的数学思想方法必备（15篇）
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一、数学思想方法的含义
所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识.所谓数学方法，是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映.运用数学方法解决问题的过程是对解题方法感性认识的不断积累过程，当这种积累量达到一定程度时就产生了质的飞跃，数学方法就上升为数学思想.有人把数学知识体系形容为一座宏伟大厦，而这座大厦是按照一幅构思巧妙的蓝图建筑起来的，如果把数学方法看作是建筑这座大厦时的施工手段，那么这张蓝图就相当于数学思想.总之，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为，两者密切相关，没有本质上的区别，因此，通常把它们统称为数学思想方法.
二、数学思想方法在数学教学中的重要性
数学思想方法是从数学内容及数学知识形成过程中提炼出来的精髓，是数学知识的升华，是将数学知识转化为数学能力的桥梁.初中数学思想方法的教育教学，是培养和提高学生综合素质和个性发展的重要内容.《数学课程标准》突出强调：“在教学中，应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律(包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法).[1]”因此，开展数学思想方法教育应作为课改中所必须把握的教学要求.
中学数学知识结构涵盖了辩证思想的理念，反映出数学基本概念和各知识点之间的相互关系，而联结这种关系的正是抽象的数学思想方法.数学思想方法不仅对数学思维活动、数学审美活动起着指导性的导向作用，而且对个体的世界观、方法论产生深刻影响，从而形成数学学习效果广泛的正面迁移，甚至包括从数学领域向非数学领域的迁移，实现思维能力和思想品质的飞跃.
可见，数学教育教学中，不应只停留在数学知识的简单传授，应重视知识的产生过程，以及相关知识点之间的联系，体现知识结构层次和内在规律，突出运用数学思想方法的思维活动，使各部分数学知识融合成有机的整体，培养学生运用数学思想方法分析问题、解决问题的习惯与能力.《数学课程标准》明确提出开展数学思想方法的教学要求，旨在引导学生去把握数学知识结构的核心和灵魂，因此，在数学教育教学必须充分利用可利用的时机进行数学思想方法的渗透与教学.
三、常见的数学思想方法
初中数学中蕴含着大量的数学思想方法，其中最基本的`数学思想方法是数形结合思想，分类讨论思想、化归转化思想、函数方程思想等，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了初中数学知识的精髓.
1.数形结合思想：数形结合是一种重要的数学思想方法，其应用广泛，灵活巧妙.“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括[2].在教学概念、定律、定理及公式中，利用数形结合思想方法，可以借助图形直观性，使抽象变具体，模糊变清晰，加深记忆印象和理解掌握;在解题中，运用数形结合思想方法，可使降低问题解决的难度，还能从图形中找到有创意的解题思路.
2.分类讨论的思想：分类讨论思想是根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将数学对象划分为几种不同种类加以认识与解决的一种思维方式，在数学上叫做分类讨论思想.分类时要做到不重不漏.例如对于有理数加法法则，如果没有分类讨论思想，教学任务不仅难于完成，要想认识它也是不可能的.同样，在解题中，运用分类讨论思想可使一些无从下手的问题迎刃而解.例如，化简：a+|a-1|，如果不使用分类讨论，那就无法化简，而运分类讨论，则易得当a≥1时，a+|a-1|=a+a-1=2a-1;当a≤1时，a+|a-1|=a-(a-1)=1.
3.转化化归思想：转化化归思想是指将一种数学问题转化化归为另一种数学问题.数学解题过程事实上就是一系列转化的过程，处处体现出转化化归思想，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次，化分式为整式，化陌生为熟知等，转化化归思想是解决问题的一种最基本的思想.在教学中，首先要让学生认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法，从而确信转化是可能的，而且是必须的，有转化就有成功的希望.在教材中不乏转化化归思想方法的运用，例如多边形内角和公式的推导，就是通过转化化归为三角形的内角和问题加以解决的.
4.函数方程思想：函数方程思想是指函数思想和方程思想.辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，而变量与变量的对应关系体现的就是方程思想，这就要求我们在教学中要重视函数方程思想方法的教学，华东师大版教材把函数方程思想渗透到各个年级的各个角落的内容之中.因此，教学上要有意识、有计划、有目的地培养函数方程思想方法.例如：七年级中进行求代数式的值的教学时，强调解题的第一步要书写“当……时”的目的就是要渗透函数思想方法——字母每取一个值，代数式就有唯一确定的值和它对应，将静态的知识模式演变为动态的讨论，这样实际上就是赋予了函数的形式，在学生的头脑中就可以形成以运动的观点去领会，这就是发展函数思想的重要途径.
诚然，要使学生真正具备有个性化的数学思想方法，并不是通过几堂课就能达到，但是只要我们在教学中大胆实践，持之以恒，利用一切可利用的时机寓数学思想方法于平时的课堂教学和课外辅导中，学生对数学思想方法的认识就一定会得到潜移默化，日趋成熟.
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一、教学进一步的升华
读《小学数学与数学思想方法》，对数学老师是一次思想和教学的提升，让我们能够明白数学的本质是什么？做为一名小学数学老师，我们究竟该进行怎样的教学？王教授告诉我们当面对新一轮课程改革，我们需要转变观念，逐步培养重视数学思想的意识,同时又需要在数学的专业素养上的提高自己，这样才能更好地落实“四基”目标。这也让我们明白不能纯粹地教会学生一些知识，一些解决问题的技巧，更重要的是关注学生的思维，帮助学生初步地学会数学思想。
全书分为上篇和下篇两部分，上篇主要阐述与小学数学有关的数学思想方法，下篇是义务教育人教版小学数学中的数学思想方法案例解读。本书思想脉络清晰，上篇主要帮助教师认识数学思想方法，具有理论指导意义，下篇旨在通过生动形象的案例，让教师感悟如何传授数学思想，具有实践指导意义。
二、我和大家一起分享我学习第二节“数学思想方法的教学”的心得
此书读过之后，我发现王教授阐述二年级下册《表内除法（一）》的教学过程，回想起自己所教的还是发现自己有很多不足，我只顾教学生数学方法，忽略传授数学思想，例如从文中了解到除法在教学的过程中分五个模块让学生经历除法概念的形成过程做了很多铺垫，如设计参观科技园准备分食物的大情境，如图1-3，通过例1把6块糖果分成3份理解平均分，通过例2和例3体验平均分有两种实际情况及平均分的过程、方法与结果，再通过例4把12个竹笋平均分成4盘引出除法、除号的概念，最后通过例5把20个竹笋每4个放一盘引出被除数、除数和商的概念。整个教学过程非常丰富，有观察、操作、演示、语言表达、画图、书写、符号特征、思考等多种活动，学生在已有的生活经验和积累的活动经验的基础上，逐步抽象出除法，初步理解除法的.概念。再通过适当的练习和利用乘法口诀求商，进一步理解除法的概念。
在这教学过程中，只有引导学生感受从直观操作的具体情境中抽象出除法概念的抽象思想，认识用除法符号表达的具有简洁性的符号化思想，体会用实物、图形帮助理解除法的具有直观性的数形结合思想，体会再出发中商随着被除数、除数的变化而变化的函数思想。这让我明白在教学上也不能忽略传授思想方法，要不学生只“知其然不知其所以然”，所以在教学上只有不断地学习，才能不断的创新。
三、学习“分类思想”的体会
每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、书籍的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。这样学生们不仅仅能感受数学来源与生活，还能让每个学生轻松的学习。
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在数学教育过程中，数学知识和数学方法是提高学生智力素质的两个重要方面，二者是相辅相成的。教学的最终目的不仅仅是知识传授，更重要的是凌驾于知识之上的方法的提炼和能力的提高，这才是学生终生发展所需要的。学生时代所学到的各种具体的数学知识踏入社会后不到几年就可能忘掉，但是那种铭刻在心的数学思想和方法会使人终生受用。因此，我们的平日教学，应该以知识为基础，重视方法的提炼与运用，避免学生对知识的死记硬背、对公式的死搬硬套，减少繁杂的机械计算和过难的几何论证。数形结合思想、分类讨论思想、转化思想、建模思想、类比思想、函数思想等是初中数学学习中的重要思想。我们教学中有意识地培养学生这些思想意识，不仅有利于培养学生的数学素养，而且将为学生的后续发展提供动力。
比如：配方法是一种重要的数学方法，是初中数学解决二次方程和二次函数问题不可缺少的工具，配方法最终所蕴涵的将一元二次方程转化为两个一元一次方程的转化的思想，就是一种常用而又非常重要的数学思想。平时教学中，部分教师往往忽视了这种方法的教学，学生更是追求机械的套用公式，不利于对数学方法的真正理解。总之，数学思想方法是数学的精髓，在教学过程中渗透数学思想方法，能提高教学效果，提高学生的数学素养。
既然数学思想方法是学生形成良好认知结构的纽带，是知识转化为能力的桥梁，是培养学生良好的数学观念和创新思维的载体，那么在教学时我们应怎样将数学思想方法渗透其中？我觉得应该做好以下几个方面：
一、在教学过程中，一方面教师应适时渗透数学思想方法；另一方面要为学生搭建平台并提供充足的时间和空间去探究问题和知识中蕴涵的数学思想方法，并进行创造性的应用。
要巧妙运用数学思想理解数学概念的.内容，培养学生准确理解概念的能力。在讲解概念时，可结合图形，化抽象为具体，利用数形结合加深理解。比如：利用数轴讲解有理数绝对值的概念，这样一来，学生既学习了绝对值的概念，同时又渗透了数形结合的思想方法。
数学知识的学习要经过听讲、做练习、复习等过程才能掌握与巩固。数学思想方法的形成同样要有一个循序渐进的过程并经过反复训练才能使学生真正领悟。也只有经过一个反复训练、不断完善的过程才能使学生形成直觉的运用数学思想方法的意识，建立起学生自我的“数学思想方法系统”。
比如：在定理、公式的教学中，教师要为学生搭建平台并提供充足的时间和空间，不应该怕学生“浪费”时间而过早地给出结论，而是引导学生参与探索、发现、研究结论的形成过程及应用的条件，领悟它的知识关系，从而培养学生从特殊到一般、类比、化归的数学思想。
二、在问题探索、解决过程中教师应适时揭示数学思想方法，提高学生的数学素养和能力；同时关注学生思维方法的形成过程和学生学习方式的转变，使数学思想方法在平日教与学中不断积淀，形成一种综合素质。
在解决问题的过程中，教师应把最大的教学精力花在引导学生在化归思想的指导下合理联想，调用一定的数学思想方法，加工处理题设条件和已学知识，逐步缩小题设和结论间的差异，运用数学思想和方法分析、解决问题，开拓学生的思维空间，优化解题策略，提高学生的解题能力。若学生能在解决问题的过程中充分发挥数学思想方法的解题功能，不仅可少走弯路，而且还可大大提高学生的数学能力与综合素质。若教师在探索问题的过程中充分体现学生的自主性和合作性，更能激发学生的求知兴趣，使学生在知识学习的同时，感受和领会到数学思想方法的魅力。
三、在教与学中不断地使数学知识与数学思想方法整合，优化学生的思维品质，提高学生解决问题的能力。
作为教师，我们首先弄清楚教材中所反映的数学思想方法以及它与数学相关知识之间的联系，并适时作出归纳和概括。另外数学知识和数学思想方法都具有系统性，对它们的学习和渗透是一个循序渐进的过程。在复习时教师可以有目的地对初中数学常用的数学思想方法结合基础知识给学生设计专题练习，进一步完善学生的认知结构，提高学生的数学能力。
比如：在解方程中，三元、二元化为一元，分式化为整式；在几何中，将复杂图形化为简单图形……在教学中重视数学知识与数学思想方法的整合，可以优化学生思维品质，提高能力。
总之，任何数学的活动离不开正确的数学思想方法的引领，学生只有掌握了科学的数学思想方法，才有可能找到打开数学殿堂之门的金钥匙。我们在教学中应关注学生数学素养的发展，充分体现新课改理念，注重数学基础知识和重要的数学思想方法的教学，关注学生获取数学知识的思维方法和探究过程，为学生的全面可持续发展提供可靠保证。
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数学知识是数学思想方法的载体，思想方法是数学知识的进一步抽象概括，因而数学思想方法有一个特点，它并不像数学知识技能那样显而易见，往往是隐形的。
新教材注重贯彻四基目标，其中数学思想的编排主要体现在两个方面：
一是在数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践这四个领域结合各部分知识体现各种数学思想；
二是每册教材单独设置“数学广角”单元，利用操作和直观等手段呈现重要的数学思想。
一、抽象思想和符号化思想
（1）从具体的情境和直观图中抽象出数学符号0~9，关系符号“=”“＜”“＞”运算符号“+”“-”等；并理解这些符号的含义。教材编排，让学生从具体到抽象，经历了符号化的过程，感受符号的简洁。同时这里还呈现了简单的`象形统计图，让学生感受统计思想和一一对应思想。
（2）结合生活经验、数小棒、计数器等直观操作手段，经历十进制计数原理的抽象过程。
抽象思想存在于数学学习的全过程，虽然一年级的数学知识看起来很简单，但实际上也是充满了抽象。无论是数的认识还是计算，都离不开抽象的十进制计数原理；时间作为表示物质运动的始终过程或过程中的一点，充满了抽象；几何图形虽然比较直观，但从物体到图形也是一个抽象的过程。我们在教学十进制计数原理，10和9相比已有本质不同。
二、分类思想
分类思想的教学要抓住全面、有序地思考等特点，在低年级也可以渗透，具体内容和教学目标如下：
(1)结合认识物体，让学生感受分类思想。给各种形状的物体起个名称，实际上就是按照形状分类。
(2)结合数的组成，让学生感受分类思想的优势、有条理地思考的优越性。
三、归纳法
整理学过的20以内的进位加法算式，观察算式的特点，归纳出其中的规律。再根据发现规律就能够比较容易填写空格，有利于培养推理能力。
四、演绎推理思想
数学家张景中院士认为计算和推理是相通的，计算中有方法，方法里就体现了推理；推理是抽象的计算，计算时具体的推理。让学生感受推理思想，同时能够灵活地思考。推理本身具有逻辑性，但是要灵活地运用推理。
五、数学结合思想
（1）体会“形”的直观性。各种实物或图形作为各种直观工具帮助学生理解和掌握知识、解决问题，如借助直线认识数的顺序并计算，认识数的时候用小棒摆三角形、正方形、五边形、六边形等。
（2）了解可以用数来描述几何图形。各种图形的认识，课增加用数的量化来描述形。
六、函数思想
在加法算式中，一个加数不变，和随着另一个加数的变化而变化，在减法算式中，被减数不变，差随着减数的变化而变化，都可以渗透函数的思想。
思考：数学知识是数学思想方法的载体，思想方法是数学知识的进一步抽象概括，因而数学思想方法有一个特点，它并不像数学知识技能那样显而易见，往往是隐形的。我们教师在备课时，心里就要明确这些数学思想，那么在教学中才能有所体现。这也就需要我们老师加强解读文本的功底，而不在只是为教数学知识而教数学知识。
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数学方法是对数学知识及其探索过程理性反思的结果，是数学活动最为本质的内核，也是设计和编写数学教材的基本出发点和落脚点。大部分重要的数学思想方法，本身就与亦已获得公认的数学成果密切相关，如微积分、统计概率、函数与方程，等等。数学思想与数学方法是互为表里的一体两面，两者都是以相关知识为载体，又反过来促进知识的深化以及知识向能力的转化。方法，是体现相应思想的技术手段，思想则是对应方法的精神实质。一个知识系统所关注和遵循的方法及其内蕴的思想是个知识系统的生命和灵魂，是知识赖以转化为认识世界、改造世界能量的桥梁。
由于数学思想方法所包含的内容非常丰富，且理论界无完全一致的看法，因此作为数学教材就存在一个“去枝留干、有所侧重”的选择问题。换句话说，教材所应关注或希望学生能够有所领悟的数学思想方法究竟有哪些?大体说来，有如下三个维度的的考量：一是小学数学知识本身所蕴含的一些重要的思想方法，如与数与代数内容密切相关的“集合与对应思想”“符号化思想”“函数与方程思想”等；与空间与图形内容密切相关的“数形结合思想”“观察与实验思想”等；与统计与概率内容密切“数据据分析思想”“随机思想”等。二是对小学生后续学习能够产生积极影响的一些常用思想方法，如“比较与分类思想”“归纳与演绎思想”“变换与转化思想”“猜想与验证思想”等。三是对小学生获取知识、解决问题有着直接作用，且易为他们接受的一些具体方法技巧，如“直观化方法”“倒推方法”“枚举方法”“假设与替换方法”“逐步逼近方法”等
需要说明的是，上述所谓的“三个维度的考量”并不是小学数学教材所蕴含的数学思想方法的整体，相关维度中所列举的'内容也不是严格的主次、层级关系。事实上，不同维度中所列举的内容总是不可避免地存在交叉。但显然，这些内容构成了小学生应该有所感悟，并且能够有所感悟的数学思想方法的主体．也是展开教学内容时应当关注的重点和遵循的内在轨迹。
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为了帮助小学数学教师转变数学教育观念，提高对数学思想方法的理解和运用水平，进而提高数学专业素养，本书主编王永春于出版了专著《小学数学与数学思想方法》，该书一经出版，便受到广大小学数学教师的欢迎，参与学习活动的老师们把自己的读书心得写出来，在教学中去实践自己的学习收获，主编王永春把这些鲜活的学习体会和宝贵的教学经验案例结集出版，形成了本书，让更多的老师分享通俗而深刻的理论解读和接地气的实践经验。
本书作者王永春，作为人民教育出版社小学数学编辑室主任，长期从事小学数学教材的编写工作，致力于课程、教材的研究，对小学数学思想方法有深入的思考和探索。基于对提高教育质量、落实教育目标的强烈责任感，作者撰写了系列文章，就有关数学思想方法在小学教学中的应用作了专门的论述。在此基础上，形成了本书。
本书是《小学数学与数学思想方法》一书的读后感，是一线教师对数学思想方法的解读和教学案例的研究。因此本书的内容结构和目录与《小学数学与数学思想方法》的内容结构和目录是基本相对应的，其中第1章到第五章的'目录与《小学数学与数学思想方法》相对应，第六章教学案例部分，考虑到各年级案例分布不均，没有按照册数分节，把一、二年级分为第1节，三、四年级分为第二节，五年级分为第三节，六年级分为第四节。对学生来说，数学思想方法不同于一般的概念和技能，概念与技能通常可以通过短期的训练便能掌握，而数学思想方法则需要通过教师长期的渗透和影响才能够形成。教师应在每堂课的教学中适时、适当地体现思想方法的教学目标，使学生在潜移默化中日积月累，通过提高数学素养达到学好数学的目的。
数学思想方法不同于一般的概念和技能，后者一般通过短期的训练便能掌握，而数学思想方法需要通过在教学中长期地渗透和影响才能够形成。古语云“泰山不让土壤，故能成其大；河海不择细流，故能就其深。”教师应在每堂课的教学中适时、适当地体现思想方法的教学目标，使学生在潜移默化中日积月累，通过提高数学素养达到学好数学的目的。希望数学思想方法的教学能够像春雨一样，滋润着学生的心田。
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一、 更新观念，提高认识
数学知识本身是非常重要的，但是对学生后续的学习、生活和工作长期起作用，并使其终身受益的是数学思想方法。小学数学教学的根本任务是全面提高学生的素质，其中最重要的是思维素质，而数学思想方法就是增强学生的数学观念，形成良好思维素质的关键。淡化或忽视数学思想方法的教学，不仅不利于学生把握数学学科的基本结构，也将影响其能力的发展和数学素养的提高。
数学概念、性质、法则、公式等知识都明显地写在教材中，是“有形”的，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是“无形”的，并且分散于各册教材的各章节中。教师讲不讲，讲多讲少，随意性较大。有的教师常常因教学时间紧，将它作为“软任务”挤掉，对学生的要求则是能领会多少算多少。因此，教师首先要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把掌握数学思想方法纳入教学目标；其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法教学的各种因素，考虑如何结合具体内容进行数学思想方法的渗透，渗透到什么程度；最后，教师应对小学数学中思想方法的教学有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学目标。
二、 寻找载体，重视过程
数学思想方法的渗透是以数学知识为载体，在学生的学习过程中潜移默化地完成的。离开基础知识的教学，数学思想方法的渗透就会变成无源之水。纵观苏教版课程标准数学实验教材，能够渗透数学思想方法的因素是非常广泛的。以函数思想为例，教材从一年级（上册）开始，就通过求未知加数、在方框里填数等形式，将函数思想渗透在例题与习题之中；在统计图表的学习中，用图表将函数思想的核心即对应关系直观化和具体化；在正反比例的学习中，学生将进一步学习用解析式和简单的图像来表示变量之间的函数关系，等等。
数学思想方法的获得依赖于对数学知识学习过程的分析、提炼和概括。重视数学思想方法的教学，必须强化学生的学习过程。只有重视概念的形成过程、法则的提炼过程、定律的归纳过程、性质的推导过程，以及解题思路的探索过程、解题方法与解题策略的总结过程，才能使学生体会到数学思想方法的价值和力量。
苏教版课程标准数学实验教材尝试把重要的数学思想方法以学生可以理解的简单形式，生动有趣地呈现出来。教师要认真领会教材意图，着力引导学生经历数学知识的发现与动态生成的过程，让学生逐步领会蕴含其中的数学思想方法。教师应采用恰当的方式，及时把隐藏在具体知识背后的思想方法揭示出来，让学生理解和接受。例如“角的认识”，可按以下程序进行教学：（1）由实物图形抽象出几何图形，建立角的表象；（2）在表象的基础上，指出角的顶点和边，使学生对角形成初步认识；（3）利用角的各种表象，分析其本质特征，抽象概括为用语言文字表达的角的概念；（4）使角的概念符号化。显然，这一概念的获得过程，既符合“感知—表象—概念”的认知规律，又能让学生从中体会到怎样实现由实物到图形的抽象，怎样对有联系的材料进行比较，怎样对数学概念进行形式化。
三、 掌握方法，把握时机
为了更好地在教学中渗透数学思想方法，教师不仅要对教材认真研究，潜心挖掘，而且还要思考渗透的手段和方法。这些手段和方法必须适合儿童的认知特点，比如直观法、问题法、剖析法等。直观法就是以图表的形式将数学思想直观化、形象化。直观法的特点是能够将高度抽象的数学思想变成学生容易感知的具体材料，给学生留下鲜明的印象。问题法是指学生在教师的启发下，在探究知识的过程中，通过回顾、思考、总结，逐步领悟数学问题的规律，加深对解题方法的认识。比如，学生通过教师的引导，在学习加法运算律、乘法运算律和商不变的性质等内容的过程中逐步感受不完全归纳法。剖析法是解剖典型的范例，从方法论的角度用儿童能够理解的数学语言去描述数学现象，解释数学规律。
关于数学思想方法的教学，教师还要注意把握时机，适时渗透，这样才能不加重学生的学习负担。就小学数学来说，在形成概念、导出结论、寻找方法、揭示规律的.过程中，随时都可捕捉到渗透数学思想方法的有效时机。例如，在概念教学中，概念的引入可以渗透比较的方法，概念的形成可以渗透抽象分析的方法，概念的贯通可以渗透分类的方法。在法则的归纳、公式的推导、结论的发现过程中，可以渗透分析与综合、类比与联想、公理化与符号化等数学思想方法。在解决实际问题的教学中，通过揭示已知条件与所求问题的联系，可以渗透数学解题中常用的化归思想、数学模型思想、数形结合思想等。
四、 勤于练习，善于提炼
在数学教学中，解题是最基本的活动形式。解决问题的过程，也是数学思想方法的运用过程。任何一个问题，从提出直到解决，需要某些具体的数学知识，但更多的是依靠一定的数学思想方法。
数学思想方法的掌握同样需要经历一个逐步深入的过程。只有当学生将某一思想方法应用于新的情境并顺利解决问题时，才能肯定学生对这一数学方法有了深刻的认识。因此，教师对习题的设计也应该从数学思想方法的角度加以考虑，尽量安排一些有助于加深学生对数学思想方法体验的问题，并注意在解决问题之后引导学生进行交流，在明确解题步骤的基础上，深化对解题方法的认识。
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小时候语文课上，老师们经常帮助我们分析一篇文章的中心思想，讲解作者如何围绕中心选材，如何采用恰当的方法表达中心。长大后我有幸成为一名小学数学老师，才知道数学也有自己的灵魂——数学思想方法，掌握科学的数学思想方法对培养学生的思维品质，对数学学科的后继学习，对其它学科的学习，乃至对学生的终身发展都具有十分重要的意义。数学思想方法蕴含在数学知识的形成、发展和应用的过程中，学生只有积极参与教学过程及独立思考，才能逐步感悟数学思想方法。学生学习数学的最终目的，是要运用所学到的数学知识去解决一些实际问题，要解决问题就要有一定的方式、方法、途径和手段，这就是策略。这种策略无不受到数学思想的影响和支配。而学生一旦掌握了解决问题的方式方法，又可以促进数学思想方法的进一步形成和完善。可见，两者是既有联系又有区别的辩证统一体，数学思想指导着数学方法，数学方法是数学思想的.具体表现，二者是相互依存、相互促进的。可以说，数学思想和方法是数学的灵魂，是创造能力的源泉，良好的数学思想和方法，可使学生终生受益。
掌握科学的数学思想方法对于一线教师尤为重要，为此最近我利用课余时间重新学习了小学数学的一些思想方法：类比思想方法、转化思想方法、分类思想方法、可逆思想方法、化归思想方法、整体思想方法、比较思想方法、假设思想方法、数形结合思想方法、函数思想方法等等。通过这次的学习，我结合15年的教学经验更加深刻地认识到学习并研究数学思想方法对于数学教学具有重大意义。
首先，小学教材体系就两条主线：一、数学知识；二、数学思想。数学思想方法的掌握有利于教师深刻地认识数学教学内容，正确把握教材体系，以较高的视点分析和处理小学教材，学会分析教材，才能明确数学知识，而数学思想必须掌握了方法才能明确为什么要这样写，才能从整体上、本质上去理解教材，也才能科学、灵活地设计教学方法，提高课堂教学效率。
其次，掌握数学思想方法有利于提高学生的数学素养，促进学生思维能力的培养。15年的教学经历大都是在五、六年级，其中对转化思想方法和数形结合思想方法颇有情愫。转化思想的宗旨是化难为易、化生为熟、化繁为简、化整为零、化曲为直等等。在现行教材中，如果我们仔细挖掘，会发现很多的知识可以利用转化的思想方法去引导学生思考，进而让学生掌握学习的方法。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透。数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。
罗丹说：自然总是美的。伽利略则宣称道：自然这本书是用数学语言写成的。哪里有数，哪里就有美。掌握数学思想方法就是教师教学艺术展示的另一面，让我们加入学习和研究数学思想方法的队伍中，用数学思想方法来武装大脑、指导工作，以期事半功倍，为学生的终生发展奠定坚实的基础。
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所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。以上合称为数学思想方法。
一、小学数学教学中渗透数学思想方法的必要性
小学教学教材是数学教学的显性知识系统，数学思想方法是数学教学的隐性知识系统。许多重要的法则、公式，教材中只能看到漂亮的结论，许多例题的解法，也只能看到巧妙的处理，而看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的心智活动过程。虽然数学知识本身是非常重要的，但是它并不是唯一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破口。
二、在小学数学课堂中如何运用数学思想方法
1.符号思想
用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。符号思想是将复杂的文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用。把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式，有一个从具体到表象再抽象的过程。在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息。
例1：“六一”联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个蓝气球的顺序把气球串起来装饰教室。你能知道第24个气球是什么颜色的吗?解决这个问题可以用书写简便的字母a、b、c分别表示红、黄、蓝气球，则按照题意可以转化成如下符号形式：aaabbc aaabbc aaabbc……从而可以直观地找出气球的排列规律并推出第24个气球是蓝色的。这是符号思想的具体体现。
2.化归思想
化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法，其基本思想是：把甲问题的求解，化归为乙问题的求解，然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解。它的'基本原则是：化难为易，化生为熟，化繁为简。
例2：狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次可向前跳4米，黄鼠狼每次可向前跳6米。它们每秒种都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔21米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?
这是一个实际问题，但通过分析知道，当狐狸（或黄鼠狼）第一次掉进陷阱时，它所跳过的距离即是它每次所跳距离4（或6）米的整倍数，又是陷阱间隔21米的整倍数，也就是4和21的“最小公倍数”（或6和21的“最小公倍数”）。针对两种情况，再分别算出各跳了几次，确定谁先掉入陷阱，问题就基本解决了。上面的思考过程，实质上是把一个实际问题通过分析转化、归结为一个求“最小公倍数”的问题，即把一个实际问题转化、归结为一个数学问题，这种化归思想正是数学能力的表现之一。
例3：一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就这样每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶?
此题若把五次所喝的牛奶加起来，即++++就为所求，但这不是最好的解题策略。我们先画一个正方形，并假设它的面积为单位“1”，将一半面积涂为阴影，然后不断将其剩下面积中的一半涂为阴影，最后至结束，所有阴影面积之和化归为1-，这就是所求。这里形式上渗透了数形结合思想，本质上其实就是化归思想中化难为易的原则的体现。
3.转换思想
转换思想是一种解决数学问题的重要策略，是由一种形式变换成另一种形式的思想方法。对问题进行转换时，既可转换已知条件，也可转换问题的结论。用转换思想来解决数学问题，转换仅是第一步，第二步要对转换后的问题进行求解，第三步要将转换后问题的解答反演成问题的解答。
例4：2.8÷÷÷0.7，直接计算比较麻烦，而分数的乘除运算比小数方便，故可将原问题转换为：×××，这样，利用约分就能很快获得本题的解。
例5：某班上午缺席人数是出席人数的，下午因有1人请病假，故缺席人数是出席人数的。问此班有多少人?此题因上下午出席人数起了变化，解题遇到了困难。如将上午缺席人数转换成是全班人数的=，下午缺席人数是全班人数的=，这样，很快发现其本质关系：与的差是由于缺席1人造成的，故全班人数为：1÷（-）=56（人）。
4.类比思想
数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁，从而可以激发起学生的创造力。
例6：把一个立方体切成27个相等的小立方体，如果在切的过程中不允许调整，很显然，要6刀才能切成，现在的问题是，如果允许在切的过程中调整，即第一刀切完后，如果你愿意的话，切成的两部分可以重叠到一起后再切第二刀，在切第三刀之前，也可以把前两刀切出的部分任意重叠，如此类推。请问，按这样的切法，是否可以用少于6刀切出27个相等的小立方体?
分析这个问题并不容易，一是三维空间对人的想象力要求比较高，二是各种切法情况比较复杂，难于一一分析。
我们不妨用类比的方法，先考虑一个二维情况下的类似问题：把一个正方形分成9个大小一样的小正方形，如果的切的时候不能调整，容易知道，要四刀。现在的问题是，如果可以调整，可以将切出的部分重叠后再切，可以少于四刀吗?
您去试一试就知道，这个问题还是不容易解决!
一不做，二不休，考虑一维情况下类似的题目：把一条线段平均分成三段，不能调整的话，两刀?如果能调整呢?情况如何?你很快可以发现，还是要两刀!怎么理解这种现象?您很快会找到中间那段，这段有两个端点，每个端点处总是要切一下的!
返回去想切正方形的事!也看中间那个正方形，它有四条边，不论你怎么切，每一刀总只能切一条边!于是4刀是最少的!
再看三维的情况：也考虑最中间的正方体。它有六个面，不论你怎么切，每刀最多切出一个面来，那么最少要六刀!
问题就这样解决了!
5.归纳思想
在研究一般性问题之前，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从而归纳出一般的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。在解决数学问题时运用归纳思想，既可发现给定问题的解题规律，又能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的原理或命题。因此，归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法，也是思维过程中的一次飞跃。
例7：在教学“三角形内角和”时，先由直角三角形、等边三角形算出其内角和度数，再用猜测、操作、验证等方法推导一般三角形的内角和，最后归纳得出所有三角形的内角和为180度。这就是运用归纳的思想方法。
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《数学学习与数学思想方法》一书是从数学思想方法和数学学习理论两方面论述的，是数学教育基础书籍。全书分为对数学的认识、数学学习理论、数学思想方法三部分。本书作者王永春，作为人民教育出版社小学数学编辑室主任，长期从事小学数学教材的编写工作，致力于课程、教材的研究，对小学数学思想方法有深入的思考和探索。基于对提高教育质量、落实教育目标的强烈责任感，作者撰写了系列文章，就有关数学思想方法在小学教学中的应用作了专门的论述。在此基础上，形成了本书。全书分上下篇，上篇是对数学思想方法的系统阐述，下篇是小学数学教材中数学思想方法案例解读。在上篇的案例选取中，基本出发点是尽量少出现教材及练习册中常用的例子，就是想给读者多提供一些案例，以拓宽知识面、更加有利于了解和掌握思想方法、有利于中小学的衔接。有的案例是在小学知识基础上的拓展和提高，有的是中学知识的简化，可能在理解时会有一点难度。下篇的教材案例解读，没有按照思想方法分类，而是分册编写的，主要是为了方便教师查询。
通过本阶段读书活动我主要学习了《小学数学与数学思想方法》中的数形结合的思想一章的论述，数形结合思想在整个小学数学学习中都有体现，它不仅可以把数学中复杂的问题给简单化，还可以把抽象的问题给具体形象化，让学生对知识点更容易理解和感知。比如：在学生学习分数乘法时，结合圆、长方形等图形帮助学生理解分数乘法计算的原理和方法。在运用分数乘法解决问题时，利用线段图等直观手段帮助学生分析和理解数量关系。学习分数除法时结合长方形、线段图等图形帮助学生理解分数除法计算的原理和方法。在运用分数除法解决问题，利用线段图等直观手段帮助学生分析和理解数量关系。在运用比的知识解决问题，利用直观图帮助学生分析和理解数量关系。通过探索圆的圆周率、周长、面积等方面的知识，体会从量化的'角度研究圆，能更好地认识圆的性质，并运用有关知识解决问题。学习确定起跑线这一知识点时运用圆的周长等知识解决运动场跑到的起跑线问题，体会以数解形的思想。运用百分数解决问题，利用线段图等直观手段帮助学生分析和理解数量关系。扇形统计图中体会把圆作为单位“1”，然后用圆中的一些扇形表示各部分数量与总量之间的关系，数与形中从以数解形和以形助数两个角度体会数形结合思想，运用数形结合理解完全平方公式。
在《小学数学与数学思想方法》中是这样讲到数形结合的：数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。数和形是客观事物不可分离的两个数学表象，两者既是对立的又是统一的．数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数与形的对立统一主要表现在数与形的互相转化和互相结合上。尤其是直角坐标系与几何的结合，是数形结合的完美体现。小学数学阶段主要是利用各种直观手段理解和掌握知识、解决问题。
整一本书中涉及到很多数学思想，要一个一个掌握与渗透并不是一朝一夕的事情，甚至我把整本书阅读完了，也不能够代表我能够理解了所以的数学思想，我觉得：王永春为了使广大小学数学教师在教学中能很好地渗透这些数学思想方法，把这些思想方法比较系统地进行概括和梳理，明晰这些思想方法的概念，整理它们在小学数学各个知识点中的应用，以及了解每个思想方法的适当拓展。
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摘要：在小学数学教学中合理地渗透，数学思想可以有效提高学生的学习热情，发散其数学思维，使其不仅可以掌握更多的数学知识与数学技能，而且可以掌握科学的学习方法，提升学习能力与数学素养，对学生的全面发展都有极大的推动作用。本文首先介绍了几种比较常见的数学思想方法，然后提出了在小学数学教学中合理渗透数学思想方法的策略，仅供参考。
关键词：小学数学数学思想方法渗透策略
数学思想方法是数学的灵魂所在，其是学生参与数学活动的一种思维方法，是解决数学问题的有效措施。因此，在小学数学教学过程中，教师要改变传统的教学模式，科学地渗透数学思想方法，帮助学生理解并合理运用数学思想方法，全面地提升学生的数学素养，提升其综合能力。
一、常见数学思想方法介绍
（一）转换法
在解决数学问题时，将没有解决的数学问题转换成能够采用现有知识进行解决的问题的一种方法即为转换法。其是一种比较常见的数学思想方法。在小学数学教学，许多问题的数量关系相对非常复杂，借助于转换法能够将比较复杂并且抽象的问题逐渐转化为简单、具体的问题，如此一来就可以利用所学的知识将问题进行合理解决。
（二）分类法
分类法即为将某个数学问题看作是一个整体，然后按照相应的标准将其划分成若干部分，之后再对不同部分展开深入的分析，最终解决此问题。在小学数学教育教学中合理地应用分类法，可以把比较复杂的问题给予分离。如此一来，就可以使得此数学对象的有关属性的区别和联系更快地得以显示，进而帮助学生更加深入、准确地理解法则与概念等抽象、难懂的知识。例如，利用角度的大小实现对三角形的分类，就能够帮助学生更加全面、准确地掌握三角形的本质特点。
（三）归纳法
所谓的归纳法即为从特殊到普遍、从部分到整体的一种推理方法。其是对特例进行深入的分析，将非本质的因素去掉，进而获得本质的特征，然后再将其进行合理的归纳、总结，变成普通对象，最终解决数学问题的一种思想方法。通常状况下，小学生往往采用的是不完全归纳法。例如，对于加法结合律的归纳总结，即为利用实践获得的，并非是普通的案例。
二、小学数学教学中数学思想方法的渗透策略
（一）深入研读教材内容，总结数学思想方法
新课标中明确指出，在小学阶段，学生要学习能够适应社会生活、获得良好发展所需要的数学基础知识与技能。因此，为了充分地顺应新课标的要求，那么小学数学教师就要对课本进行深入的研读，深入理解其中与数学思想方法有关的内容。另外，在开展教学活动之前，教师要对数学教材进行深入的`研读，找到其中包含的数学思想方法。例如，在人教版三年级教材中设计如下习题：一个班级共有28人，共同乘坐小船出外郊游。大船最多能够坐6个人，小船最多能够坐4个人。请同学们思考，如果使得每条船都能坐满，那么将如何租船呢？假如租1条大船和1条小船分别需要10元与8元，那么如何租船才可以更加省钱呢？教师首先要引导学生对问题的解决方法进行深入的研究与思考，然后引导学生采用穷举法获得三种解决方案，并且为学生分析最省钱的租船方案所租的小船数量也是最少的。如此一来，通过对教材的深入研读，教师就可以为学生更加合理地提炼出穷举法，使得学生能够更好地掌握数学思想方法。
（二）科学制定教学目标，了解数学思想方法
小学数学的教学目标即为能够帮助学生初步掌握数学思想方法。所以，教师在制定教学目标的时候，必须要充分注重“情感和价值观”、“方法和过程”、“知识和技能目标”的有机平衡。要科学制定各种教学目标，从而有效地提升教学效果。例如，在四年级下册设计的植树问题中，教师要向学生渗透化归的思想方法。通过这一章节的学习，帮助学生认识到采用思想方法模型对问题进行有效解决的高效性与便利性。
（三）利用课堂教学，体验数学思想方法
在小学数学教学过程中，数学思想有着隐蔽性的特点。所以，需要全面了解概念的形成、规律揭示与方法归纳等一系列的过程，教师要引导学生能够通过观察、分析与归纳等，透过表象深刻地领悟到在数学方法与概念中蕴含的笛思想。在此前提下，可以生成比较科学、完善的知识结构。由于数学思想的渗透是比较复杂，并且要经过长时间的积累，这样就要求学生能够具备良好的理解能力。所以，在渗透数学思想的过程中，教师要结合学生当前具有的数学知识与经验，进行积极的探索与体验，最终掌握其中所蕴含的数学思想。例如，在为学生讲解《平行四边形面积的计算》这一章节内容，教师就可以利用转换法对学生渗透数学思想。在简拼图形的时候，要鼓励学生进行深入的思考：请问同学们为何要沿着高对图形进行剪裁呢？为何要进行拼接？通过动手实践以后，学生就可以将平行四边形简拼成已经学过的长方形，最终掌握计算平行四边形面积的方法。
（四）选用多种教学方法，渗透数学思想方法
为了更有效地提升小学数学教学效果与教学质量，在实际教学中，教师就要采用更加科学、灵活多变的教学方法，进而更好地激发学生的学习热情，科学渗透数学思想方法，提高学生的学习效率与学习效果。当前，在数学教学中比较常用的教学方法主要包括问题探究法、讲授法、直观演示法以及多媒体教学法等。例如，在带领学生学习《数学广角》相关内容时，教师就要选择比较科学合理、灵活多样的教学方法，这样就可以使得学生更加容易地掌握原本枯燥、乏味的知识，掌握数学思想方法，增强学生的理解与记忆，提高学生的学习效率。
三、结语
总之，在小学数学教学中合理地渗透数学思想方法，可以有效提升学生的学习兴趣，培养其逻辑思维能力，提高其对问题的分析与解决能力，提升学习效率与学习效果，全面促进学生综合素质的提升。所以，在小学数学教学中，教师就要结合教学实际合理渗透数学思想方法，进而推动学生综合素质的全面提升，为社会培养出更多的优秀人才。
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数学思想方法的研究，自古有之，并取得了一系列进展。然而，长期以来，由于人们过于注重记述数学研究的事实与最终成果本身，而忽视总结、交流和刊发取得成果的真实经过及其思想方法，因此数学思想方法的研究十分分散，缺乏系统性，发展缓慢，至今尚未形成一个独立的研究领域和完整的理论体系。
回顾数学思想方法研究的历史，考察其现状，对深入开展这方面的研究，是大有益处的。根据我们掌握的资料，数学思想方法的研究，大体可以分为三个阶段：
一、第一阶段（18世纪末以前）：提出了许多零散的、个别的、具体的方法，以及解决数学中的实际问题
自古代到18世纪，数学研究基本上处于分散状态，各个分支、部门很少联系，因此数学思想方法的提出往往是零散的、个别的、具体的和解决实际问题的。下面的事例可以说明这一点。古希腊的亚里士多德与欧几里得提出了公理方法，以解决将大量的、零散的几何知识系统化问题，最后由欧几里得等人完成并发表了《几何原本》。中国古代数学家刘徽提出了“割圆术”，以解决长期存在的、圆周率计算不精确的问题，其中包含着极限思想方法的萌芽。英国数学家纳皮尔发明了对数方法，以解决天文观测及贸易中存在的繁重的数字计算问题。法国数学家帕斯卡确立了数学归纳法，以解决数学论证中存在的不严密的问题。法国数学家、哲学家笛卡尔提出了坐标法、用代数方法研究几何问题，并从而开创了不同数学分支相结合的思想方法。英国的牛顿与德国的莱布尼茨创立了无穷小量方法，以解决微积分理论建设中存在的问题。瑞士数学家欧拉和法国数学家拉格朗日共同建立了变分法，以解决“等周问题”、“最速降线问题”等长期解决不了的极大与极小问题等。
二、第二阶段（18世纪末到20世纪初）：创立了一批具有突破性的思想方法，使数学某些分支发生了革命性的变革
18世纪末以前，人们提出和发现了许多有实际意义的数学思想方法，有力地推动了数学的发展。但是，与18世纪末到20世纪初这一时期相比，无论是从产生的难度上看，还是从产生后所表现出来的作用上看，都显得一般和不够突出。事实上，自18世纪末到20世纪初这一时期，在数学领域中的确出现了一些具有划时代意义的思想方法，并导致了数学基础学科的变革。这是这一时期的显著特点。
在几何学中，出现了创立非欧几何的一系列思想方法。19世纪20年代，高斯、罗巴切夫斯基与亚·鲍耶等人，成功地运用了研究错误与失败、逆向与反常规思维、想象等思想方法，解决了人们奋斗两千年而未能解决的试证欧氏第五公设的问题，并从而创立了非欧几何理论，使几何学发生了一次伟大的革命。希尔伯特提出：19世纪最有启发性最重要的数学成就是非欧几何的发展。
在代数学中，出现了群论的思想方法。19世纪以来，人们在探求五次和五次以上代数方程的代数解法问题上，打破了百余年来毫无进展的僵局，首先由挪威青年数学家阿贝尔证明了五次方程代数解法的不可能性。其次，又由法国青年数学家伽罗华提出了“群”的概念，后发展为一整套群论的思想方法，彻底地解决了五次及五次以上方程的求解问题。不仅如此，群论的思想方法，在代数学的其他分支，拓扑学、函数论乃至数学以外的许多领域都得到了广泛的应用。由于群论的诞生，使传统代数学所研究的对象由具体的“数”扩充为更加抽象的“量”，由量之间的代数运算关系发展为更为一般的关系，从而使代数这门学科发生了转折性的变化。
在数学分析中，出现了极限与集合论的思想方法。19世纪30年代至50年代，法国的柯西与德国的魏尔斯特拉斯等人，在给出函数、极限等概念以精确化描述的基础上，又通过严格化了的极限思想方法与实数理论改造了微积分，并使其严密化和标准化。这是微积分学科发展史上的一个重要里程碑。1874年，德国数学家康托尔提出了集合论思想，建立起无限集的势、序型等概念以及无限集合论和超限数理论，证明了代数集合可以和整数集合一一对应，所有实数集合不可数性，发展了无限集合势的比较原理，引入了连续公理即康托尔公理等，并从而创立了集合论的理论。这一理论的创立，不仅为微积分的理论奠定了稳固的基础，而且对整个数学基础的研究，尤其对现代数学结构的探讨，也具有巨大而深远的促进作用。
应当指出的是，这一时期，除了出现上述重要思想方法外，还形成了影响广泛的数学公理化方法。到了19世纪末20世纪初，由于非欧几何、无理数理论、集合论的建立，有力地促进了数学公理化方法研究的开展。1872年，德国数学家克莱因发表了“爱尔兰根纲领”，提出用变换群的观点，给出各种几何学的综合分类，以统一整个几何学。1899年，德国数学家希尔伯特发表了《几何学基础》一书，使公理化方法深入到数学的更多分支。1908年，集合论完成了公理化，本世纪20年代，又实现了代数学的公理化，从而使公理化方法应用于数学各个分支。这场公理化运动，对数学的影响是前所未有的。
还应当特别指出的是，在这一时期，马克思和恩格斯在自己的著作尤其是《数学手稿》和《自然辩证法》中，阐发了极其丰富的数学思想，从思想方法角度论述了数学发展史上若干重大成果和著名数学家。他们的论述是数学思想方法研究的'珍贵财富。但遗憾的是，这些论述未能在当时发表和发挥其应有的作用。
三、第三阶段（20世纪初以来）：逐步开展对数学思想方法理论的研究，为形成其独立的研究领域奠定了基础
20世纪初以来，由于数学基础学科中重大思想方法的出现，特别是数学公理化方法的形成以及数学基础论和数学统一研究的深入开展，人们渐渐关心数学各分支之间内在联系的研究，开始注重数学思想方法本身产生、发展规律的探讨。因此，这一时期，数学家们一方面继续创造各种数学思想方法，并用来推进数学的发展，另一方面，他们中的一部分特别是一些著名数学家集中精力从事数学思想方法理论的研究，并发表了一大批这方面的论著。与前面两个时期相比，后一方面是这一时期的突出特点。
这一时期发表的关于数学思想方法方面的理论著作，数量是很多的，研究问题的角度也是不尽相同和多方面的，但大体上可概括为以下六个方面。
第一，从数学思想方法本身内容与应用的角度研究。
就数学思想方法本身最早系统发表见解的要算德国著名数学家希尔伯特于1900年在巴黎国际数学家代表会上的演讲《数学问题》。在这篇演讲中，他精辟地阐述了重大数学问题的特点及其在数学发展中的作用，并列举了发人深思的23个重大数学问题，后人称之为“希尔伯特23个问题”。他的演讲是一篇重要的数学方法论著作。法国数学家彭加勒于1903年至1908年之间发表了《科学与假设》，《科学之价值》、《科学与方法》等著作（均有中译本）。在这三部著作中，彭加勒以章节的篇幅讨论了数学方法论的问题。后来，德国数学家赫尔德发表了《数学方法论》一书，书中对数学中的演绎方法、归纳方法、公理方法与假设方法等进行了系统的论述。
近些年来，我国数学家徐利治十分注重数学方法论的研究。他陆续发表了《浅谈数学方法论》、《数学方法论选讲》和《数学抽象度概念与抽象度分析法》等论著，并提出许多独到见解，引起了国内外数学界与哲学界的关注。解恩泽与赵树智同志合作编著的《数学思想方法纵横论》，从纵横两个方面分析了数学思想方法的形成与发展，其中既阐述了数学本身的思想与方法，又探讨了人们对数学本质与规律的认识;既论述了若干数学家的思想方法，又评介了伟大哲学家马克思与恩格斯的数学思想方法。
此外，还发表了一系列论文，对一些具体数学方法作了分析，诸如，苏联沙柳京的《控制论的算法与可能性》，日本加茂利男的《系统论与社会认识的方法》，中国黄顺基等的《论公理方法》和王顺义的《希尔伯特的现代公理化方法》等。
第二，从历史发展的角度研究。
本世纪以来，从历史演变、发展的角度研究数学思想方法的论著是不少的，但影响较大的主要有两部著作。其一是苏联A·B·亚历山大洛夫等第一流数学家于1956年发表的著作《数学-它的内容、方法和意义》（本书分三卷，均有中译本）。书中一方面从总体上概括了数学的历史演进，另一方面又着重就现代数学每一个分支的历史、内容、方法与意义等进行了阐述，与以往的数学史著作相比，它比较重视数学思想方法的分析和评价。其二是美国著名数学家M·克莱因于1972年发表的著作《古今数学思想》。这是一部全面论述近代数学各分支历史发展的著作。这部著作打破了过去史书中单纯记述史料及人物传记的框子，着重阐述了数学思想方法的古往今来。无论是一个数学成果的产生，还是一个数学学科的形成，或是一个数学家的功绩，都把着眼点放在“思想方法”上面，这是这部著作的突出特点。它是一部大部头的数学思想史专著，原书有51章1238页，内容十分丰富，见解精辟独到。国外有的专家认为，“就数学史而论，这是迄今为止最好的一本”。我们认为，本书好就好在“思想方法”的挖掘与分析上面。当然，也有不足，如对我国数学成果及其思想就没有给予应有的重视。
此外，像日本的细井淙于1953年发表的《东西方数学思想史》、伊东俊太郎于1967年发表的《纯粹数学的起源-欧几里得〈几何原本〉的形成》、三宅刚一于1968年发表的《数学哲学思想史》等，也都是从历史的角度来研究数学思想方法的论著。
第三，从数学教育与数学能力培养的角度研究。
多年来的实践表明，数学思想方法是数学教育的重要内容，也是培养数学能力和建设数学队伍的关键所在。一些著名的数学家尤其是长期从事教育的数学家，注重这方面的研究，积累了丰富的经验，撰写了深受欢迎的著作。比如，1954年，美籍匈牙利著名数学家教育家、斯坦福大学教授G·波利亚发表了《数学与猜想》一书。波利亚在自己的教育实践中认识到，数学中的发现常常是从估计、猜想开始的，而这些估计、猜想经过实践检验，再经过严格论证推理，最后获得定理、公式等结论。但是，在一般数学教科书中，只注意写经过严格论证的结论，而不写这些结论产生的过程。本书根据上述认识和针对过去数学教科书存在的这一弊端，为了充分发挥数学教育功能，提高数学教育特别是中学数学教育水平，列举了数学史上的大量事例，集中地分析了数学成果的思想渊源，揭示论证推理与合情推理的内在联系，阐明既要重视论证推理的运用，更要重视合情推理的学习，以丰富人们的数学思想，提高数学思维能力。本书内容翔实，形式新颖，语言生动，思想深刻。出版后，引起了世界数学界的重视，特别是此书作为作者已发表的《怎样解题》、《数学的发现》的续篇，得到了著名数学家的高度评价。这本书在美国深受欢迎和推崇，曾译成多种文字出版发行，被誉为第二次世界大战后出版的经典著作之一。我国科学出版社于1984年分两卷将其翻译出版。
1969年，日本著名数学家、教育家米山国藏发表了《数学的精神、思想与方法》。以数学中一些富有启发性的实例为依据，系统地论述了贯穿于整个数学的数学精神，一些重要数学思想与若干有效的数学方法。它是把着眼点放在培养人们数学能力和创造精神的一本理论专著，其特点是以数学教育为背景，从思想方法入手，结合史实深入探讨数学认识与数学发展的规律。作者写该书的目的有二：一是为了弥补过去的不足，他说：“我认为，现在的数学书籍，不论是教科书还是参考书，也不论是大部头的著作还是论文，都仅仅是记述了数学知识，可以说还没有一本论述数学的精神、数学的思想和数学的方法的著作”。二是因为数学、思想和方法是数学创造和发展的源泉，是数学教育目的的集中表现，正如他在本书“序”中所指出的：科学工作者所需要的数学知识，相对地说是不够的，而数学的精神、思想与方法却是绝对必需的；数学知识可以记忆一时，但数学精神、思想与方法却永远发挥作用，可以受益终生，是数学能力之所在，是数学教育根本目的之所在。书中总结和概括出：
(1)贯穿整个数学中的七个数学精神：①应用化的精神；②扩张化、一般化的精神；③组织化、系统化的精神；④致力于发明、发现的精神；⑤统一建设的精神；⑥严密化的精神；⑦思想经济化的精神。
(2)十个数学思想：①“数学的本质在于思考充分自由”的思想；②极限的思想；③构成“不定义的术语组”与“不证明的命题组”的思想；④集合与群的思想；⑤把有限长看作无限长的思想；⑥把曲线看作直线的思想；⑦使得特异几何、特异数学、特异运算能够出现的思想；⑧二维空间、四维空间、高维空间的思想；⑨超限数的思想；⑩数学的神秘性与数学美的思想。
(3)数学中常用的两类方法：①证明方法；②研究方法。
日本历来重视从思想方法入手研究数学教育及其历史。比如，日本数学史家小仓金之助于1957年发表的《数学教育史》和1974年发表的《数学教育的历史》；赤摄也于1967年发表的《现代数学的思想与数学教育的现代化》；植竹桓男于1975年发表的《数学史与数学教育》等，都是把数学思想方法研究与数学教育紧密结合在一起的论著。
第四，从哲学的角度研究。
从哲学角度来研究数学思想方法，可以说是最为多见的。有的哲学家对此有兴趣，不少数学家对此也很热心。马克思的《数学手稿》是一部哲学著作，但由于它主要是阐述辩证思维方法在数学中的运用，以及数学思想的历史演进，所以它又是一部研究数学思想方法方面的著作。前面讲过，此手稿是马克思于19世纪50年代末到1883年期间写作的，但当时未能发表。直到1933年，苏联的雅诺夫斯卡娅，才将此手稿的部分内容译成俄文第一次公开发表。同年，日本将其译成日文出版。我国于1975年出版了中文译本。恩格斯《自然辩证法》的数学札记，也是从哲学的角度研究数学思想方法的。后来，又出现了许多研究马克思和恩格斯这两部著作的论著，从内容看，大部分也是属于从哲学上研究数学思想方法的。
本世纪70年代以来，现代西方哲学家十分重视数学思想方法的研究，并发表了一些论著。比如，英国数学哲学家拉卡托斯的《证明及反驳》、美国哲学家普特南的《数学、物质与方法》等。这两部著作都从哲学上系统地讨论了所谓“拟经验方法”。近年来，我国也出版了从哲学上探讨数学思想方法的著作，比如，刘凤璞等编写的《数学若干辩证内容简析》，对数学客观基础、数学概念的若干辩证性质、数学运算的对立统一，19世纪以来数学的某些进展及其特征等，进行了较为系统的论述。又比如，傅士侠主编的《科学前沿的哲学探索》，对现代数学的新分支：模糊数学、突变理论与非标准分析等进行了哲学分析，得到自然辩证法界的好评。
关于数学基础论的研究，吸引着许多数学家的注意力，并取得了不少研究成果。诸如，1956年，日本的竹内外史发表了《数学基础论》，1971年，日本的岛内纲一发表了《数学的基础》；1987年，我国的朱梧槚发表了《几何基础与数学基础》等。
不仅如此，还发表了一系列从哲学上研究数学思想方法的论文，比如，日本永井博的《数学的实在性-数理哲学的一个问题》，前原昭二的《数学的哲学》；苏联马里尼切夫的《“数学的”唯心论批判》，比留科夫的《控制论的哲学问题》，内桑巴耶夫的《数学发展中抽象与具体的统一》；我国黄耀枢的《数学基础研究的历史与现状》，郑毓信的《数学直觉浅析》、王顺义的《数学是拟经验的-拉卡托斯数学哲学述评》，王前的《试论现代数学中的经验主义思潮》，林夏水的《数学基础的若干哲学问题》等。
第五，从数学存在形态的角度研究。
从数学存在形态如潜在形态来研究数学思想方法，是我国最先开始的。1979年，我国学者开创了“潜科学”这一新的研究领域，从科学潜在形态的角度探讨科学新思想孕育、产生与发展的规律，颇受学术界的欢迎。关于数学潜在形态的研究，目前虽然还没有专门的系统著作，但在《潜科学杂志》上陆续发表了一些有关文章。在潜科学丛书，如朱新民主编的《科学史上重大争论集》、解恩泽主编的《科学蒙难集》、洪定国主编的《科学前沿中的疑难与展望》、李醒民等主编的《思想领域中最高的音乐神韵-科学发现个例研究》，以及解恩泽主编的《潜科学导论》等著作中，均有关于数学潜在形态问题的讨论。在由解恩泽与赵树智合作编著的《数学思想方法纵横论》、徐本顺与解恩泽合写的《数学猜想-它的思想与方法》和《关于数学猜想的几个问题》中，则对数学的某些潜在形态进行了专门的探讨，为形成系统的数学潜在形态的理论作了一些有益的工作。
第六，从人物评传的角度研究。
从人物评传的角度研究数学思想方法，是数学界历来关注的一个重要问题，也是一个十分有效的途径。从出版的著作看，除了在一些数学家传记如《数学人物》、《女数学家传》、《祖冲之》、《希尔伯特》、《伽罗华传》、《华罗庚传》等著作中零散地介绍一些各自的思想方法外，还有一些集中论述著名数学家思想方法的著作，比如，德国数学家梅什克夫斯基于1961年发表的《大数学家的思维方式》一书，就专门分析和介绍了毕达哥拉斯、阿基米德、库萨的尼古拉、帕斯卡、莱布尼茨、高斯、伽罗华、布尔、魏尔斯特拉斯、康托尔和希尔伯特等著名数学家的思想方法特点。还比如，日本数学史家小堀宪于1968年发表的《大数学家》一书，也选出高斯、柯西、阿贝尔、伽罗华、魏尔斯特拉斯和黎曼等六位大数学家，一方面介绍生平，另一方面分析他们的思想方法。再比如，我国的解延年、尹斌庸著的《数学家传》一书，不仅介绍了61名中外数学家的生平经历、“冠军”记录和光辉业绩，而且十分注重阐发他们的思想方法和哲学观点，是一部很有特色的数学家传记。
数学思想方法，虽然至今尚未形成一个完整的理论体系，但本世纪以来特别是50年代以来，越来越引起人们的关注，并已经取得了一系列重要的研究成果。随着现代科学的发展和人们认识的深化，数学思想方法定会吸引更多的人们去关心它、探讨它和发展它，并使它逐步成为一个具有完整理论体系的、独立的研究领域。
数学思想方法研究的意义
从数学发展史上看，长期以来，数学家们对自己所从事研究领域的思想方法是重视的，并有许多发明和创造。但是，对数学思想方法本身尤其是把它作为一个独立的领域或学问来进行研究，却是很不够的。究其原因，主要是对数学思想方法研究的意义缺乏应有的认识，那么，研究数学思想方法到底有何意义呢?
一、有利于培养数学能力与改革数学教育
我们知道，数学教育的根本目的在于培养数学能力，即运用数学解决实际问题和进行发明创造的本领，而这种能力和本领，不仅表现在对数学知识的记忆，而且更主要地反映在数学思想方法的素养。事实上，我们说一个人数学能力强，有数学才能，并不简单指他记忆了多少数学知识，而主要是说他运用数学思想方法解决实际问题和创造数学理论的本领。伽罗华之所以创立群论，罗巴切夫斯基之所以创立非欧几何，维纳之所以创立控制论，不仅仅在于数学知识的积累与记忆，而主要是由于他们在数学思想方法上实行了革命性的变革所致。对一个科技工作者来说，需要记忆的数学知识可多可少，但掌握数学思想方法则是绝对必要的，因为后者是创造的源泉，发展的基础，也是数学能力的集中体现。在过去的数学教育中，正是因为过于重视知识的传授和背诵，而忽略思想方法的讲解和分析，加之传统的考试制度，所以出现了“高分低能”的现象。要想改变这种状况，就要狠抓数学思想方法的研究与教学，并把它作为数学教育改革的重要内容，坚持下去，取得成效。
二、有利于充分发挥数学的功能
数学功能的发挥，同数学能力的培养一样，关键不在于知识的积累与传递，而在于思想方法的领会、运用以及创造新的思想方法上面。实践越来越证明，数学在科学技术各领域、社会科学各部门以及生产、生活的各行各业，都有广泛的应用。这是因为，任何事物都是量与质的统一体，要想真正的认识某一事物，不仅要把握其质的规定性，而且还要了解其量的规定性，因此，数学能够应用于各种物质运动形态。马克思曾指出：一门科学只有当它达到了能够运用数学时，才算真正发展了。那么怎样在各方面更加广泛地应用数学呢?我们认为，加强数学教育，特别是加强数学思想方法的教育，是至关重要的。数学的科学功能的发挥，主要是靠数学思想方法向科学各领域的渗透与移植，把数学作为一种工具加以运用，从而促进其发展。当代科学数学化的趋势明显地反映出这一点。数学的思维功能的发挥也是如此。我们说数学是一种思维工具，实质上就是指它的思想方法。为什么往往通过数学的考核来判定一个儿童的思维能力与智力水平呢?其根据也在这里。至于数学的社会功能的发挥，同样还是靠数学思想方法的运用。我们说某人办事有数学头脑，无非是说他能灵活地运用数学思想方法。欧拉作为一位数学家，之所以不仅在代数、数论、微积分等数学分支研究上取得了突出成果，而且还在力学、物理学、天文学、航海、造船、建筑等许多非数学领域与部门做出重大贡献，集中到一点就是他具有深刻的数学思想和非凡的运用数学解决实际问题的才能。这也是他之所以能成为数学史上著名应用数学大师的根本原因所在。
三、有利于深刻认识数学本质与全面把握数学发展规律
在数学思想方法的研究中，我们可以通过对数学内容辩证性质的探讨，进一步认识数学的本质。马克思和恩格斯在自己的著作中，都对微积分内容的辩证性质作过精辟的分析，并从而概括其本质。马克思在《数学手稿》中，着重对导函数概念作了探讨。他认为，导函数生成的过程就是原函数经历了“否定之否定”的发展过程，并深刻指出：“理解微积分运算时的全部困难（正像理解否定的否定本身时那样），恰恰在于要看到微积分运算是怎样区别于这样简单手续并因此导出实际结果的。”恩格斯在谈到微积分的本质时，也曾经明确指出：“变数的数学-其中最重要的部分是微积分-本质上不外是辩证法在数学方面的运用”。事实上，微积分中所运用的思想方法，实质上就是辩证法。就拿微积分中最基本的牛顿-莱布尼茨公式来说，就是通过常量与变量的相互转化而推得的。本来作为曲边梯形面积的定积分是一个确定的常量，但为了推导牛顿-莱布尼茨公式，却特地把此定积分看作是上限函数，即把常量转化为变量。然后，在证明一个定理成立的基础上，又反过来把变量转化为常量，最终得到了这一公式。因此，我们可以说，牛顿-莱布厄茨公式就是常量与变量辩证统一的结果。
关于通过数学思想方法的研究，可更加全面把握数学规律的问题，前面已经讲过，它可从数学内部的矛盾运动这个侧面来发现和认识规律，以弥补过去只注重从外面研究的不足。比如，在关于数学潜形态的研究中，一方面可以提高对数学新思想萌发和形成规律的认识，另一方面，还可以加强对数学由“潜”到“显”转化机制的掌握。研究表明：对新事实的解释、对理论体系自身矛盾的研究、对个体结论的推广等，均是科学新思想产生的有效途径;树立科学成效观、积极开展自由论争、大力倡导科学伯乐精神、实行科学的组织管理等，都是加速科学由“潜”到“显”转化的重要机制。这对深入探讨数学由“潜”到“显”转化的规律，显然具有启示意义和参考价值。
总之，数学思想方法的研究，具有十分重要而深远的意义。我们相信，数学思想方法作为一个独立的研究领域，必将不断取得新的研究成果，为数学、自然科学、教育科学与哲学的发展，做出应有的贡献。
的数学思想方法13
小学数学课程标准明确提出：让学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。美国教育心理家布鲁纳也指出：掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和更利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的光明之路。
在小学数学中，蕴含着各种各样的数学思想方法，比如化归法、符号法、组合思想、转化思想、演绎推理等等，有关数学思想方法的培养没有明确而具体的要求，其呈现形态也不十分明显，再加上其本身的抽象性和小学生的年龄特点，也不可能直接地告诉学生，但是在小学阶段进行有计划、有意识的渗透，是十分必要的，这对发展学生学习数学能力，丰富数学经验，特别是对于学生今后的后继学习，具有举足轻重的作用。
那怎样渗透呢？怎样讲究渗透的策略呢？现以苏教版小学数学教材教学为例，从微观角度进行探索，将自己思考和感悟与同仁共享之。
一、剖析教材，在教学内容中渗透
数学思想是前人探索数学真理过程的积累，但数学教材并不一定是探索过程的真实记录。恰恰相反，教材对完美演绎形式的追求往往掩盖了内在的思想和方法，所以一方面要不断改革教材，使数学思想在教材中得到较好反映与体现；另一方面要深入分析教材，挖掘教材内在的思想和方法。
如四年级下册小数乘法这一单元，过去的教材把它拆分为小数乘整数、整数乘小数、小数乘小数，但新教材中均把它们转化成一种方法：只要先按照整数乘法计算，再看两个乘数一共有几位小数，积就有几位小数。同样，小数除法这一单元也是进一步体会转化思想的好时机：除数为小数的除法都要转化为除数为整数的除法再计算。教师要把转化这种思想充分展现出来，让学生感受到转化这一思想给计算带来的方便。
再如学乘法，九九表总是要背的。五七三十五的下一句是六七四十二，如果背了上句忘了下句，可以想想35+7=42，就想起来了。这样用理解帮助记忆，用加法帮助乘法，实质上就包含了变量和函数的思想：五变成六，对应的35就变
二、亲历体验，在探究过程中渗透
新课程特别强调要让学生探究知识，体验知识的形成过程，在探究活动中学生思想高度活跃，多种思维碰撞，教师心中应明确：利用这样的良机进行数学思想方法的渗透，非常的有利，同时也应明确要渗透哪些的数学思想方法，增强针对性，特别要讲究层层推进、步步深入。
例如一位青年教师在执教圆的认识时，先在黑板上画了一个圆（圆中已画了一条半径），然后提问：我画直径，大家很快说出画得对或错，当学生解答后，教师小结：要判断对错一定要先研究好直径的特点。再问：下面两个问题提示我们进行直径的研究，大家想一想要选择哪一个（A对照圆心来研究，B对照半径来研究）。
学生讨论确定选择了B后，再问：可以通过什么方式得到直径的长度？有的学生说用测量，有的学生说利用半径，教师问：怎样利用半径来求出直径的长度呢？学生1答；2个半径等于一个直径；教师问：有没有更简洁的表达？学生2：直径=半径2；教师又问；还能更简洁吗？生3：D=2R。教师小结：非常好，这就是数学的语言。
这位老师在这样一个引领学生探究体验知识的过程中，除了渗透归纳、抽象概括等数学思想外，还渗透了数学最最讲究的符号思想，用符号来阐释数学规律，而学生就在步步深入的探究学习活动中获得相应的数学思想方法的训练。
三、解决问题，在思维活动中渗透
解决问题的策略是小学数学知识结构中新的部分，是一个凸显数学本质的教学领域，它需要用系统的眼光，构建一个适合学生学习的'序列。每一个引领学生解决数学问题的过程，都是渗透数学思想方法的过程。为了使渗透更有效，一定要充分展示思维过程，让学生充分感受思维活动的程序，在不知不觉中形成良好的思考问题的品质和方法。日常教学中我们对于数学应用题的解决，一般采取两种思维方式，这实际上就是两种数学思想方法，一种是演绎推理，一种是归纳推理。
比如一个长方形的长是20米，宽是长的一半，这个长方形的面积是多少？可以引导学生这样解决问题；要求面积必须知道什么条件？（长和宽），这两个条件哪个是已知的？（长）哪个未知？（宽），宽和什么有关系？（是长的一半）怎样求出来？（202），宽求出来了，面积怎样求呢？（长宽即2010）；引领学生展现这一思维过程就是让学生体验演绎推理方法的过程。
当然，这道题还可以从条件入手：能不能直接算出长方形的面积？知道了长和宽是长的一半，可以求出什么？宽求出后，能不能算出面积？引领这一思维过程就是让学生感受和体验归纳推理的过程。解 决数学问题可以明白地告诉学生可以从问题入手去思考解决，也可以从条件入手去思考解决，让学生充分地去感知，去运用，就获得了数学思想方法的训练。
三、巧作转化，在情境比较中渗透
转化是一种常见的、极其重要的策略。转化是指把一个数学问题变更为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使原问题得以解决的一种策略。
例如一位教师在执教六年级下册教材解决问题的策略转化一课中，有这样一个片断：
师：为了喜迎2008年北京奥运，欢欢和迎迎开始学习了剪纸，他们想把中国的剪纸艺术介绍给全世界的人们。瞧，这就是他们第一次的作品。课件出示例1，提问两个图形的面积相等吗？你是怎样想的呢？拿出方格纸，在图形上试着画画、算算。
学生独自尝试，交流想法。生1：把第一个图形上面的半圆向下平移5格，把第二个图形下面的左右半圆分别割补到上面，这样就变成两个一样大小的长方形。生 2：把第一个图形下面的图形向上平移5格，把第二个图形下面的左右半圆分别旋转180，这样就变成两个一样大小的长方形。
师：大家用什么方法解决这个问题的？怎样转化的？生：轻声说说转化的过程。师：还有其它的方法解决这个问题吗？同桌合作，试一试。生：按不满一格算半格，左边图形的面积是20格，右边图形的面积也是20格，两个图形面积相等。师：比较两种方法，你更喜欢用哪种？为什么？生：喜欢用转化的方法，因为它比较简捷。师：看来，运用转化的策略，能将复杂的问题变得简单化。
转化作为一种广泛运用的策略，它蕴含了一种重要的数学思想。因而，教学这一策略时，教师不能着眼于学生会运用这一策略解决问题，应努力使学生在学习和运用转化策略解决问题的过程中充分体会数学思想的魅力。
四、走进生活，在数学比照中渗透
在数学学习过程中，任何一项数学知识的探究、理解、掌握，都可以在生活中寻找到具体实在的体验，也就是可以从生活中寻找到参照物，这一寻找和比较的过程，就渗透了类比推理或者是角度转换的数学思想方法，而且这样的比照生活体验对于学生的数学学习非常的有意义、有价值。比如学习等式，可以从跷跷板的平衡去比照，学习数字、几何图形都可以从生活中的物体数量和生活中的建筑去比照。
一位特级教师讲了一个有关她的切身经历：她教过一位学生，数学基础知识差，数学应用题常常解答不出来，教师和学生都很苦恼，有一次，她在一次家访中意外地发现了这位学生的一绝：算钱一流，他会帮父母算钱、收钱、找钱，而且速度非常快，几乎不出差错。这给了老师一个启示，老师马上付诸行动，只要是应用题，她就把它转换成价格类的应用题，然后让这位学生来解答，没想到，都答得很好，后来这位学生在没有老师的帮助下，自己将一些应用题进行了价格转换来解答，再后来，这样的价格转换慢慢地消失了，这位学生最终无须转换就能自如地解答应用题了。
这一生动的事例，虽是个案，但足以说明，比照生活体验的数学学习，是富有灵性的，其中师的做法更是向学生渗透了这样的数学思想方法：类比推理、知识转换，学生就是在比照的过程中，获得了数学思想方法的训练。
五、联系经验，在感悟体验中渗透
学习新知识，必须借助已有的知识经验，通过把要学的新知转化成已学的知识经验，就是一种非常好的数学思想方法，我们一定要让学生养成一种意识，自觉地把新知转化为旧知，从新旧知识的内在联系中悟出新方法、新知识、新道理。比如学习方程，可以从已学的等式中去获得感悟，达到知识迁移；学习分数，可以从已学的小数中获得感悟等等。而要更好地悟中渗透，就是教师要创设一定的问题情境，用巧妙的问题联结起新旧知识，促使学生感悟和思考。
比如一位老师在上小学一年级《确定位置》时，出了一道问题：到电影院看电影，怎样找到自己的位置呢？首先出示了第一个图例，座位号从左往右是1、2、 310；这样的题因为在新知探索中非常充分，没有难度，很快就解决了，接着老师再出示了另外一个电影院，但座位分两边，单号1、3、5、7、9在左，双号2、4、6、8、10在右，教师这时候提了两个问题；两个电影院有什么共同的地方？有什么不同的地方？这两问就把新旧两个知识点有机地联结起来，这两问也是渗透了一种数学思想：转化成旧的知识经验进行对比思考，这两问也是为了一年级学生更好地悟清知识及其内在联系。
在我们数学教学活动中，这样引导学生悟的小细节非常重要，到了高年级的时候我们甚至可以由教师的设问转变为由学生自己设问，到那时学生将更加自觉地联系数学经验，更加自觉地获得数学思想方法的训练。
六、介绍历史，在数学文化中渗透
读史使人明智。美国著名数学教育家波里亚曾说过，学习数学只有当看到数学的产生、按照数学发展的历史顺序或亲自从事数学发现时，才能最好的理解数学。介绍数学史的目的在于灵活恰当的利用数学史。教材中概括性的叙述，未能表现出创造过程中的挫折、斗争、数学家经历的艰苦漫长的道路。如果在教学中渗透这些内容，学生不仅可以获得知识，了解数学思想方法，还将会被他们追求真理的勇气和毅力所感染，有助于培养学生热爱科学，追求真理的良好品质。
如在教学圆周率概念时，可以向学生简介我国古代数学家刘徽、祖冲之在计算圆周率方面取得的杰出成果，使学生了解古人为探求知识所付出的艰辛劳动，了解在解决这一具体问题时所运用的无穷逼近思想方法，已成为研究数学科学的一个重要的思想方法，在现代的分析数学中依然发挥着很大作用。
再如在教学无限不循环小数时。要注意历史在形成这一概念所经历的曲折，充分估计学生学习这一概念的困难，要让学生了解无限不循环小数的客观存在性是经过严密证明的，他解决了有限小数和无限循环小数不能解决的一些问题，让学生感到学习这一新概念的必要性。数学史中还有很多典型问题，如鸡兔同笼、不定方程、幻方研究这些问题的过程中蕴涵了许多富有启发性的思想方法，在教学中都 可以借鉴和运用。
数学思想方法是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。由于小学生的认知能力和小学数学内容的限制，只能将部分重要的数学思想方法落实到小学数学教学过程中去，而且数学思想方法在教学中的渗透不宜要求过高。
总之，数学思想在教学中的渗透，往往要经历一个循环往复、螺旋上升的过程，而且是几种思想方法交织在一起，在教学过程中教师要依据具体情况，在某一段时间内重点渗透与明确一种数学思想方法，这样效果就会好得更多！
的数学思想方法14
1、函数与方程的思想
著名数学家克莱因说“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”。一个学生仅仅学习了函数的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动地去思考一些问题。
函数是高中代数内容的主干，函数思想贯穿于高中代数的全部内容，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。
所谓方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
函数和方程、不等式是通过函数值等于零、大于零或小于零而相互关联的，它们之间既有区别又有联系。函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。
高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程的思想的基本运用，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力的关系角度进行综合考查。
在解题时，要学会思考这些问题：(1)是不是需要把字母看作变量?(2)是不是需要把代数式看作函数?如果是函数它具有哪些性质?(3)是不是需要构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题?(4)能否把一个等式转化为一个方程?对这个方程的根有什么要求?……
2、数形结合的思想
数学研究的对象是数量关系和空间形式，即“数”与“形”两个方面。“数”与“形”两者之间并不是孤立的，而是有着密切的联系。数量关系的研究可以转化为图形性质的研究，反之，图形性质的研究可以转化为数量关系的研究，这种解决数学问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，即是数形结合的思想。
数形结合的思想，在数学的几乎全部的知识中，处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面给人以启迪，为问题的解决提供简捷明快的途径。它的运用，往往展现出“柳暗花明又一村”般的数形和谐完美结合的境地。华罗庚先生曾作过精辟的论述：“数与开形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫离。”
数形结合既是一个重要的数学思想，也是一种常用的解题策略。一方面，许多数量关系的抽象概念和解析式，若赋予几何意义，往往变得非常直观形象;另一方面，一些图形的属性又可通过数量关系的研究，使得图形的性质更丰富、更精准、更深刻。这种“数”与“形”的相互转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可大大开拓我们的解题思路。可以这样说，数形结合不仅是探求思路的“慧眼”，而且是深化思维的有力“杠杆”。
由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识。因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。
在高考中，选择题和填空题这两种题型的特点(只需写出结果而无需写出过程)，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题来解决的意识。而在解答题中，考虑到推理论证的严谨性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不是提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合的思想的考查以由“数”到“形”的转化为主。
3、分类与整合的思想
解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在各个子区域内进行解题，当分类解决完这个问题后，还必须把它们总合在一起，因为我们研究的毕竟是这个问题的全体，这就是分类与整合的思想。有分有合，先分后合，不仅是分类与整合的思想解决问题的主要过程，也是这种思想方法的本质属性。
高考将分类与整合的思想放在比较重要的位置，并以解答题为主进行考查，考查时要求考生理解什么样的问题需要分类研究，为什么要分类，如何分类以及分类后如何研究与最后如何整合。特别注意引起分类的原因，我们必须相当熟悉，有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念、整数分为奇数偶数等，有些运算法则和公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为q=1和q≠1两种情况，对数函数的单调性就分为a>1，0
高考对分类与整合的思想的考查往往集中在含有参数的'解析式，包括函数问题，数列问题和解析几何问题等。此外，排列组合的问题，概率统计的问题也考查分类与整合的思想。随着新课程高考在全国的实施，在新增内容中考查分类与整合的思想，窃以为，是今后几年高考命题的重点之一。
4、化归与转化的思想
将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想叫做化归与转化的思想。化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转达化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。
转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性;在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。
熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是骒转化的基础;丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁;培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。有人认为“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙，说的也不无道理。
5、特殊与一般的思想
由特殊到一般，由一般到特殊，是人们认识世界的基本方法之一。数学研究也不例外，由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过程，就是数学研究中的特殊与一般的思想。
我们对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来的，证明后，又使用它们来解决相关的数学问题。在数学中经常使用的归纳法，演绎法就是特殊与一般的思想的集中体现。分析历年的高考试题，考查特殊与一般的思想的题比比皆是，有的考查利用一般归纳法进行猜想，有的通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点，确定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题等。随着新教材的全面推广，高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般的思想必然成为今后命题改革的方向。
6、有限与无限的思想
有限与无限并不是一新东西，虽然我们开始学习的数学都是有限的教学，但其中也包含有无限的成分，只不过没有进行深入的研究。在学习有关数及其运算的过程中，对自然数、整数、有理数、实数、复数的学习都是有限个数的运算，但实际上各数集内元素的个数都是无限的。在解析几何中，还学习过抛物线的渐近线，已经开始有极限的思想体现在其中。数列的极限和函数的极限集中体现了有限与无限的思想。使用极限的思想解决数学问题，比较明显的是立体几何中求球的体积和表面积，采用无限分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，然后再求和求极限，这是典型的有限与无限的思想的应用。
函数是对运动变化的动态事物的描述，体现了变量数学在研究客观事物中的重要作用。导数是对事物变化快慢的一种描述，并由此可进一步处理和解决函数的增减、极大、极小、最大、最小等实际问题，是研究客观事物变化率和最优化问题的有力工具。
高考中对有限与无限的思想的考查才刚刚起步并且往往是在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无限思想。例如，在使用由特殊到一般的归纳思维时，含有有限与无限的思想;在使用数学归纳法证明时，解决的是无限的问题，体现的是有限与无限的思想，等等。随着对新增内容的考查的逐步深入，必将加强对有限与无限的思想的考查，设计出突出体现出有限与无限的思想的新颖试题。
7、或然与必然的思想
随机现象有两个最基本的特征，一是结果的随机性，即重复同样的试验，所得到的结果并不相同，以至于在试验之前不能预料试验的结果;二是频率的稳定性，即在大量重复试验中，每个试验结果发生的频率“稳定”在一个常数附近。了解一个随机现象就要知道这个随机现象中所有可能出现的结果，知道每个结果出现的概率，知道这两点就说对这个随机现象研究清楚了。概率研究的是随机现象，研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这其中所体现的数学思想就是或然与必然的思想。
随着新教材的推广，高考中对概率内容的考查已放在了重要的位置。通过对等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验恰相好有k次发生的概率、随机事件的分布列与数学期望等重点内容的考查，考查基本概念和基本方法，考查在解决实际应用问题中或然与必然的辩证关系。
概率问题，无论属于哪一种类型，所研究的都是随机事件中“或然”与“必然”的辩证关系，在“或然”中寻找“必然”的规律。
的数学思想方法15
《新课程标准》在总目标中提出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。这句话对于我们新教师来已经是烂熟于心，但对于这句话真正理解的少之又少，读了王永春老师的《小学数学思想与数学思想方法》之后，对这句话才有了真正的认识。“授人以鱼不如授人以渔”，对于学生而言，数学知识在其次，数学方法才是最重要的，在这本书中，王老师为我们总结了小学数学知识中蕴含的数学思想，这让我们在日常教学中可以结合所教知识很清楚地知道这些知识中蕴含了哪些数学思想方法，为我们的教学提供了指导和帮助。
这学期我任三年级数学，三年级上册中的主要思想有：第3单元“测量”中学习的长度单位：分米（dm）、毫米（mm）、千米（km）是符号化思想的应用；第7单元“长方形和正方形”中有些习题如本书中第25页的“案例2”应用了分类思想；第9单元“数学广角——集合”中学习的重复问题是集合思想的应用；第8单元“分数的初步认识”中学生用一张正方形白纸可以折出不同的形状表示它的1/4。在学生充分展示后，我们可以引导学生发现虽然形状、大小不同，但都是把一张正方形白纸平均成4份，每份是它的'1/4。这个教学过程中有变中有不变的思想的应用。第8单元“分数的初步认识”中把一个圆形平均分，分的份数越多，分数越小，如果一直分下去，可以对应写出无限多个分数。
生活本身是一个巨大的数学课堂，生活中客观存在着大量有价值的数学现象。指导学生运用数学知识写日记，能促使学生主动地用数学的眼光去观察生活，去思考生活问题，让生活问题数学化。在教学中注重培养孩子运用数学的意识，增强学生运用知识解决实际问题的能力。由此可见，数学并不是靠老师教会的，而是在教师的指导下，靠学生自己学会的。在教学中教师要给学生创造情景、提供机会，给学生充足的时间和空间，让学生主动探究新知，在探究中发现规律、归纳规律。因此，我们在课堂教学中，多留些时间给学生，让他们动手操作；多留些时间给学生，自己的意见；多留些时间给学生，让他们质疑问难。保证充分的时间和空间，让学生再课内交流、讨论、质疑。
这本书教给了我们一种教学理念，教会了我们一种教学方法。读书更是一种好的学习手段，它将带领我们不断更新、与时俱进，成为一名学生喜欢的、有专业素养的好老师。
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