有关等差数列知识点整理
在平凡的学习生活中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。想要一份整理好的知识点吗？下面是小编整理的有关等差数列知识点整理，欢迎大家分享。
等差数列知识点整理 篇1
概念
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
例如：1，3，5，7，9……2n-1。
通项公式为：an=a1+(n-1)xd。首项a1=1，公差d=2。
前n项和公式为：Sn=a1xn+[nx(n-1)xd]/2或Sn=[nx(a1+an)]/2。
注意：以上n均属于正整数。
公式
通项公式
如果一个等差数列的首项为a1，公差为d，那么该等差数列第n项的表达式为：
即an=a1+(n-1)d
补充：
求和公式
若一个等差数列的首项为a1，末项为an那么该等差数列和表达式为：S=(a1+an)n2
即(首项+末项)项数2
前n项和公式
注意：n是正整数(相当于n个等差中项之和)
等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：
上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d，高为n。
即[a1+a1+(n-1)d]x n/2=a1 n+ n (n-1)d /2.
推论
一.从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d0)或一次函数(d=0，a10)，且常数项为0。
二. 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…
=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=...=p(k)+p(n-k+1))，k{1，2，…，n}
三.若m，n，p，qNx，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)xa(n)，S(2n+1)=
(2n+1)xa(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)xk-S(n-1)xk…成等差数列，等等。
若m+n=2p，则a(m)+a(n)=2xa(p)
(对3的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)xm+b(0)+b(1)xn=2xb(0)+b(1)x(m+n)
p(p)+p(q)=b(0)+b(1)xp+b(0)+b(1)xq=2xb(0)+b(1)x(p+q);因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p
(q))
四.其他推论
① 和=(首项+末项)项数2
(证明：s(n)=[n，n^2]x[1，1/2;0，1/2]x[b(0);b(1)]=nxb0+1/2xb1xn+1/2xb1xn^2
(p(1)+p(n))xn/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)xn)xn/2=nxb0+1/2xb1xn+1/2xb1xn^2=s(n))
证明原理见高斯算法
项数=(末项-首项)公差+1
(证明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)xn-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)x(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)
② 首项=2x和项数-首项或末项-公差(项数-1)
③ 末项=2x和项数-首项
(以上2项为第一个推论的转换)
④ 末项=首项+(项数-1)公差
(上一项为第二个推论的转换)
推论3证明
若m，n，p，qNx，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)
+a(q)
如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)xd+a(1)+(n-1)xd
=2xa(1)+(m+n-2)xd
同理得，
a(p)+a(q)=2xa(1)+(p+q-2)xd
又因为
m+n=p+q ;
a(1)，d均为常数
所以
若m，n，p，qNx，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)
若m，n，pNx，且m+n=2p，则有a(m)+a(n)=2a(p)
注：
1.常数列不一定成立
2.m，p，q，n属于自然数
⑤2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和
等差中项
等差中项即等差数列头尾两项的和的一半.但求等差中项不一定要知道头尾两项。
等差数列中，等差中项一般设为A(r).当A(m)，A(r)，A(n)成等差数列时。
A(m)+A(n)=2A(r)，所以A(r)为A(m)，A(n)的等差中项，且为数列的平均数。并且可以推知n+m=2r。
且任意两项a(m)，a(n)的关系为：a(n)=a(m)+(n-m)xd，(类似p(n)=p(m)+(n-m)xb(1)，相当容易证明
它可以看作等差数列广义的通项公式。
等差数列的应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。
若为等差数列，且有a(n)=m，a(m)=n.则a(m+n)=0。
其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：
今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何?
书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。
这相当于给出了S(n)=(a(1)+a(n))/2xn的求和公式。
基本性质编辑
⑴数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数)。
⑵在等差数列中，当项数为2n (n N+)时，S偶-S奇 = nd，S奇S偶=ana(n+1);当项数为(2n-1)(n N+)时，S奇—S偶=a(中)，S奇-S偶=项数xa(中) ，S奇S偶 =n(n-1)。
⑶若数列为等差数列，则Sn，S2n -Sn ，S3n -S2n，…仍然成等差数列，公差为k^2d。
(4)若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则am/bm=S2m-1/T2m-1。
⑸在等差数列中，S = a，S = b (nm)，则S = (a-b)。
⑹等差数列中， 是n的一次函数，且点(n， )均在直线y = x + (a - )上。
⑺记等差数列的前n项和为S .①若a 0，公差d0，则当a 0且an+10时，S 最大;②若a 0 ，公差d0，则当a 0且an+10时，S 最小。
[8)若等差数列S(p)=q，S(q)=p，则S(p+q)=-(p+q)
r次等差数列
为什么等差数列的学习中，对公差和首项特别的'关注，因为公差和首项可以作为等差数列一切变化的切入点。当我们有更好的切入点后，我们可以毫不犹豫的抛弃公差和首项。
假设一个基En(x)=[1，x，x^2，...，x^k]，转换矩阵A为k+1阶方阵，b=[b0，b1，b2，...，bk]。b同En的长度一样(k+1)。b表示b的转置。当k=1时，我们可以称为一次数列。k=r时，我们可以称为r次数列。(x，k只能取自然数)
p(x)=En(x)xb
s(x)=xxEn(x)xAxb
m+n=p+q(m、n、p、qNx)则am+an=ap+aq
一次数列的性质
1.p1(x)，p2(x)均为一次数列，则p1(x)p2(x)与cxp1(x)p2(x)(c为非零常数)也是一次数列。p(x)是一次函数，(n，p(x))构成直线。
2.p(m)-p(n)=En(m)xb-En(n)xb=(En(m)-En(n))xb=[0，m-n]xb
3.m+n=p+q - p(p)+p(q)=p(m)+p(n)
(证明:m+n=p+q - En(m)+En(n)=En(p)+En(q)
p(m)+p(n)=En(m)xb+En(n)xb=(En(m)+En(n))xb
p(p)+p(q)=(En(p)+En(q))xb=(En(m)+En(n))xb=p(m)+p(n)
4.从p(x)=En(x)xb中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是一次数列，其一次项系数为kxb(1)( k为取出项数之差)，常项系数未知。
5.在一次数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的平均数。
6.当一次项系数b(1)0时，数列中的数随项数的增大而增大;当b(1)0时，数列中的数随项数的减少而减小;b(1)=0时，数列中的数等于一个常数。
等差数列的判定
1、a(n+1)--a(n)=d (d为常数、n Nx)[或a(n)--a(n-1)=d，n Nx，n 2，d是常数]等价于{a(n)}成等差数列。
2、2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [nNx] 等价于{a(n)}成等差数列。
3、a(n)=kn+b [k、b为常数，nNx] 等价于{a(n)}成等差数列。
4、S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B为常数，A不为0，n Nx ]等价于{a(n)}为等差数列。
等差数列知识点整理 篇2
1.定义：如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。同样为数列的等比数列的性质与等差数列也有相通之处。
2.数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数)．等差数列练习题
3.性质1：公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．
4.性质2：公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．
5.性质3：当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．
等差数列知识点整理 篇3
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时,高一，有as+at=2ap；
（4）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（5）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)。