（精）的数学思想方法
的数学思想方法1
小学数学教学内容包括两条主线。一是数学基础知识。这是一条明线，写在教材上，必须切实保证学生学好。二是数学思想方法。这是一条暗线，并未直接写在教材上，在教学中须予渗透。从数学哲学角度讲，数学学科中，最有生命力、威慑力的是教学观和教学方法论，即数学思想方法。决定一个学生数学素养的高低，最为重要的标志是看他能否用数学的思想方法去解决数学问题，以至日常生活问题。因此，在小学数学教学中，研究如何渗透数学思想方法，是关注学生未来发展的基石。那么，如何在教学中渗透数学思想方法呢？
一、教学设计要研究思想方法
数学思想蕴含于具体的教材内容中，教师在进行教学设计时，要认真钻研教材，充分挖掘教材中蕴含的教学思想方法。而挖掘数学思想方法，关键是要吃透教材，理解教材编写意图，在研究剖析教材的过程中，要在理顺知识结构的领会编写意图的基础上，下功夫研究教材中渗透的数学思想方法。例如，《平行四边形面积的计算》这一课，教材运用割补法把平行四边形转化成长方形，长方形的长和平行四边形的底相等，高和宽相等。在这个过程中，实际渗透的是观察方法和数学量量对应思想，渗透的是数学对应方法。掌握这种方法对学生以后的学习非常有用。因此，在教学过程中，教师要引导学生学会这种对应的方法。指导学生推导平行四边形的面积公式，这是在渗透归纳推理的方法，同时这也是我们常用的建模思想。最后是利用公式求具体的面积，是演绎推理的方法。如果对教材进行了这样的分析，教材中蕴含的.数学思想也就体现出来了。如果能把数学思想梳理如此清楚，数学设计不用去特意体现新理念，它自然就体现出了让学生探究学习的新理念了。
在小学数学中，数学思想方法是极其丰富的。应从一年级就开始渗透。在“数与代数”中，主要有集合思想、函数思想等；在“空间与图形”中，主要有数形结合思想，变换思想、极限思想、建模思想等；在“问题解决”中，主要有化归思想、对应思想、符号化思想等，在“统计与概率”方面有统计思想、排列思想、组合思想、统筹思想、等量代换思想等。这些数学思想方法不是截然分开的，而是融合在一起的。教师在设计教学时，要根据教材内容，认真研究这些数学思想，才能在教学中展示这些基本的数学思想方法，并让学生将它们内化为解题策略。
二、促进数学思想策略的形式
小学生要用数学思想方法解决问题，就必须具备一定的策略。当然，这种策略不能由教师简单地传授给学生，而要在教学中，创设一定的情境，以一定的知识为载体展现出来，并通过学生自主探索、合作交流等学习方式主动建构，形成策略。例如，二年级有一道练习题如下：
此题表面上看是一道普普通通的计算题，但在它的背后，却蕴含着简单的集合思想、函数思想。在教学中，教师要把它展示出来，在学生口算完之后，让学生通过观察、讨论、交流，体会到：一个加数不变，另一个加数变化时，得数也随之变化。从而很自然地渗透了集合思想，函数思想。
三、关注数学思想方法的获得
在教学中，可让学生经历分析、思辨等一系列心理活动，主动接受数学思想方法。例如：在二年级《数与广角》的教学中，为了让学生树立组合思想、排列思想的意识，我是这样开展教学活动的：
第一层次：用数字卡片1、2摆两位数。
第二层次：用数字卡片1、2、3摆两位数（部分学生摆法出现重复或遗漏。）
第三层次：用数字卡片1、2、3、4摆两位数。
第四层次：学生讨论、交流，怎样才能做到不重复、不遗漏。
通过以上学习活动，学生就会深深地认识到学习数学，有序思考的重要性，也意识到数学思想方法无处不在，并在训练中获得了组合思想、排列思想等数学思想方法。
在教学中，也可引导学生，通过反思自己的学习过程，掌握一些基本的数学思想方法。如低年级有这样一道题“小明有3枚邮票，小军有7枚邮票，小军给小明几枚邮票后，两人的邮票相等？”答对的主要有三种情况：一种是猜出来的；另一种是凑数的；还有一种先是“一一对应”去掉相同的部分再“移多补少”，从多出部分中拿出一半给少的。这三种解题方式属于三个思维层次，教师不应否定直觉思维在解题中的作用。但一定在有意识地展现学生的思维过程，引导学生采用较优化的思维策略解决问题，强化学生用数学思想方法解决问题的行为，从而让学生掌握数学思想方法。
数学思想方法是数学学科的灵魂。有思想的知识才是活的知识，有创造力的知识。因此，在小学数学教学中，应重视思想方法的渗透，以提高学生的数学素养。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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一、 更新观念，提高认识
数学知识本身是非常重要的，但是对学生后续的学习、生活和工作长期起作用，并使其终身受益的是数学思想方法。小学数学教学的根本任务是全面提高学生的素质，其中最重要的是思维素质，而数学思想方法就是增强学生的数学观念，形成良好思维素质的关键。淡化或忽视数学思想方法的教学，不仅不利于学生把握数学学科的基本结构，也将影响其能力的发展和数学素养的提高。
数学概念、性质、法则、公式等知识都明显地写在教材中，是“有形”的，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是“无形”的，并且分散于各册教材的各章节中。教师讲不讲，讲多讲少，随意性较大。有的教师常常因教学时间紧，将它作为“软任务”挤掉，对学生的要求则是能领会多少算多少。因此，教师首先要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把掌握数学思想方法纳入教学目标；其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法教学的各种因素，考虑如何结合具体内容进行数学思想方法的渗透，渗透到什么程度；最后，教师应对小学数学中思想方法的教学有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学目标。
二、 寻找载体，重视过程
数学思想方法的渗透是以数学知识为载体，在学生的学习过程中潜移默化地完成的。离开基础知识的教学，数学思想方法的渗透就会变成无源之水。纵观苏教版课程标准数学实验教材，能够渗透数学思想方法的因素是非常广泛的。以函数思想为例，教材从一年级（上册）开始，就通过求未知加数、在方框里填数等形式，将函数思想渗透在例题与习题之中；在统计图表的学习中，用图表将函数思想的核心即对应关系直观化和具体化；在正反比例的学习中，学生将进一步学习用解析式和简单的图像来表示变量之间的函数关系，等等。
数学思想方法的获得依赖于对数学知识学习过程的分析、提炼和概括。重视数学思想方法的教学，必须强化学生的学习过程。只有重视概念的形成过程、法则的'提炼过程、定律的归纳过程、性质的推导过程，以及解题思路的探索过程、解题方法与解题策略的总结过程，才能使学生体会到数学思想方法的价值和力量。
苏教版课程标准数学实验教材尝试把重要的数学思想方法以学生可以理解的简单形式，生动有趣地呈现出来。教师要认真领会教材意图，着力引导学生经历数学知识的发现与动态生成的过程，让学生逐步领会蕴含其中的数学思想方法。教师应采用恰当的方式，及时把隐藏在具体知识背后的思想方法揭示出来，让学生理解和接受。例如“角的认识”，可按以下程序进行教学：（1）由实物图形抽象出几何图形，建立角的表象；（2）在表象的基础上，指出角的顶点和边，使学生对角形成初步认识；（3）利用角的各种表象，分析其本质特征，抽象概括为用语言文字表达的角的概念；（4）使角的概念符号化。显然，这一概念的获得过程，既符合“感知—表象—概念”的认知规律，又能让学生从中体会到怎样实现由实物到图形的抽象，怎样对有联系的材料进行比较，怎样对数学概念进行形式化。
三、 掌握方法，把握时机
为了更好地在教学中渗透数学思想方法，教师不仅要对教材认真研究，潜心挖掘，而且还要思考渗透的手段和方法。这些手段和方法必须适合儿童的认知特点，比如直观法、问题法、剖析法等。直观法就是以图表的形式将数学思想直观化、形象化。直观法的特点是能够将高度抽象的数学思想变成学生容易感知的具体材料，给学生留下鲜明的印象。问题法是指学生在教师的启发下，在探究知识的过程中，通过回顾、思考、总结，逐步领悟数学问题的规律，加深对解题方法的认识。比如，学生通过教师的引导，在学习加法运算律、乘法运算律和商不变的性质等内容的过程中逐步感受不完全归纳法。剖析法是解剖典型的范例，从方法论的角度用儿童能够理解的数学语言去描述数学现象，解释数学规律。
关于数学思想方法的教学，教师还要注意把握时机，适时渗透，这样才能不加重学生的学习负担。就小学数学来说，在形成概念、导出结论、寻找方法、揭示规律的过程中，随时都可捕捉到渗透数学思想方法的有效时机。例如，在概念教学中，概念的引入可以渗透比较的方法，概念的形成可以渗透抽象分析的方法，概念的贯通可以渗透分类的方法。在法则的归纳、公式的推导、结论的发现过程中，可以渗透分析与综合、类比与联想、公理化与符号化等数学思想方法。在解决实际问题的教学中，通过揭示已知条件与所求问题的联系，可以渗透数学解题中常用的化归思想、数学模型思想、数形结合思想等。
四、 勤于练习，善于提炼
在数学教学中，解题是最基本的活动形式。解决问题的过程，也是数学思想方法的运用过程。任何一个问题，从提出直到解决，需要某些具体的数学知识，但更多的是依靠一定的数学思想方法。
数学思想方法的掌握同样需要经历一个逐步深入的过程。只有当学生将某一思想方法应用于新的情境并顺利解决问题时，才能肯定学生对这一数学方法有了深刻的认识。因此，教师对习题的设计也应该从数学思想方法的角度加以考虑，尽量安排一些有助于加深学生对数学思想方法体验的问题，并注意在解决问题之后引导学生进行交流，在明确解题步骤的基础上，深化对解题方法的认识。
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读王永春所著的《小学数学与思想方法》一书后，让我对数学学科中蕴含的数学思想有了一个系统的认识，书中对数学思想的归类总结，让我明白了数学思想的基本划分。书中列举的课本中的实例，更是我在教学中如何把握教学思想的一个重要参考。23年的教学经历，也让我对数学思想的重要性有了亲身的体会。
全书分为上篇和下篇两部分，上篇主要讲述与小学数学有关的数学思想方法，下篇是讲述义务教育人教版小学数学中的数学思想方法案例解读。全书的阅览，我更加觉得培养思维能力才是数学教学的核心目标。只有数学思想方法的教学才可以很好的培养学生的思维能力，并提高学生的解决问题的能力。
书中对有关极限的一些概念、教学要求和解题方法进行了详细的讲解。极限思想是用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想，这里抓住了两个关键语句：一个是变化的量是无穷多个，另一个是无限变化的量趋向于一个确定的常数，二者缺一不可。如自然数列是无限的，但是它趋向于无穷大，不趋向于一个确定的常数，因而自然数列没有极限。在教学中一方面要让学生体会无限，更重要的是通过具体案例让学生体会无限变化的量趋向于一个确定的常数。极限以及在此基础上定义的导数、定积分是解决用函数表达的现实问题的有力工具。有限与无限是辨证思维的'一种体现，要辨证地看待二者的关系，不要用初等数学的“有限的”眼光看“无限的”问题，要用极限思想看无限，极限方法是一种处理无限变化的量的变化趋势的有力工具。换句话说，当我们面对无限的问题时，就不要再用有限的观点来思考，要进入无限的状态，数学上极限就是这么一个规则和逻辑，我们按照这个规则和逻辑去做就可以了。另外，对循环小数和无限不循环小数的理解和表示也体现了有限与无限的辩证关系。我们知道，在中学数学里一般用整数和分数来定义有理数，用无限不循环小数来定义无理数，有理数和无理数统称为实数。有理数包括整数、有限小数和循环小数。整数和有限小数化成分数是学生非常熟悉的，那么，循环小数怎样化成分数呢？我们以前曾经介绍过用方程的方法可以解决这一问题。下面我们再用极限的方法来解决。案例：把循环小数0.999…化成分数。分析：0.999…是一个循环小数，也就是说，它的小数部分的位数有限多个。对于小学生来说，能够接受的方法就是数形结合思想和极限思想的共同应用和渗透，通过构造一个直观地几何图形来描述极限思想。先看下面的数列0.9，0.09，0.009，…用数形结合的思想，把这个数列用线段构造如下：把一条长度是1的线段，先平均分成10份，取其中的9份；然后把剩下的1份再平均分成10份，取其中的9份……所有取走的线段的长度是0.9+0.09+0.009+…=0.999…如此无限的取下去，剩下的线段长度趋向于0，取走的长度趋向于1，根据极限思想，可得0.999…=1。对于教师而言，光有极限思想的渗透是不够的，还需要进一步理解如何用极限方法来解决。这是一个无穷比递缩数列的求和问题，根据公式可得0.9+0.09+0.009+…=0.9÷（1－0.1）＝1所以0.999…=1。
总之，在自己教学实践的过程中联系学过的理论知识，用这些理论知识指导我们的教学。
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数学方法是数学思想的具体化形式,即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。实质上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题，通常混称为思想方法。数学思想方法的自觉运用会使我们运算简洁、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。常见的数学思想方法有：数形结合方法、对应思想方法、转化思想方法、猜想验证思想方法等。下面就以自己的教学实践为例谈谈在实际教学中渗透这些数学思想方法的一些粗浅做法。
一、数形结合的思想方法
数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。
在小学一年级刚开始学习数的认识时，都是以实物进行引入，再从中学习数字的实际含义。例如学习“6的认识”时，先出示主题图，问学生图中有些什么？学生从中数出6朵小花，6只小鸟，6个气球。从而感知5的某些具体意义。再从实物中慢慢抽象成某一特定物体，利用学生的学具小棒摆出由6根小棒组成的任何图形，从而让学生在动手的过程中，不仅表现出自己的独特创意，而且更深一层地理解6的实际意义；第三层次是利用黑板进行画6个圆，6个正方形，6个三角形等特定图形来代表6，从而慢慢抽象至数字6。这样从实物至图形，在抽象到数字，整个过程应该符合一年级小学生的特点，也是数形结合思想的一种渗透。
二、对应思想方法
利用数量间的对应关系来思考数学问题，就是对应思想。寻找数量之间的.对应关系，也是解答应用题的一种重要的思维方式。
在低、中年级整数应用题训练时，教师就应该让学生明白数量之间存在着一一对应的关系。
例如：水果店上午卖出苹果6筐，下午又卖出同样的苹果8筐，比上午多卖100元，每筐苹果多少元? 这里存在着钱数和筐数的对应关系，学生如果能看出下午比上午多卖的100元对应的筐数是(8-6)筐，此题就迎刃而解了，即100÷(8-6)=50(元)。
此外，在教学归一问题、相遇问题时，都要让学生找到题中数量之间的对应关系。解决问题对于小学生是个抽象的问题，特别对于低、中年级学生更难理解。但找到了对应关系，也就找到了解题的关键。
三、转化思想方法
转化就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将一个问题转化成为另外一个问题来解决。一般是将复杂的问题转化为简单的问题，将难解问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。
例如：上“整十、整百相加减”一课时，先让学生观察，然后问一问，能不能把整十、整百相加减化为我们以前所学过的几加几，几减几，这样学生不仅很快能掌握新学得知识，还可以自己解决整百相加减。这正是再渗透转化思想的方法。
四、猜想验证思想方法
猜想验证是一种重要的数学思想方法，正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说：“真正的数学家常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。”因此，小学数学教学中，教师要重视猜想验证思想方法的渗透，以增强学生主动探索和获取数学知识的能力，促进学生创新能力的发展。
例如：教“乘法分配律”一课时，我设计了以下几个环节：
1、出示例题：（1）（6+8）×25 （2）6×25+8×25
学生独自计算结果。
2、讨论两个算式的异同点。
3、根据自己的发现举出类似的例子，并加以计算。
4、验证后，总结归律。
这样，通过算、讨论、说、算、说，学生初步感知了乘法分配律。至此，猜想乘法分配律已是水到渠成。
现代数学思想方法的内涵极为丰富，诸如还有集合思想、极限思想、优化思想、统计思想、等等，小学数学教学中都有所涉及。我们广大小学数学教师要做教学有心人，有意渗透，有意点拨，重视数学史的渗透，重视课堂教学小结，要以适应小学生年龄特点的大众化、生活化方式呈现教学内容，让学生通过现实活动，主动参与、自主探究，学会用数学思维方法提出问题、分析问题、解决问题，从而让学生的数学思维能力得到切实、有效地发展，进而提高全民族的数学文化素养。在小学数学中，数学思想方法给出了解决问题的方向，给出了解决问题的策略。这就需要教师挖掘、提炼隐含于教材的思想方法，纳入到教学目标。有目的、有计划、有步骤地精心设计教学过程，有效地渗透数学思想方法。
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摘要：数学思想和方法是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁。在教学中渗透数学思想和数学方法，是提高学生数学思维能力和数学素养的重要途径，也是培养创造型人才的需要。作为数学教师，应把数学思想和数学方法渗透在数育教学过程中。渗透“方法”了解“思想”，训练“方法”理解“思想”，掌握“方法”运用“思想”，提炼“方法”完善“思想”。
关键词：数学思想，数学方法，数学教学
所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性概括和认知。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。要全面提高学生的数学素质，形成创新思维能力，掌握科学的学习方法，就必须紧紧抓住数学思想和数学方法的教育和培养这一重要环节。
按照人们认识事物的认知规律，由感性认识到理性认识，由感性的积累到理性的飞跃，才能形成一个完整的认知过程，从而在此基础上开始又一轮的更高程度的认知。数学学习也是这样，运用数学方法解决数学问题的过程，就是感性认识不断积累的过程。当感性认识量的积累达到一定程度时，就会产生理性认识质的飞跃，从而上升为数学思想。在数学教学中，我们也要遵守这样的认知规律，由方法的积累到思想的飞跃，而不能违背科学的认知规律。
一、渗透“方法”，了解“思想”
初中学生的数学知识还相对贫乏，抽象思维能力还有待于训练和提高。因此必须将数学知识作为载体，把数学思想和数学方法的教学逐步渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的时机和渗透的程度，举一反三循序渐进。重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程。使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题的能力。忽视或压缩这些过程，一味向学生灌输知识的结论，就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机。如初中数学七年级上册课本《有理数》这一章，与原来部编教材相比，它少了一节——“有理数大小的比较”，而它的要求则贯穿在整章之中。在数轴教学之后，就引出了“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”。而两个负数比较大小的全过程单独地放在绝对值教学之后解决。教师在教学中应把握住这个逐级渗透的原则，既使这一章节的重点突出，难点分散；又向学生渗透了数形结合的思想，学生易于接受。
二、训练“方法”，理解“思想”
数学思想的内容是丰富多彩的，方法也有难易之别。因此，教师在渗透数学思想和数学方法的`过程中，必须遵循循序渐进的原则，有重点有步骤地进行渗透和教学。教师要全面熟悉初中三个年级教材的编排体系、知识结构、能力层次、重点难点。认真钻研教学大纲，吃透教材，努力挖掘教材中进行数学思想和数学方法渗透的条件和因素。对数学知识从思想方法的角度进行认真分析、系统归纳、科学概括，形成全面完整的认知和梳理。同时要对三个年级不同学生的年龄特点、认知能力、接受能力、知识能力基础有一个全面而准确的了解和把握。由易到难、由浅入深、分阶段、分层次地进行数学思想和数学方法的渗透。
如在教学同底数幂的乘法时，引导学生先研究底数、指数为具体数的同底数幂的运算方法和运算结果，从而归纳出一般方法。在得出用a表示底数，用m、n表示指数的一般法则以后，再要求学生应用一般法则来指导具体的运算。在整个教学中，教师分层次地渗透了归纳和演绎的数学方法，对学生养成良好的思维习惯就会起到重要作用。
三、掌握“方法”，运用“思想”
数学知识的学习要经过听讲、复习、做习题等才能掌握和巩固。数学思想、方法的形成同样有一个循序渐进的过程。只有经过反复训练才能使学生真正领会。另外，使学生形成自觉运用数学思想方法的意识，必须建立起学生自我的“数学思想方法系统”，这更需要一个反复训练、不断完善的过程。比如，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握。学习一次函数的时候，我们可以用乘法公式类比；在学习二次函数有关性质时，我们可以和一元二次方程的根与系数性质类比。通过多次重复性的演示，使学生真正理解、掌握类比的数学方法。
四、提炼“方法”，完善“思想”
教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括，让学生有明确的印象。由于数学思想、方法分散在各个不同部分，而同一问题又可以用不同的数学思想、方法来解决。因此，教师的概括、分析是十分重要的。
教学中那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学。它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平能力水平难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略数学知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略深层知识的真谛。因此数学思想的教学应与整个数学知识的讲授融为一体。教师要正确处理知识和能力的关系，精心组织课堂教学，充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用。坚持不懈地照着一个目标迈进，就一定能够实现教育教学的改革和创新，就一定能够完成素质教育的光荣任务。
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美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：
①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；
②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；
③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；
④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。
数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。
为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的`有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。
在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。
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一、加强教材研读，剖析数学思想方法
教师对教材内容的研读是课堂教学的基础，因此，教师在进行课堂教学前需在备课过程中对数学教学内容进行研读时，还需加强对教学思想方法的挖掘，根据课堂授课内容及教学思想方法设计出合理的数学活动或游戏，将教材基础知识和数学思想方法融入到数学活动中。教师进行教材研读时，需对教材内容编排进行整体考虑，如在数对确定位置课程进行研读时，需将教材中符号化思想进行挖掘，教师需明确教学思想方法的挖掘不仅仅局限于教材，挖掘过程可将目光转向生活中的各个方面。如教师可将教学活动设计为小学生感兴趣的动物园示意图，让学生用数对表示各区域的位置，从而使学生了解行、列之间的联系，认识坐标。
二、加强课堂引导，融入数学思想方法
课堂教学是小学生获得专业知识教育的最主要途径，因此教师需在课堂教学过程中融入数学思想方法，提高学生整体学习效率。教师在课堂教学中需扮演引导者的角色，引导学生学会自主观察事物、提出问题、分析问题、得出结论，以便学生将课堂知识内化，融会贯通。如在学习圆形面积计算时，教师可转换教学思想，在圆的面积计算公式推导出来后，将课题延伸，引导学生计算阴影部分面积，当学生解答完毕后，请学生代表上台讲解解答过程，随后总结学生的解答思路，并利用课前制作的模型，向学生展示将阴影部分三角形移动位置后的图形变化状况，让学生明白转换数学思想能简化解答过程。此外，课堂教学即将完毕时，教师还需利用下课前的几分钟对课堂教学内容进行回顾，总结数学思想方法的运用效果，以便加强学生记忆，充分认识转换思想的`重要性，使学生在今后学习中能灵活运用。
三、加强课后运用，巩固数学思想方法
四、总结
综上所述，教学思想方法的渗透是小学数学教师应该完成的一项重要使命，是初级阶段素质教育变革的本根要求，是锻炼学生思维能力和学习能力的重要途径。通过上述分析可知，在小学数学教学中进行思想方法的渗透，教师可以从学生角度出发，结合课程教学内容，合理进行教学设计，让学生在课堂上主动思考问题，在课堂教学中加强对学生思想方法领悟引导，课后对加强学生对自身数学思想方法运用状况总结和交流，在教师的引导下，完成课程教学目标。所以，小学数学教学中思想方法的渗透，在未来将成为重点研究课题，值得我们深入学习和思考。
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函数是高中数学最基础、最重要数学知识之一，贯穿了高中三年数学教学的始终，在各章节知识体系中起到了纽带的作用。
在高中函数的教学中，函数是重点也是难点，学生在学习的过程中往往很重视上课认真听讲，但实际做题的效果并不是很明显，对题目一点小小的变动学生就无从下手，并没有达到由一题通一类的效果。本文根据数学学科的特点对高中数学函数教学中怎样渗透数学思想方法和如何培样学生数学素质进行了探讨，以期对高中数学教学有实际的指导作用。
一、数学思想方法
(一)数学思想的含义。
数学思想顾名思义是人们在认识数学问题意识层面的东西，它是经过思维活动而产生的，对数学知识有基础性和概括性的作用，是掌握数学知识解决数学问题的精髓。
(二)数学思想的内容。
函数思想和方程思想相结合。函数思想是对数学问题进行运动变化的分析，构造相符合的函数关系式，再通过此函数的性质特点和函数图像进行转化和分析问题从而彻底解决问题;方程思想则是在分析数学问题问题中，假设未知变量，寻找问题中变量间的等量关系，从而建立方程式或者方程组，再通过方程式性质特点解出未知变量解决问题。函数思想和方程思想相结合，能到起到举一反三的效果，并不是学一道题就只能做一道题而是学一道题能做同一类型的题，注重的是培养学生解决数学问题的能力。
2.灵活运用转化思想。转化思想实际上是对数学问题的一种灵活变通，是将数学问题中未知不可解决的问题转化到已知可解决的范围当中，将复杂难解的问题转化为简单易解的问题。转化思想是高中数学最常见的数学思想，灵活运用转化思想有益于提高学生在解决数学问题中的逻辑性和应变能力。
3.以形助数和以数辅形的数形结合思想。数形结合思想很好的反映了方程式、抽象的数学语言与直接的函数图像的完美结合。在实际的数学问题中，单纯的代数问题和单纯的图像问题往往很难寻找突破口，但二者结合之后问题就变的简单多了。例如高中所学的三角函数，利用函数图像和函数的性质就可以快速直接的找出最大值、最小值和极大值和极小值。
4.分类讨论思想。在解决一些数学问题中，由于题目的要求和某些函数、不等式的`特殊性质的要求，一个题目会面临多种情况，这时就要对每种情况进行分类讨论求出各自的结果。
分类讨论思想的本质是一种化归思想，可以看作是将复杂的问题分解成若干个小问题逐一突破，对解决数学问题有着重要的作用，也体现了哲学思想中的具体问题具体分析。
5.猜想、推断、证明思想。猜想、推断并不是瞎编乱造的，要有一定的理论和公式作为根据，在解决数学问题中要联系所学过的所有知识进行大胆的逻辑猜想，一步一步的去论证每一个猜想，最后将其串联起来就能得到正确的结果。在解决一些未知的问题时，可以大胆的猜出其结果，然后根据结果一步一步推断出其过程剖析问题，从而解决问题。学生对猜想、推断证明思想的运用有利于激发学生对问题的兴趣，提高学生处理事物的逻辑推理能力。
6.集合思想。所谓集合就是有多种元素组合在一起构成事物的整体，体现的是一种整体思想。学习集合思想有利于培养学生的整体意识，在高中数学教学中学生能够整体的理解题目所表达的意思，通过所学的数学知识能够迅速提取题目的各种条件，并联想到一些隐含的条件，从而判断出有益条件和误导条件更好的解决数学问题。
二、数学思想在高中函数教学的渗透方法
(一)在灌输函数知识的同时渗透数学思想。
在高中数学教学过程中，学生掌握一个概念是有一定的吸收过程的，在此过程中教师不仅要反复让学生深刻理解概念，而且还要给予正确的引导从多方面解释概念，同时，在这个时机向学生渗透数学思想尤为重要。比如说介绍某函数的定义时，我们可以通过函数的性质和图像进行解释，充分可以体现函数的由抽象到具体，更重要的是能够更好地培养学生的发散思维。
(二)通过实例教学强化学生函数的理解。
在教学过程中，当学生对数学概念有了初步认识后，应该找出一些实际的例题进行讲解剖析，既是对已形成的概念的巩固，又是对概念应用的诠释。例如，在老师讲述指数函数时，可以通过结合指数函数的图像进行讲解，让学生建立图像意识更清楚更直接的理解指数函数发生过程前后的变化。
(三)运用数形结合，加强学生的综合解题能力。
在实际的解决数学函数问题时，有时候单纯的代数式是很难寻找解题的突破口的，这时候我们就可以结合函数图像借助函数图像直观、清楚的特点再根据函数的性质寻找突破口。同样给我们一个函数图像我们也应该根据其性质迅速找出隐含条件结合代数式解决题目。这种合理的结合有利于加强学生的综合解题能力。
(四)强化学生对各种函数性质的理解，提高学生辨别函数能力。
不同函数具有不同的性质，强化学生对各类函数性质的理解，可以培养和训练学生对不同函数的辨别能力。在实际的数学问题中，函数之间的相互变换存在很大的迷惑性，如若对函数性质不熟悉就很可能误解此题。
(五)结合函数和方程思想，有效的实现函数和方程的转化。
在高中数学教学中方程和函数是两大核心部分，它们是相辅相成相互转化的。实现函数和方程的有效转化，可以使复杂的问题简单化，帮助学生快速流畅的解题。
三、结语
综上所述，数学思想在高中函数教学的渗透有着不可比拟的作用，不仅丰富了教师的教学手段和提高了教师教学水平，而且还可以培养学生的发散思维帮助学生解决各种各样的数学难题。
参考文献：
[1]帅中涛.高中数学函数教学中渗透数学思想方法的应用[J].读与写(教育学刊)，20xx，(03).
[2]游保平.高中数学函数教学中渗透数学思想方法的应用[J].新课程(中旬)，20xx，(10).
[3]林静.如何在高中数学课堂教学中渗透数学思想方法[J].时代教育，20xx，(01).
[4]张刚辉.试析高中数学渗透教学思想以函数的教学为例[J].数学学习与研究，20xx，(03).
的数学思想方法9
我通过对《数学思想方法》这一课程的学习，并结合我在工作中的实际情况，体会到如下心得：
数学的内容、思想、方法和语言广泛渗入自然学科和社会学科，成为现代文化的重要组成部分。数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养和重要内容之一。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，而数学思想方法在教学实践方面的应用，更能加强教师的数学思想方法教学意识，更新教学观念，形成有效的数学思想方法教学策略，提高教学水平。
1、数学思想。
数学思想是人们对数学科学研究的本质，及规律的深刻认识。它是指导学习数学，解决数学问题的思维方式、观点、策略、指导原则。它具有导向性、统摄性、迁移性。中学数学教学中的基本数学思想有对应思想（函数思想、数形结合思想），系统与统计思想（整体思想、最优化思想、统计思想），化归与辩证思想（化归思想、转换思想）等。
2、数学方法。
数学方法是指某一数学活动过程的途径、程序、手段。它具有过程性、层次性、可操作性。中学数学教学中的基本数学方法：一是科学认识方法：观察与实验，比较与分类，归纳与类比，想象、直觉与顿悟；二是推理论证方法：综合法与分析法，完全归纳法与数学归纳法，演绎法、反证法与同一法；三是求解方程：配方法、换元法、消元法、待定系数法、图象法、轴对称法、平移法、旋转法等。
3、数学思想方法。
数学思想与数学方法既有差异性，又有同一性。数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。“方法”指向“实践”。数学思想是数学方法的灵魂，它指导方法的运用；数学思想与数学方法同属于数学方法论的范畴，它们有时是等同的，并没有明确的界限。由于数学思想与数学方法的这种特殊关系，我们在中学数学教学中把它们统称为数学思想方法。
4、数学思想方法教学。
因为数学教学内容始终反映着显形的数学知识（概念、定理、公式、性质等）和隐形的数学知识（数学思想方法）这两方面。所以，在教学中，我们不仅应当注意显形的.数学知识的传授，而且也应注意数学思想方法的训练和培养。只有注意思想方法的分析，我们才能把课讲活、讲懂、讲深。“讲活”，就是让学生看到活生生的数学知识的来龙去脉，形成过程，而不是死的数学知识；“讲懂”就是让学生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；“讲深”是指学生不仅能掌握具体的数学知识，而且也能感受、领会、形成、运用内在的思想方法。正如波利亚强调：在数学教学中“有益的思考方式、应有的思维习惯”应放在教学的首位。加强数学思想方法教学，必然对提高数学教学的质量起到积极的作用。
的数学思想方法10
《义务教育数学课程标准》指出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分的从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”数学思想是数学学科的精髓、灵魂，是联通数学知识的立交桥，是知识转化为创新的催化剂。学生掌握了数学思想方法，就能从整体上、本质上把握数学，优化数学思维品质，获得终生受益的东西。就是说：学生即使把数学知识忘了，但数学的精神、思想和方法也还会深深地铭刻在头脑中，在将来的学习、工作、生活中发挥积极的作用。那么教师在数学教学中如何渗透数学思想方法，本文就初中数学教学为例谈以下几种做法。
一是加强学习，提高自身综合素养
首先是思想认识要到位。作为教育者，必须变革那种妨碍学生创新精神和创新能力发展的旧的教育观念、教育模式，提高绝大多数人的思想政治素质和专业文化水准。其次是理论水平要提升。没有先进的教育教学理念武装教师的头脑，那么教师的教学行为是空洞的、苍白无力的。只有理论水平上到了一个崭新的层面，教育理念得到了更新，今后的教学才会如鱼得水，如虎添翼。再次是专业知识要吃透。如果把一个知识元素看作是其横向、纵向、前后向的三维空间的一个交叉点，那么老师具备渊博的知识元素，并明晰各个知识元素间的左右、上下、前后的关联，是在教学中渗透数学思想，对学生进行创新教育的关键。
二是挖掘教材“精髓”，面向学生因材施教
教材中数学知识是显化的，数学思想方法是隐化在数学知识之中的，且随着每一章节的数学知识点的不同，潜在数学思想方法也不同。数学思想方法需要由教师充分挖掘。教师有意识地渗透数学思想方法的首要条件是教师要从数学思维方法的角度对教材进行分析、研究，发现和挖掘教材内容中所隐含的数学思想方法。比如：在字母表示数、代数式中蕴含着符号思想；一元二次方程根和二次函数图象与X轴交点蕴含着数形结合思想……教师在备课中必须把握数学思想去设计教学过程，直至讲课、评课、辅导等每个环节中都要有意识地运用数学思想方法，并注意各种数学思想方法的关联，使学生逐步品味、了解、领悟、掌握数学思想方法，这是其一。其次，教师在渗透数学思想的教学中，要置身于学生之中，了解学生的认知结构、思维特点和个性差异，从而确定每一节课创设怎样的情境、提出怎样的问题、讲授怎样的内容、蕴含怎样的数学思想方法、设计怎样的活动、安排怎样的练习等能促进学生积极思维，循序渐进。程序上把握：操作基本知识——连结显现基本思想——领悟掌握基本思想。
三是创设学习情境，激活学生参与情趣
要通过优美的学习环境，使学生从贴近生活的身边事例分离出数学知识，感悟、掌握数学思想方法，并以此解决问题，进而炼造学生的创新意志与能力。
1、营造贴近生活实际的学习氛围。课堂上数学知识内容的展开，教师切记尽量要以社会生活实际铺垫引伸，通过学生自主活动，合作交流，领悟掌握数学思想方法。另外，要注重数学实践活动，就是让学生走出教室，走入社会，走进工厂，走入农村，走入大自然，用数学思想方法去研究问题，解决问题。比如：银行存贷款计算、工厂产值表读解与绘制、乡村道路石长计算、山上植株计算等等，让学生亲临其境，亲身体验是学生理解、掌握数学思想方法的.重要途径。
2、捕捉学生运用数学思想方法的火花点。有这么一个课案实例：教师讲授四边形第一节，他从生产实际导入到定义的四边形内角和，课堂进程环环紧扣，惟妙惟肖，其中引导学生感知、领悟分类比较和转化的数学思想过程，更是步步为营，类比了前所学知识三角形，从而四边形内角和通过作对角线转化为两个三角形的内角和。此时，一学生起立发言：“用两平行线间同旁内角互补也可以证得四边形内角和为360度。遗憾的是老师的评判为：“不能用特殊论证一般。”叫学生坐下而进行其它内容的教学。殊不知，这个学生思维起点是正确的，是他领悟转化思想而迸发出的一点火花。此时，老师如果向学生提供充分的活动机会，帮助他们自主探索、合作交流、讨论辨析，达成共识：过四边形一个顶点作一边的平行线，转化为一梯形和一个三角形，问题同样获证，那么对学生的学习热情和学习效果将是另一种结果。可惜的是老师无情地熄灭了这一点火花。给该生这一点火花加上木柴，可燃起旺烈的火焰，有益于之后学习研究梯形、圆时转化为三角形运用发挥转化思想。因而，教师在教学中要善于捕捉学生运用数学思想方法的火花点，这火花稍纵即逝，这就要求老师在课堂上深入学生的内心世界，紧随学生的思维活动进程，及时调整、重组教学过程，驾驭课堂顺利进行。
3、关注教师言行情感的感染力。在充满好奇心，求知欲强的中学生面前，教师的言行情感决定学生对教师所教学科的情感和学生个性品质的形成，而且会对学生今后的事业产生深远的影响。因此，教师要有强烈的事业心和乐于奉献的精神，要有先进的思想方法，要按学科规律育人，要给学生高尚的爱，要善于构筑沟通师生心灵的桥梁。在教学过程中，教师要充分表现出发自内心的热情，用自已对学生的关爱、对工作的热爱、对数学的兴趣去影响学生，引导学生运用数学思想方法的情感发展，获得数学活动经验。这种潜移默化的感染产生的效果是永恒的，学生受益是终生的。
渗透数学思想的教学任重道远。收到渗透数学思想方法教学的功效，非一年半载所能及，需要教师引领学生在数学学习中长期不断地实践、领悟、积累。在教学中深入对数学思想方法教学研究，进一步提高数学质量，造就新一代创新人才，让我们为新时期赋予的重任而努力吧。
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数学习题浩瀚无边，问题又可变式发散，这样习题就林林总总，题量就千千万万，但是蕴涵在问题中的数学思想方法总是永恒不变的，它是数学的精髓，是解决问题的有效手段，是制胜的法宝，以下就本学期有关的数学思想方法做一个简单的阐述．
一、化归思想
“化归”就是将未知的问题转化成我们已经解决的问题，将复杂的问题转化成简单的问题，也就是将 “未知”的问题“已知化”，“复杂”的问题“简单化”．化归思想是解决问题的常见思想方法．
【例1】△ABC为等边三角形，三边的长均已在图中标出，求的值．
分析：因为△ABC为等边三角形，故AB=BC=CA，所以2x-8=x+6＝3y+2，稍加组合可得2x-8=x+6，可以求出x的值，然后回代又可求出y的值．
解：因为△ABC为等边三角形，故AB=BC=CA，所以2x-8=x+6＝3y+2，
又因为2x-8=x+6，解得，x＝14，将x＝14代入x+6＝3y+2，
解得，y＝6，将x＝14 y＝6代入下式：
＝．
点评：本题利用“化归”的思想，将三角形的三边的长转化成一元一次方程，此处应注意的是方程的组合，不同的组合可能得到的是二元一次方程组，从而加大了计算量和解答难度．
二、分类讨论思想
有时将问题看成一个整体时，则无从下手，若分而治之，各个击破，则能柳暗花明，分类讨论正是这一种思想，也是一种重要是数学思想方法，为了解决问题，将问题说涉及的是对象不遗漏地分成若干类问题，然后逐一解决，从而最终解决整个问题的目的．
【例2】（五城市联赛题）若ab>0，求的值．
分析：因为ab>0，则a>0，b>0或a<0，b<0，于是将问题分成两种情况进行讨论，不难得到结果．
解：因为ab>0，则a>0，b>0或a<0，b<0，
①
当a>0，b>0时，，，
＝＝1+1-1＝1．
②
当a<0，b<0时，，，
＝＝－1－1－1＝－3．
故当ab>0， ＝1或－3．
点评：在分类讨论时，应注意不遗漏地将问题所涉级的.各种情况作出讨论，最后应总结各种讨论的结果．
三、整体思想
与分解，分步处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实际上紧密联系的量作为整体考虑．在整体思想中，往往能够找到问题的捷径．
【例3】已知，求的值．
分析：若将问题中的x看成一个未知数，将其求出，然后代入后式中求值，显然计算复杂繁琐，计算量偏大，但将看成一个整体，通过通分得到，继而看作整体，求其倒数得到，对比联想，容易找到解决问题的思路．
解：因为 ，
则
所以
，则，
所以 ，
将 代入＝＝20xx．
点评：本题若不运用整体的思想方法解题，则计算复杂繁琐，而整体思想的运用，化难为易，整体思想是一种技巧，也是一种重要的思想方法．
的数学思想方法12
为什么我看这个数学思维方法几页就觉得很受益，有触动。因为以前自己数学能学好感觉只是天然的选择，下意识的动作，在这里能找到原理，让你的行为有理论依据，更加明晰思维方法的重要性。自己就是受益于这些思维方法，但却没意识到，看了书才恍然大悟。很多习以为常，想当然的事情明白了这样设计的道理了。比如为啥设计小学五年级六年级。为什么三四年级、初中一年级会是槛。区别主要是抽象能力的发展不同。思维在低年级作用不是特别大。差距显现不出来。从作者的言外之意也可以看到数学思维方法是最重要的东西，但却不是课堂教学的常态目标，只是教学的附属品，渗透出来的，有人悟性高，捕获的多，发展的好。有人不敏感，攫取的少。差距就出来了。
但不管从数学教育从业者还是我们个人的经历来说，数学思维方法都是最基本的。属于对数学本质的认识，理性的认识。
奥数就是为了训练数学思维方法啊。但是真假奥数不一样，假奥数就是教给你套路，记住就好。
我自己数学学习也是原发性的。没人指导，没人培训。不过有人指点肯定会更轻松，或者能更进一步。
我们常说语文学习，词汇是理解力的基础。在数学中，概念是数学学习的基础，是抽象思维的`基础和基本形式。概念大概等同于中文阅读里的抽象词汇，不过概念是有相关系统的东西。说这个是为了说明我们平时说的打好基础再拓展。到底什么是基础。基础就是概念与概念之间的关系构成的知识结构。
所以也自然明白日常我们说的“拓展”是什么。拓展就是在理解概念之间关系的知识结构基础上，利用思想方法、模型思想、推理思想等学习数学，解决问题。
的数学思想方法13
(一)引导学生做到数形有机结合
数形结合是将抽象与具体相融合的过程，在这一过程中能够有效实现数与形的优势互补，将二者之间的本质联系凸显出来。如在学习《圆的面积》一节时，之前学生已对圆有了基本认识，因此，在教学如何计算圆的面积时，教师可先引导学生猜想圆的面积同什么要素有关。为了让学生有更为直观的感受，教师还可要求学生自己在练习本上分别画出半径是3cm、4cm和5cm的圆。然后，再询问学生，这三个圆的大小不一样，那它们的面积大小是什么关系呢?是等于还是半径越小的面积越大，或是半径越大圆的面积越大?学生在思考了一下后大都认为半径为5cm的那个圆最大，半径是3cm的圆的面积最小。在有了这样的认识后，学生就会在头脑中形成圆的面积同半径有关这样一个认识，之后教师就可据此引导学生如何求得圆的面积。综上所述，在引入圆的面积之前，我先让学生对圆同半径之间的关系有了一个清晰的了解，为了达到这个目的采取的是让学生自己动手将头脑中抽象的东西通过图形展示出来并结合具体的数字印证出来的方法。这种数形结合的思想方法能够使问题直观化，将学生学习的积极性和主动性调动起来，提高了课堂教学质量。
(二)学会转化，化难为易
转化的思想就是用联系、运动和发展的观点去看问题，通过变换问题的形式，把未解决的或复杂的问题归结到已经能解决的或简单的问题中，从而获得对原问题的解决，因此转化的思想方法也叫划归的思想方法。在数学教学中转化的思想方法随处可见，特别是在解题时，我们可根据已知条件将问题转化，从另一个角度进行思考将难化易。如在讲完《圆的周长》这一节后，课后习题中有一道题是将长方形和正方形同圆结合起来，让学生在已知半径的情况下分别求出圆、长方形和正方形的周长。我将这道题中的一个小题做了改编，让学生在已知正方形周长的情况下去求圆的周长。圆位于正方形内，二者是相切的关系，这就要求学生能够根据正方形的'周长求出正方形的边长，而正方形的边长就是圆的直径，再套用周长C=d的公式就能求得圆的周长。这套题目要求学生能根据已知条件对问题进行转化，从而创造出更多的已知条件。在这个过程中，学生一方面将新旧知识联系了起来，另一方面也扩散了思维，对于学生学习能力和解决问题能力的提升有积极的促进作用。
(三)及时做到归纳、总结
及时地归纳和总结既能够使知识更加系统化，又便于学生更好地发现各个知识点之间的联系与区别，对于巩固学生知识具有十分重要的作用。在数学中归纳的思想方法指通过对特殊示例、题材的观察和分析，摄取非本质的、次要的要素，从中发现事物的本质联系，并概括普遍性的结论。在讲完《圆》这一节后，我会及时要求学生将跟圆有关的知识总结出来，并在总结的同时思考自己在这一部分的学习中哪里还没有真正掌握，哪里还存在欠缺。此外，我还要求学生将自己之前做过的练习题也做一个总结，甚至是再多做一遍。总结知识点有利于学生做好知识的巩固与梳理工作，练习题的归纳则是让学生对于不同题目的不同解题思路和技巧有一个更明确的认识。而学生在总结的过程中能不断提升自己的概括能力，这也是数学思想方法渗入到学生思维中的一个良好的表现与结果。
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函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f（x）＝0的解就是函数y＝f（x）的图象与x轴的交点的横坐标。
函数是高中数学的重要内容之一，其理论和应用涉及各个方面，是贯穿整个高中数学的一条主线。这里所说的函数思想具体表现为：运用函数的有关性质，解决函数的'某些问题；以运动和变化的观点分析和研究具体问题中的数学关系，通过函数的形式把这种关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决；对于一些从形式上看是非函数的问题，经过适当的数学变换或构造，使这一非函数的问题转化为函数的形式，并运用函数的有关概念和性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到顺利地解决。尤其是一些方程和不等式方面的问题，可通过构造函数很好的处理。
方程思想就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。尤其是对于一些从形式上看是非方程的问题，经过一定的数学变换或构造，使这一非方程的问题转化为方程的形式，并运用方程的有关性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到解决。
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一、几何代数化思想的由来
数学的发展是以数和形两个基本概念作为主干的，数学思想方法的各种变革也是通过这两个概念进行的。在数学的萌芽时期，数和形的研究并不是互相割裂的，长度、面积和体积的量度把数和形紧密地联系起来。可是，在尔后的数学发展中，数和形的联系却长期没能得到进一步的深化。这突出表现在几何和代数的不协调性发展上。
我们知道，几何学作为一门独立的数学学科，最先是在古希腊学者手中形成的，欧几里得《几何原本》的问世就是重要的标志。那时，代数尚处于潜科学阶段，尚未形成严谨的逻辑体系，只是以零散、片断的知识形态存在着。因此，从公元前3世纪到14世纪，几何学在数学中占据着主导地位，而代数则处于从属的地位。由于几何学有着严谨的推理方法和直观的图形，可以把种种空间性质、图形关系问题的探讨，归结成一系列基本概念和基本命题来推演、论证，所以数学家们大都喜欢运用几何思维方式来处理数学问题，甚至把代数看成是与几何不相干的学科。这种人为的割裂，不仅延误了代数的发展，也影响了几何学的进步。
随着数学研究范围的扩大，用几何方法来解决数学问题越来越困难，因为许多问题特别是证明问题往往需要高超的技巧才能奏效，而且推演、论证的步骤又显得相当繁难，缺乏一般性方法。正当几何学难于深入进展时，代数学日趋成熟起来。尤其是在16世纪代数学得到突破性进展，不仅形成了一整套简明的字母符号，而且成功地解决了二次、三次、四次方程的求根问题。这就使代数学在数学中的地位逐渐得到上升，于是综合几何思维占统治地位的局面开始被打破。
历史上最先明确认识到代数力量的是16世纪法国数学家韦达。他尝试用代数方法来解决几何作图问题，并隐约出现了用方程表示曲线的思想。他指出，几何作图中线段的加减乘除可以通过代数的术语表出，所以它们实质上属于代数的运算。随着代数方法向几何学的渗透，代数方法的普遍性优点日益表露出来，于是用代数方法来改造传统的综合几何思维，把代数和几何有机结合起来，互相取长补短，便成为十分必要的了。
实现代数与几何有机结合的关键，在于空间几何结构的数量化，即把形与数统一起来。这一项工作是由法国数学家笛卡儿完成的。笛卡儿继承和发展了韦达等人的先进数学思想，他充分看到代数思想的灵活性和方法的普遍性，为寻求一种能够把代数全面应用到几何中去的新方法思考了二十多年。1619年，他悟出建立新方法的关键，在于借助坐标系建立起平面上的点和数对之间的对应关系，由此可用方程来表示曲线。1637年，他的《几何学》作为《方法论》一书的附录出版，在这个附录中，他明确提出了坐标几何的思想，并用于解决许多几何问题。此书的问世，标志着解析几何的诞生。与笛卡儿同一时代、同一国度的另一位数学家费尔马，也几乎同时独立地发现了解析几何的基本原理。他的思想集中体现在他的《轨迹引论》一书中。
解析几何的出现开创了几何代数化的新时代，它借助坐标实现了空间几何结构的数量化，由此把形与数、几何与代数统一了起来。而坐标本身就是几何代数化的产物，是点与数的统一体，它既是点的位置的数量关系表现，又是数量关系的几何直观，因此它具有形与数的二重性。有了坐标概念，就可以把空间形式的研究转化为数量关系的研究了。
例如，求两点间的距离，如果两点的坐标(x1，y1)和(x2，y2) 何学上两点之间的测量问题就转化成代数学上求一个代数式的值的问题。
再如，求两条曲线的交点，这是几何学中比较困难的一个问题，如果两条曲线的方程给定，那么通过解联立方程组就可求出交点的位置，因为方程组的解恰是二条曲线交点的坐标。
随着解析几何的发展，几何代数的内容和方法不断得到丰富。1704年，牛顿运用坐标方法研究了三次曲线，1748年，欧拉在《分析引论》一书中全面而系统地论述了平面解析几何的理论;1788年，拉格朗日又把力、速度和加速度给予了算术化，由此开创了解析几何中的向量理论研究方向。与此同时，坐标概念本身也在不断地丰富，除直角坐标系外，又相继产生了斜坐标、极坐标、柱坐标和球坐标。坐标系也从二维扩展到三维以及多维和无穷维，从而又出现了多维解析几何和无穷维解析几何。由此又导致了代数几何和泛函分析的产生。
二、几何代数化的意义
几何代数化对于数学的发展有着重要的意义，这里仅就几个方面加以分析。
1.把几何学推到一个新的阶段
几何代数化不仅为几何学提供了新方法，使许多难以解决的几何问题变得简单易解，更重要的是为几何学发展注入了新的活力，增添了崭新的内容。
首先，传统几何学的逻辑基础主要是推理，基本上是定性研究，如直线的平行性、曲线的'相交、图形的全等等。几何代数化的出现，使得图形性质的研究变成方程的讨论和求解，而方程的研究又主要是数量上的分析，这就把几何学从定性研究阶段推到定量分析阶段。
其次，在传统几何学中，空间概念是在人们的社会实践活动中逐渐抽象和确立起来，这种空间概念具有明显的直观性和经验性，如一维的直线、二维的平面和三维的立体。几何代数化的出现，使得空间的几何结构实现了数量化，而数量化了的空间几何结构已不再局限于一维、二维和三维，它可以是n维以至无穷维的，这就把几何学的空间概念从低维扩张到了高维，即把几何学研究的内容从现实空间图形的性质扩展到抽象空间图形的性质。
第三，传统几何学主要研究固定不变的图形，如各种各样的直线形和曲线形，这些图形虽然可以移动和相互变换，但图形本身的结构却是“死”的，即传统几何学是一种静态几何学。几何代数化的出现，使得曲线变成了具有某种特定性质的点的轨迹，即可把曲线看作是由“点”通过运动而生成的，这就使人们对形的认识由静态发展到了动态。
2.为代数学研究提供了新的工具
几何代数化不仅直接影响和改造了传统的几何学，扩大了几何学的研究对象，丰富和发展了几何学的思想方法，而且也使代数学获得了新的生命力。
首先，几何学的概念和术语进入代数学，使许多代数课题具有了直观性。我们知道，和几何学相比，代数学具有更高的抽象性，许多抽象的代数式和方程使人难以把握它们的现实意义。几何代数化的出现，为抽象的代数式和方程提供了形象而直观的模型。如可把方程的解看作是曲线的交点的坐标，可把二次方程根与系数关系的研究转化为考察和分析圆锥曲线与坐标轴的相对位置。
其次，几何学思想方法向代数学的移植和渗透，开拓了代数学新的研究领域。如以线性方程（一次方程）为主要对象的线性代数，就是在线性空间概念的基础上构造起来的，这里的“线性”、“空间”等概念并不是代数学本身所固有的，而是从几何学中借用的。
3.为微积分的创立准备了必要条件
几何代数化思想形成的标志是解析几何的创立，笛卡儿在创立解析几何过程中，不仅提出了代数与几何相结合的思想，而且把变数引进了数学。变数的引进，对于数学的发展有着极为重要的意义，特别是为微积分的创立准备了重要工具，加速了微积分形成的历史进程。从这种意义上看，可把解析几何的产生看作是微积分创立的前奏。对此，恩格斯曾高度评价：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了”。
4.为数学的机械化证明提供了重要启示
定理的机械化证明，是现代数学新兴的一个研究领域，从机械化算法上看，它的方法论基础是利用代数方法把推理程序机械化。因此，定理机械化证明的思想渊源可追溯到几何的代数化。关于这一点，我们在6中还要详细介绍。
此外，几何代数化的思想还给数学研究从方法论上提供了许多重要启示。如数学家们把点与数对、曲线与方程相对应的思想加以发展，提出了函数与点、函数集与空间相对应的思想，在此基础上进而创立了泛函分析这一新的理论。
数学思想方法的重大突破 从常量数学到变量数学
文章摘要：17世纪对于数学发展具有重大意义的事件，除了解析几何开辟了几何代数化这一新的方向外，还有微积分的创立使常量数学过渡到变量数学。从常量数学到变量数学，是数学思想方法的又一次重大突破。
【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累，它包含着数学本身许多根本的变化，也即质的飞跃。历史上发生的数学思想方法的几次重大突破，就充分说明了这一点。
17世纪对于数学发展具有重大意义的事件，除了解析几何开辟了几何代数化这一新的方向外，还有微积分的创立使常量数学过渡到变量数学。从常量数学到变量数学，是数学思想方法的又一次重大突破。
一、变量数学产生的历史背景
变量数学是相对常量数学而言的数学领域。常量数学的对象主要是固定不变的图形和数量，它包括算术、初等代数、初等几何和三角等分支学科。常量数学是描述静态事物的有力工具，可是，对于描述事物的运动和变化却是无能为力的。因此，从常量数学发展到变量数学，就成为历史的必然了。
变量数学之所以产生于17世纪，是有其特定的历史背景的。
从自然科学的发展来看，变量数学是在回答16、17世纪自然科学提出的大量数学问题过程中，酝酿和创立起来的。我们知道，随着欧洲封建社会的解体和资本主义工厂手工业向机器大生产的过渡，自然科学开始从神学的桎梏下解放出来，大踏步地前进。这时，社会生产和自然科学向数学提出了一系列与运动变化有关的新问题。这些新问题，大体可以分为以下五种类型。
第一类问题是描述非匀速运动物体的轨迹。如行星绕日运动的轨迹、各种抛射物体的运动轨迹。
第二类问题是求变速运动物体的速度、加速度和路程。如已知变速运动物体在某段时间内经过的路程，求物体在任意时刻的速度和加速度，或反过来由速度求路程。
第三类问题是求曲线在任一点的切线。如光线在曲面上的反射角问题，运动物体在其轨迹上任一点的运动方向问题。
第四类问题是求变量的极值。如斜抛物体的最大水平距离问题，行星绕日运动的近日点和远日点问题。
第五类问题是计算曲线长度、曲边形面积、曲面体体积、物体的重心以及大质量物体之间的引力等。
上述各类问题尽管内容和提法不同，但从思想方法上看，它们有一个共同的特征，就是要求研究变量及其相互关系。这是16、17世纪数学研究的中心课题，正是对这个中心课题的深入研究，最终导致了变量数学的产生。
从数学的发展来看，变量数学的基础理论-微积分，早在微积分诞生之前的二千多年，就已经有了它的思想萌芽。
公元前5世纪，希腊学者德漠克利特为解决不可公度问题，创立起数学的原子论。它的基本思想是：直线可分为若干小线段，小线段又可再分更小的线段，直至成为点而不可再分，故称点为直线的数学原子即不可分量。平面图形同样可以如此分下去，使得线段成为平面图形的数学原子。利用数学原子概念，德漠克利特求得锥体的体积等于等底等高圆柱的1/3.
公元前4世纪，希腊学者欧道克斯在前人工作的基础上，创立了求曲边形面积和曲面体体积的一般方法-穷竭法。运用此法，他成功地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”和“球体积与其直径的立方成比例”等命题。
微积分的早期先驱者主要是阿基米德，他继承和发展了穷竭法，并应用这一方法解决了诸如抛物线弓形等许多复杂的曲边形面积。继阿基米德之后，微积分的思想方法逐渐成熟起来，其中作出重大贡献的有开普勒、伽利略、卡瓦列利、华利斯、笛卡儿、费尔马和巴罗等人。巴罗甚至接触到了微积分的基本原理-微分和积分的互逆关系。
总之，变量数学的产生不仅有其特定的生产和自然科学背景，而且也是数学自身矛盾运动的必然结果。它是经过相当长时间的酝酿，在16、17世纪生产和自然科学需要的刺激下，经过许多人的努力而准备好由“潜”到“显”过渡的条件的。
二、变量数学的创始及其意义
变量数学由“潜”到“显”的过渡经历了两个具有决定性的重大步骤：一是解析几何的产生，二是微积分的创立。前者为变量数学的创始提供了直接的前提，后者是变量数学创始的主要标志。
微积分的主要创始人是牛顿和莱布尼茨。他们最大的功绩是明确地提出了微分法和积分法，并把两者有机结合起来，建立了微积分的基本原理（牛顿-莱布尼茨公式）。
牛顿主要是从运动学来研究和建立微积分的。他的微积分思想最早出现在1665年5月20日的一页文件中，这一天可做为微积分诞生的日子。他称连续的变量为“流动量”，用符号x、y、z等字母表示，称它们的导数为“流数”，用加小点的字母来表示，如x、y、z等，称微分为“瞬”。
莱布尼茨是从几何学的角度创立微积分的。他的微积分思想最先出现在1675年的手稿之中，他所发明的微积分符号，远远优于牛顿的符号，对微积分后来的发展有重大的影响。现今通用的符号dx、dy、∫等，就是莱布尼茨当年精心选择和创设的。
继牛顿和莱布尼茨之后，18世纪对微积分的创立和发展作出卓越贡献的有欧拉、伯努利家族、泰勒、马克劳林、达朗贝尔、拉格朗日等人。17、18世纪的数学，几乎让微积分占据了主导地位，绝大部分的数学家都被这一新兴的学科所吸引，可见微积分产生意义之重大。
变量数学创始的两个决定性步骤都是在17世纪完成的，因此17世纪也就成了常量数学向变量数学转变的时期。变量数学的产生，是数学史乃至整个科学史的一件大事。它来自于生产技术、自然科学发展的需要以及数学自身的矛盾运动，又回过头来对生产技术、自然科学以及数学自身的发展产生巨大而深远的影响。
首先，变量数学的产生，为自然科学描述现实世界的各种运动和变化提供了有效的工具。我们知道，在现实世界中，“静”和“不变”总是暂时的、相对的，“动”和“变”则是永恒的、绝对的。“整个自然界，从最小的东西到最大的东西，从沙粒到太阳，从原生生物到人，都处于永恒的产生和消灭中，处于不断的流动中，处于无休止的运动和变化中。”可见，自然科学的对象是运动变化着的物质世界，变量数学的产生，为自然科学精确地描述物质世界的运动、变化规律提供了不可缺少的工具。变量数学对于现代生产技术、自然科学的发展，就像望远镜对于天文学、显微镜对于生物学的发展一样重要。假设没有变量数学，现代物质文明建设将是不可想象的事。
其次，变量数学的产生，带来了数学自身的巨大进步。变量数学是从常量数学发展的基础上出现的，它的产生又反过来深深影响了常量数学的发展，特别是常量数学的各个分支学科由于变量数学的渗透而在内容上得到极大的丰富，在思想方法上发生一连串深刻的变革，并由此产生出许多新的分支学科。解析数论和微分几何等分支学科，就是变量数学的思想方法向传统数论和传统几何渗透的产物。就变量数学本身而言，由于它在生产技术和自然科学中有着广泛的应用，所以它一产生出来就得到蓬勃而迅速的发展，并由此相继派生出许多新的分支学科，逐渐形成一个庞大的体系，如级数论、常微分方程论、偏微分方程论、差分学、复变函数论、实变函数论、积分方程、泛函分析等。总之，变量数学无论从内容、思想方法上，还是从应用的范围上，很快就在整个数学中占据了主导地位，长时期以来一直规定和影响着近、现代数学发展的方向。
此外，变量数学的产生还有着深远的哲学意义。众所周知，变量数学的许多基本概念，诸如变量、函数、导数和微分，以及微分法和积分法，从哲学上看，不外是辩证法在数学中的运用，而且是辩证法在数学中取得的一次根本性胜利。正因为如此，革命导师马克思和恩格斯十分重视微积分概念和运算的历史演变，并对其进行了深刻而精辟的哲学分析。马克思在他的《数学手稿》中，运用唯物辩证法的基本观点，详细考察了微积分思想的历史演变过程，深刻揭示了微分概念和运算的辩证实质，还总结分析了不同学术观点的论争对于微分学发展的积极作用。恩格斯在他的《自然辩证法》一书中，阐述了微积分产生的重大意义，指出“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。”他还针对微积分概念的“神秘性”，给出了微积分概念直观的现实原型，指出“自然界运用这些微分即分子时所使用的方式和所依据的规律，完全和数学运用其抽象的微分时的方式和规律相同。”由此可见，变量数学的产生使数学更加成为“辩证的辅助工具和表现方式”，又一次为辩证法的普适性从数学上提供了生动而有力的例证。
数学思想方法的重大突破 从必然数学到或然数学
文章摘要：在现实世界中存在着两类性质截然不同的现象：一类是必然现象，另一类是或然现象。描述和研究必然现象的量及其关系的数学部分，称为必然数学；描述和研究或然现象的量及其关系的数学部分，称为或然数学。从必然数学到或然数学，是数学研究对象的一次显著扩张，也是数学思想方法的又一次重大突破。…
【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累，它包含着数学本身许多根本的变化，也即质的飞跃。历史上发生的数学思想方法的几次重大突破，就充分说明了这一点。
在现实世界中存在着两类性质截然不同的现象：一类是必然现象，另一类是或然现象。描述和研究必然现象的量及其关系的数学部分，称为必然数学；描述和研究或然现象的量及其关系的数学部分，称为或然数学。从必然数学到或然数学，是数学研究对象的一次显著扩张，也是数学思想方法的又一次重大突破。
一、或然数学的现实基础
或然数学的对象是或然现象。所谓或然现象，是指这样的一类现象：它在一定条件下可能会引起某种结果，也可能不引起这种结果。也就是说，在或然现象中，条件和结果之间不存在必然性的联系。例如，投掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面。
与或然现象不同，在必然现象中，只要条件具备，某种结果就一定会发生，即条件和结果之间存在着必然性联系。因此，对于必然现象，可由条件预知结果如何。这一点正是必然数学的现实基础。例如，当我们用微分方程来定量描述某些必然现象的运动和变化过程时，只要建立起相应的微分方程式，并给定问题的初始条件，就可以通过求解微分方程预知未来某时刻这种现象的状态。19世纪英国天文学家亚当斯借助微分方程预言海王星的存在及其在天空中的位置，就是典型的一例。
由于或然现象的条件和结果之间不存在必然性的联系，因此无法用必然数学来加以精确的定量描述。例如，投掷一枚质量均匀的硬币，要想预先准确计算出它一定会出现正面或一定会出现反面，是不可能的。但是，这并不意味着或然现象不存在着数量规律，也不意味着不能从量上来描述和研究或然现象的规律。
从表面上看，或然现象是杂乱无章的，无任何规律可谈，但如果仔细考察，就会发现当同类的或然现象大量重复出现时，它在总体上将会呈现出某种规律性。
例如，一个充有有量气体分子的容器，就单个分子而言，它的运动速度和方向带有明显的或然性，每个分子对器壁的压力大小也具有或然性，因而难以对“速度”、“压力”作以定量分析。然而，实践却表明，就全体分子对器壁的压力而言，器壁所受的总压力却是一个确定的值，即大量气体分子的运动在总体上呈现出一种规律性。同样，当多次重复地投掷一枚质量均匀的硬币时，将会发现出现正面的次数与总投掷次数之比总是在1/2左右摆，而且随着投掷次数的增加，这个比越来越接近1/2.
大量同类或然现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。这种统计规律性的存在，就是或然数学的现实基础。
统计规律性是基于大量或然现象而言的。这里的“大量”包含两层意思：其一是某一或然现象在相同的条件下多次甚至无限地重复出现，如多次投掷硬币，连续发射炮弹，连日观测气温等。其二是众多的同类或然现象同时发生，如容器内的气体分子，电子束中的电子，小麦的催芽试验等。
由于统计规律是一种宏观性的、总体性的规律，不同于单个事物或现象表现出那种“微观性”的规律，因此或然数学在研究方法上有其自身的特殊性。统计方法就是它的一种基本研究方法。统计方法的基本思想是：从一组样本分析、判断整个对象系统的性质和特征。统计方法的逻辑依据是“由局部到整体”、“由特殊到一般”，是归纳推理在数学上的一种具体应用。
二、或然数学的产生和发展
概率论是或然数学的一门基础理论，也是历史上最先出现的或然数学的分支学科。它的创立可作为或然数学产生的标志。
概率论创立于17世纪，但它的思想萌芽至少可追溯到16世纪。在自然界和社会生活中存在着各种各类的或然现象，但最先引起数学家们注意的则是中的问题。16世纪意大利数学家卡当曾计算过掷两颗或三颗骰子时，在所有可能方法中有多少种方法能得到某一预想的总点数。他的研究成果集中体现在他的《论》一书中。由于中的概率问题最为典型，因此，从这类问题着手研究或然现象的数量规律，便成为当时数学研究的一个重要课题。
促使概率论产生的直接动力是社会保险事业的需要。17世纪资本主义工业与商业的兴起和发展，使社会保险事业应运而生。这就刺激了数学家们对概率问题研究的兴趣，因为保险公司需要计算各种意外事件发生的概率，如火灾、水灾和死亡等。由于概率论的思想与方法在保险理论、人口统计、射击理论、财政预算、产品检验以及医学、物理学和天文学中有着广泛的应用，因此，它很快就成为许多数学家认真探讨的一个研究领域。作为数学的一个分支学科，它是经17世纪许多数学家之手创立起来的。其中作出突出贡献的有帕斯卡、费尔马、惠更斯和雅各·伯努利等人。
概率论的许多重要定理是在18世纪提出和建立起来的。例如，棣美佛在他的《机会的学问》一书中，提出了著名的“棣美佛—拉普拉斯中心极限定理”的一种特殊情况。拉普拉斯提出了这一定理的一般情况，他撰写的两部著作《分析概率论》和《概率的哲学探讨》，具有重要的理论和应用价值。蒲丰在其《或然算术试验》一书中，提出了有名的“蒲丰问题”，对这一问题的研究，后来导致了著名的蒙特卡洛方法的产生。高斯和泊松也对概率论作出了重要贡献，高斯奠定了最小二乘法和误差理论的基础，泊松提出了一种重要的概率分布—泊松分布。
从19世纪末开始，随着生产和科学技术中的概率问题的大量出现，概率论得到迅速发展，并不断地派生出一系列新的分支理论。俄国的马尔科夫创立的马尔科夫过程论，在原子物理、理论物理、化学和公共事业等方面有着广泛的应用。此外，还有平稳随机过程论、随机微分方程论、多元分析、试验分析、概率逻辑、数理统计、统计物理学、统计生物学、统计医学等等。目前，或然数学已成为具有众多分支的庞大数学部门，它仍处在发展之中，它的理论和方法在科学技术、工农业生产、国防和国民经济各部门日益得到更加广泛的应用。
数学思想方法的重大突破 从明晰数学到模糊数学
文章摘要：20世纪60年代，随着现代科学技术的发展，数学领域又产生出了一支新秀-模糊数学。模糊数学无论在研究对象还是在思想方法上，都与已有的数学有着质的不同。它的产生不仅极大地拓展了数学的研究范围，而且带来了数学思想方法的一次重大突破。…
【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累，它包含着数学本身许多根本的变化，也即质的飞跃。历史上发生的数学思想方法的几次重大突破，就充分说明了这一点。
20世纪60年代，随着现代科学技术的发展，数学领域又产生出了一支新秀-模糊数学。模糊数学无论在研究对象还是在思想方法上，都与已有的数学有着质的不同。它的产生不仅极大地拓展了数学的研究范围，而且带来了数学思想方法的一次重大突破。
一、模糊数学产生的背景
模糊数学是在特定的历史背景中产生的，它是数学适应现代科学技术需要的产物。
首先，现实世界中存在着大量模糊的量，对这类量的描述和研究需要一种新的数学工具。我们知道，现实世界中的量是多种多样的，如果按着界限是否分明，可把这无限多样的量分为两类：一类是明晰的，另一类是模糊的。实践表明，在自然界、生产、科学技术以及生活中，模糊的量是普遍存在的。例如“高压”、“低温”、“偏上”、“适度”、“附近”、“美丽”、“温和”、“老年”、“健康”等等。这些概念作为现实世界事物和现象的状态反映，在量上是没有明晰界限的。
模糊数学产生之前的数学，只能精确地描述和研究那些界限分明的量，即明晰的量，把它们用于描述和研究模糊的量就失效了。对那些模糊的量，只有用一种“模糊”的方法去描述和处理，才能使结果符合实际。因此，随着社会实践的深化和科学技术的发展，对“模糊”数学方法进行研究也就成为十分必要的了。
其次，电子计算机的发展为模糊数学的诞生准备了摇篮。自本世纪40年代电子计算机问世以来，电子计算机在生产、科学技术各领域的应用日益广泛。电子计算机发展的一个重要方向是模拟人脑的思维，以便能处理生物系统、航天系统以及各种复杂的社会系统。而人脑本身就是一种极其复杂的系统。人脑中的思维活动之所以具有高度的灵活性，能够应付复杂多变的环境，一个重要原因是逻辑思维和非逻辑思维同时在起作用。一般说来，逻辑思维活动可用明晰数学来描述和刻画，而非逻辑思维活动却具有很大的模糊性，无法用明晰数学来描述和刻划。因此，以二值逻辑为理论基础的电子计算机，也就无法真实地模拟人脑的思维活动，自然也就不具备人脑处理复杂问题的能力。这对电子计算机特别是人工智能的发展，无疑是一个极大的障碍。为了把人的自然语言算法化并编入程序，让电子计算机能够描述和处理那些具有模糊量的事物，从而完成更为复杂的工作，就必须建立起一种能够描述和处理模糊的量及其关系的数学理论。这就是模糊数学产生的直接背景。
模糊数学的创立者是美国加利福尼亚大学的札德教授。为了改进和提高电子计算机的功能，他认真研究了传统数学的基础-集合论。他认为，要想从根本上解决电子计算机发展与数学工具局限性的矛盾，必须建立起一种新的集合理论。1965年，他发表了题为《模糊集合》的论文，由此开拓出了模糊数学这一新的数学领域。
二、模糊数学的理论基础
明晰数学的理论基础是普通集合论，模糊数学的理论基础则是模糊集合论。札德也正是从模糊集合论着手，建立起模糊数学的。
模糊集合论与普通集合论的根本区别，在于两者赖以存在的基本概念-集合的意义不同。普通集合论的基本概念是普通集合即明晰集合。对于这种集合，一个事物与它有着明确的隶属关系，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，两者必居其一，不可模棱两可。如果用函数关系式表示，可写成
这里的A(u)称为集合A的特征函数。特征函数的逻辑基础是二值逻辑，它是对事物“非此即彼”状态的定量描述，但不能用于刻划某些事物在中介过渡时所呈现出的“亦此亦彼”性。例如，取A为老年人集合，u为一个年龄为50岁的人，我们拿不出什么令人信服的理由来确定A(u)的值是1还是0.这正是普通集合论的局限之所在。
与普通集合不同，模糊集合的逻辑基础是多值逻辑。对于这种集合，一个事物与它没有“属于”或“不属于”这种绝对分明的隶属关系，因而也就不能用特征函数A(u)来描述。那么，怎样才能定量地描述模糊集合的性质和特征呢?模糊集合论的创立者札德给出了隶属函数的概念，用以代替普通集合论中的特征函数概念。隶属函数的实质，是将特征函数由二值{0，1｝推广到[0，1]闭区间上的任意值。通常把隶属函数表示为μ(u)，它满足
0≤μ(u)≤1（或记作μ(u)∈[0，1]）
有了隶属函数概念，就可给模糊集合下一个准确的定义了。札德在1965年的论文中给出了如下的定义：
隶属函数的选取是一个较为复杂的问题，目前还没有一个固定和通用的模式，它依问题的不同可以有不同的表达形式。在许多情况下，它是凭借经验或统计分析确定的。
例如，某小组有五名同学，记作u1，u2，u3，u4，u5，取论域.现在取为由“性格稳重”的同学组成的集合，显然这是一个模糊集合。为确定每个同学隶属于的程度，我们分别给每个同学的性格稳重程度打分，按百分制给分，再除以100.
这里实际上就是求隶属函数，如果打分的结果是
u1得85分，u2得75分，u3得98分，u4得30分，u5得60分
那么隶属函数的值应是
可表示为
还可表示为
或
普通集合与模糊集合有着内在的联系，这可由特征函数A(u)和隶属函数的关系来分析。事实上，当隶属函数只取[0,1]闭区间的两端点值0，1时，隶属函数也就退化为特征函数A(u)，从而模糊子集也就转化为普通集合A.这就表明普通集合是模糊集合的特殊情况，模糊集合是普通集合的推广，它们既相互区别，又相互联结，而且在一定条件下相互转化。正因为有此内在的联系，决定了模糊数学可以广泛地使用明晰数学的方法，从明晰数学到模糊数学存在着由此达彼的桥梁。
模糊数学作为一门新兴的数学学科，虽然它的历史很短，但由于它是在现代科学技术迫切需要下应运而生的，因而对于它的研究，无论是基础理论还是实际应用，都得到了迅速的发展。
就其基础理论而言，模糊数学研究的课题已涉及到广泛的范围，如模糊数、模糊关系、模糊矩阵、模糊图、模糊映射和变换、模糊概率、模糊判断、模糊规划、模糊逻辑、模糊识别和模糊控制等。
在应用方面，模糊数学的思想与方法正在广泛渗透到科学和技术的各个领域，如物理学、化学、生物学、医学、心理学、气象学、地质学、经济学、语言学、系统论、信息论、控制论和人工智能等。同时，在工农业生产的许多部门已取得明显的社会效益。
数学思想方法的重大突破 从手工证明到机器证明
文章摘要：机器证明是20世纪50年代开始兴起的一个数学领域，也是现代人工智能发展的一个重要方向。从传统的手工证明到定理的机器证明，是现代数学思想方法的一次重大突破。
【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累，它包含着数学本身许多根本的变化，也即质的飞跃。历史上发生的数学思想方法的几次重大突破，就充分说明了这一点。
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