

　　A.4 B.5 C.6 D.7

　　【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值.

　　【分析】由题意得问题等价于k< 对任意x>1恒成立，令g(x)= ，利用导数求得函数的最小值即可得出结论.

　　【解答】解：由题意，问题等价于k< 对任意x>1恒成立.

　　令g(x)= ，∴g′(x)= ，

　　令h(x)=x﹣2﹣lnx，故h(x)在(1，+∞)上是增函数，

　　由于h(3)=1﹣ln3<0，h(4)=2﹣ln4>0

　　所以存在x0∈(3，4)，使得h(x0)=x0﹣2﹣lnx0=0.

　　则x∈(1，x0)时，h(x)<0;x∈(x0，+∞)时，h(x)>0，

　　即x∈(1，x0)时，g'(x)<0;x∈(x0，+∞)时，g'(x)>0

　　知g(x)在(1，x0)递减，(x0，+∞)递增，

　　又g(x0)

　　故选B.

　　【点评】本题主要考查利用导数研究函数单调性、最值等性质，考查学生的运算能力，综合性较强，属于中档题.

　　二、填空题(2017•广元模拟)( x﹣1)(2x﹣ )6的展开式中x的系数为　﹣80　.(用数字作答)

　　【考点】DB：二项式系数的性质.

　　【分析】求出(2x﹣ )6展开式的常数项和含x的项，再求( x﹣1)(2x﹣ )6的展开式中x的系数.

　　【解答】解：(2x﹣ )6展开式的通项公式为：

　　Tr+1= •(2x)6﹣r• =(﹣1)r•26﹣r• •x6﹣2r，

　　令6﹣2r=0，解得r=3，

　　∴(2x﹣ )6展开式的常数项为(﹣1)3•23• =﹣160;

　　令6﹣2r=1，解得r= ，

　　∴(2x﹣ )6展开式中不含x的项;

　　∴( x﹣1)(2x﹣ )6的展开式中x的系数为 ×(﹣160)=﹣80.

　　故答案为：﹣80.

　　【点评】本题考查了利用二项式的通项公式求展开式特定项的应用问题，是基础题.

　　14.若实数x，y满足不等式组 ，则 的最小值为　3　.

　　【考点】7C：简单线性规划.

　　【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的斜率公式进行求解即可.

　　【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，

　　的几何意义是区域内的点到定点D(0，﹣1)的斜率，

　　由图象知BD的斜率最小，

　　由 得 ，即B(1，2)，

　　此时BD的斜率k= =3，

　　故答案为：3

　　【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用两点间的斜率公式以及数形结合是解决本题的关键.

　　15.在[﹣2，2]上随机抽取两个实数a，b，则事件“直线x+y=1与圆(x﹣a)2+(y﹣b)2=2相交”发生的概率为　 　.

　　【考点】CF：几何概型.

　　【分析】根据直线和圆相交的条件求出a，b的关系，利用线性规划求出对应区域的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可.

　　【解答】解：根据题意，得 ，

　　又直线x+y=1与圆(x﹣a)2+(y﹣b)2=2相交，

　　d≤r，

　　即 ≤ ，

　　得|a+b﹣1|≤2，

　　所以﹣1≤a+b≤3;

　　画出图形，如图所示;

　　则事件“直线x+y=1与圆(x﹣a)2+(y﹣b)2=2相交”发生的概率为

　　P= = = .

　　故答案为：

　　【点评】本题主要考查几何概型的计算，根据直线和圆相交的位置关系求出a，b的关系是解决本题的关键.注意利用数形结合以及线性规划的知识.

　　16.在平面内，定点A，B，C，D满足| |=| |=| |=2， • = • = • =0，动点P，M满足| |=1， = ，则| |2的最大值为　 　.

　　【考点】9R：平面向量数量积的运算.

　　【分析】根据题意可设D(0，0)，A(2，0)，B(﹣1， )，C(﹣1，﹣ )，P(2+cosθ，sinθ)，M( ， )，利用坐标运算求出 以及 的最大值即可.

　　【解答】解：平面内，| |=| |=| |=2， • = • = • =0，

　　∴ ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，

　　可设D(0，0)，A(2，0)，B(﹣1， )，C(﹣1，﹣ )，

　　∵动点P，M满足| |=1， = ，

　　可设P(2+cosθ，sinθ)，M( ， )，

　　∴ =( ， )，

　　∴ = + = ≤ ，

　　当且仅当sin( ﹣θ)=1时取等号，

　　∴| |2的最大值为 .

　　故答案为： .

　　【点评】本题考查了平面向量坐标运算性质、模的计算公式、数量积运算性质以及三角函数求值问题，是综合题.

　　三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

　　17.(12分)(2017•广元模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3(b2+c2)=3a2+2bc.

　　(Ⅰ)若 ，求tanC的大小;

　　(Ⅱ)若a=2，△ABC的面积 ，且b>c，求b，c.

　　【考点】HS：余弦定理的应用.

　　【分析】(Ⅰ)由3(b2+c2)=3a2+2bc，利用余弦定理，可得cosA，根据 ，即可求tanC的大小;

　　(Ⅱ)利用面积及余弦定理，可得b、c的两个方程，即可求得结论.

　　【解答】解：(Ⅰ)∵3(b2+c2)=3a2+2bc，∴ =

　　∴cosA= ，∴sinA=

　　∵ ，∴

　　∴

　　∴

　　∴tanC= ;

　　(Ⅱ)∵ABC的面积 ，∴ ，∴bc= ①

　　∵a=2，∴由余弦定理可得4=b2+c2﹣2bc×

　　∴b2+c2=5②

　　∵b>c，∴联立①②可得b= ，c= .

　　【点评】本题考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题.

　　18.(12分)(2017•广元模拟)质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分划随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如图的频率分布直方图：

　　(I)写出频率分布直方图(甲)中a的值;记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为s12，s22，试比较s12，s22的大小(只要求写出答案);

　　(Ⅱ)估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一个桶的质量指标大于20，且另一个不大于20的概率;

　　(Ⅲ)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布N(μ，δ2).其中μ近似为样本平均数 ，δ2近似为样本方差s22，设X表示从乙种食用油中随机抽取lO桶，其质量指标值位于(14.55，38.45)的桶数，求X的.散学期望.

　　注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得s2= ≈11.95;

　　②若Z﹣N(μ，δ2)，则P(μ﹣δ

　　【考点】BC：极差、方差与标准差;B8：频率分布直方图.

　　【分析】(Ⅰ)按照题目要求想结果即可.

　　(Ⅱ)设事件A，事件B，事件C，求出P(A)，P(B)，P(C)即可;

　　(Ⅲ)求出从乙种食用油中随机抽取lO桶，其质量指标值位于(14.55，38.45)的概率是0.6826，得到X～B(10，0.6826)，求出EX即可.

　　【解答】解：(Ⅰ)a=0.015，s12>s22;

　　(Ⅱ)设事件A：在甲种食用油中随机抽取1捅，其质量指标不大于20，

　　事件B：在乙种食用油中随机抽取1捅，其质量指标不大于20，

　　事件C：在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一个桶的质量指标大于20，且另一个不大于20，

　　则P(A)=0.20+0.10=0.3，P(B)=0.10+0.20=0.3，

　　∴P(C)=P( )P(B)+P(A)P( )=0.42;

　　(Ⅲ)计算得： =26.5，由条件得Z～N(26.5，142.75)，

　　从而P(26.5﹣11.95

　　∴从乙种食用油中随机抽取lO桶，其质量指标值位于(14.55，38.45)的概率是0.6826，

　　依题意得X～B(10，0.6826)，

　　∴EX=10×0.6826=6.826.

　　【点评】本题考查离散型随机变量的期望的求法，独立重复试验概率的求法，考查计算能力.

　　19.(12分)(2017•广元模拟)如图，四边形ABCD是梯形.四边形CDEF是矩形.且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=90°，AB∥CD，AB=AD=DE= CD，M是线段AE上的动点.

　　(Ⅰ)试确定点M的位置，使AC∥平面DMF，并说明理由;

　　(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求平面DMF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.

　　【考点】MT：二面角的平面角及求法;LS：直线与平面平行的判定.

　　【分析】(Ⅰ)当M是线段AE的中点时，AC∥平面DMF.连结CE，交DF于N，连结MN，利用三角形中位线定理能够证明AC∥平面DMF.

　　(Ⅱ)过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l，过点M作MG⊥AD于G，过G作GH⊥l于H，连结MH，由已知条件推导出∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角，由此能求出所求二面角的余弦值.

　　【解答】解：(Ⅰ)当M是线段AE的中点时，AC∥平面DMF.

　　证明如下：

　　连结CE，交DF于N，连结MN，

　　由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，

　　由于MN⊂平面DMF，又AC不包含于平面DMF，

　　∴AC∥平面DMF.(4分)

　　(Ⅱ)过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l，

　　∵AC∥平面DMF，∴AC∥l，

　　过点M作MG⊥AD于G，

　　∵平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，

　　∴DE⊥平面ABCD，∴平面ADE⊥平面ABCD，

　　∴MG⊥平面ABCD，

　　过G作GH⊥l于H，连结MH，则直线l⊥平面MGH，∴l⊥MH，

　　∴∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角.(8分)

　　设AB=2，则DG=1，GH=DGsin∠GDH=DGsin∠DAC=1× = ，MG= =1(11分)

　　∴cos∠MHG= = ，

　　∴所求二面角的余弦值为 .(12分)

　　【点评】本题考查直线与平面平行的判定及证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.

　　20.(12分)(2017•广元模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且点A(﹣1，0)，B(1，0)，动点C满足 =λ(λ为常数且λ>1)，动点C的轨迹为曲线E.

　　(Ⅰ)试求曲线E的方程;

　　(Ⅱ)当λ= 时，过定点B(1，0)的直线与曲线E交于P，Q两点，N是曲线E上不同于P，Q的动点，试求△NPQ面积的最大值.

　　【考点】KL：直线与椭圆的位置关系.

　　【分析】(Ⅰ)由题意可知丨CA丨+丨CB丨=2λ>2，则动点C的轨迹P为椭圆(除去A、B与共线的两个点).即可求得求曲线E的方程;

　　(Ⅱ)当λ= 时，求得椭圆方程，分类讨论，设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，利用导数求得函数单调性区间，即可求得△NPQ面积的最大值.

　　【解答】解：(Ⅰ)在△ABC中，由丨AB丨=2，则丨CA丨+丨CB丨=2λ(定值)，且2λ>2，

　　∴动点C的轨迹P为椭圆(除去A、B与共线的两个点).

　　设其标准方程为 (a>b>0)，则a2﹣λ2b2﹣λ2=1，

　　∴求曲线的轨迹方程为 (x≠±λ)，

　　(Ⅱ)当λ= 时，椭圆方程为 (x≠± )，.

　　①过定点B的直线与x轴重合时，△NPQ面积无最大值，

　　②过定点B的直线不与x轴重合时，

　　设l方程为：x=my+1，P(x1，y1)、Q(x2，y2)，

　　若m=0，由x≠± ，故此时△NPQ面积无最大值.

　　根据椭圆的几何性质，不妨设m>0，

　　联立方程组 ，消去x整理得：(3+2m2)y2+4my﹣4=0，

　　∴y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，则丨PQ丨= 丨y1﹣y2丨= .

　　因为当直线l与平行且与椭圆相切时，切点N到直线l的距离最大，

　　设切线l：x=my+n(n< )，

　　联立 ，消去x整理得(3+2m2)y2+4mny+2n2﹣6=0，

　　由△=(4mn)2﹣4(3+2m2)(2n2﹣6)=0，解得：2n2﹣3+2m2=0，n<﹣ .

　　又点N到直线l的距离d= ，

　　∴△NPQ面积S= 丨PQ丨d= × × = ，

　　∴S2= .将n2=3+2m2，代入得：S2=6(1﹣ )2(1﹣( )2)，

　　令t= ∈(﹣ ，0)，设函数f(t)=6(1﹣t)2(1﹣t2)，则f′(t)=﹣12(t﹣1)2(2t+1)，

　　由当t∈(﹣ ，﹣ )时，f′(t)>0，当t∈(﹣ ，0)时，f′(t)<0，

　　∴f(t)在(﹣ ，﹣ )上是增函数，在(﹣ ，0)上是减函数，

　　∴fmin(t)=f(﹣ )= .

　　故m2= 时，△NPQ面积最大值是 .

　　∴当l的方程为x=± y+1时，△NPQ的面积最大，最大值为 .

　　【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题.

　　21.(12分)(2017•广元模拟)已知函数f(x)=exsinx﹣cosx，g(x)=xcosx﹣ ex，其中e是自然对数的底数.

　　(1)判断函数y=f(x)在(0， )内的零点的个数，并说明理由;

　　(2)∀x1∈[0， ]，∃x2∈[0， ]，使得f(x1)+g(x2)≥m成立，试求实数m的取值范围;

　　(3)若x>﹣1，求证：f(x)﹣g(x)>0.

　　【考点】6B：利用导数研究函数的单调性;52：函数零点的判定定理;63：导数的运算.

　　【分析】(1)利用导数得到函数y=f(x)在(0， )上单调递增，f(0)=﹣1<0，f( )>0，根据函数零点存在性定理得函数y=f(x)在(0， )内的零点的个数为1;

　　(2)确定函数f(x)在[0， ]上单调递增，可得f(x)min=f(0)=﹣1;函数g(x)在[0， ]上单调递减，可得g(x)max=g(0)=﹣ ，即可求出实数m的范围;

　　(3)先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证 > ，令h(x)= ，x>﹣1，利用导数求出h(x)min=h(0)=1，再令k= ，其可看作点A(sinx，cosx)与点B(﹣ ，0)连线的斜率，根据其几何意义求出k的最大值，即可证明.

　　【解答】解：(1)函数y=f(x)在(0， )内的零点的个数为1，

　　理由如下：∵f(x)=exsinx﹣cosx，

　　∴f′(x)=ex(sinx+cosx)+sinx，

　　∵x∈(0， )，

　　∴f′(x)>0，

　　∴函数y=f(x)在(0， )上单调递增，

　　∵f(0)=﹣1<0，f( )>0，

　　根据函数零点存在性定理得函数y=f(x)在(0， )内的零点的个数为1.

　　(2)∵f(x1)+g(x2)≥m，

　　∴f(x1)≥m﹣g(x2)，

　　∴f(x1)min≥[m﹣g(x2)]min，

　　∴f(x1)min≥m﹣g(x2)max，

　　当x∈[0， ]时，f′(x)>0，函数f(x)在[0， ]上单调递增，

　　∴f(x)min≥f(0)=﹣1，

　　∵g(x)=xcosx﹣ ex，

　　∴g′(x)=cosx﹣xsinx﹣ ex，

　　∵x∈[0， ]，

　　∴0≤cosx≤1，xsinx≥0， ex≥ ，

　　∴g′(x)≤0，

　　∴函数g(x)在[0， ]上单调递减，

　　∴g(x)max≥g(0)= ，

　　∴﹣1≥m+ ，

　　∴m≤﹣1﹣ ，

　　∴实数m的取值范围为(﹣∞，﹣1﹣ ];

　　(3)x>﹣1，要证：f(x)﹣g(x)>0，

　　只要证f(x)>g(x)，

　　只要证exsinx﹣cosx>xcosx﹣ ex，

　　只要证ex(sinx+ )>(x+1)cosx，

　　由于sinx+ >0，x+1>0，

　　只要证 > ，

　　下面证明x>﹣1时，不等式 > 成立，

　　令h(x)= ，x>﹣1，

　　∴h′(x)= ，x>﹣1，

　　当x∈(﹣1，0)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，

　　当x∈(0，+∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，

　　∴h(x)min=h(0)=1

　　令k= ，其可看作点A(sinx，cosx)与点B(﹣ ，0)连线的斜率，

　　∴直线AB的方程为y=k(x+ )，

　　由于点A在圆x2+y2=1上，

　　∴直线AB与圆相交或相切，

　　当直线AB与圆相切且切点在第二象限时，直线AB的斜率取得最大值为1，

　　∴当x=0时，k= <1=h(0)，x≠0时，h(x)>1≥k，

　　综上所述，当x>﹣1，f(x)﹣g(x)>0.

　　【点评】本题考查了函数零点存在性定理，导数和函数的最值的关系，以及切线方程，考查分类整合思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力.注意认真体会(3)问中几何中切线的应用，属于难题.

　　请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

　　22.(10分)(2017•广元模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1： (α是参数).在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρcosθ﹣3=0.点P是曲线C1上的动点.

　　(1)求点P到曲线C2的距离的最大值;

　　(2)若曲线C3：θ= 交曲线C1于A，B两点，求△ABC1的面积.

　　【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程.

　　【分析】(1)求得C1的标准方程，及曲线C2的标准方程，则圆心C1到x=3距离d，点P到曲线C2的距离的最大值dmax=R+d=6;

　　(2)将直线l的方程代入C1的方程，求得A和B点坐标，求得丨AB丨，利用点到直线的距离公式，求得C1到AB的距离d，即可求得△ABC1的面积.

　　【解答】解(1)曲线C1： (α是参数).整理得：(x+2)2+(y+1)2=1

　　曲线C2：ρcosθ﹣3=0，则x=3.

　　则圆心C1到x=3距离d，d=2+3=5，

　　点P到曲线C2的距离的最大值dmax=R+d=6;

　　∴点P到曲线C2的距离的最大值6;

　　(2)若曲线C3：θ= ，即y=x，

　　，解得： ， ，

　　丨AB丨= =

　　∴C1到AB的距离d= = ，

　　则△ABC1的面积S，S= × × = .

　　∴△ABC1的面积 .

　　【点评】本题考查参数方程与普通方程的转化，直线与的圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题.

　　[选修4-5：不等式选讲]

　　23.(2013•辽宁)已知函数f(x)=|x﹣a|，其中a>1

　　(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集;

　　(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值.

　　【考点】&2：带绝对值的函数;R5：绝对值不等式的解法.

　　【分析】(1)当a=2时，f(x)≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，直接求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥4的解集即可.

　　(2)设h(x)=f(2x+a)﹣2f(x)，则h(x)= .由|h(x)|≤2解得 ，它与1≤x≤2等价，然后求出a的值.

　　【解答】解：(1)当a=2时，f(x)≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，

　　当x≤2时，得﹣2x+6≥4，解得x≤1;

　　当2

　　当x≥4时，得2x﹣6≥4，解得x≥5;

　　故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}.

　　(2)设h(x)=f(2x+a)﹣2f(x)，则h(x)=

　　由|h(x)|≤2得 ，

　　又已知关于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2}，

　　所以 ，

　　故a=3.

　　【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型.