高二数学判断充分与必要条件的知识点
一、定义法
对于“?圯”,可以简单的记为箭头所指为必要,箭尾所指为充分。在解答此类题目时,利用定义直接推导,一定要抓住命题的条件和结论的四种关系的定义。
例1已知p:-2
分析条件p确定了m,n的范围,结论q则明确了方程的根的特点,且m,n作为系数,因此理应联想到根与系数的关系,然后再进一步化简。
解设x1,x2是方程x2+mx+n=0的两个小于1的正根,即0
而对于满足条件p的m=-1,n=,方程x2-x+=0并无实根,所以pq。
综上,可知p是q的必要但不充分条件。
点评解决条件判断问题时,务必分清谁是条件,谁是结论,然后既要尝试由条件能否推出结论,也要尝试由结论能否推出条件,这样才能明确做出充分性与必要性的判断。
二、集合法
如果将命题p,q分别看作两个集合A与B,用集合意识解释条件,则有:①若A?哿B,则x∈A是x∈B的充分条件,x∈B是x∈A的必要条件;②若A?芴B,则x∈A是x∈B的充分不必要条件,x∈B是x∈A的'必要不充分条件;③若A=B,则x∈A和x∈B互为充要条件;④若A?芫B且A?芸B,则x∈A和x∈B互为既不充分也不必要条件。
三、逆否法
利用互为逆否命题的等价关系,应用“正难则反”的数学思想,将判断“p?圯q”转化为判断“非q非p”的真假。
例3(1)判断p:x≠3且y≠2是q:x+y≠5的什么条件;
(2)判断p:x≠3或y≠2是q:x+y≠5的什么条件。
解(1)原命题等价于判断非q:x+y=5是非p:x=3或y=2的什么条件。
显然非p非q,非q非p,故p是q的既不充分也不必要条件。
(2)原命题等价于判断非q:x+y=5是非p:x=3且y=2的什么条件。
因为非p?圯非q,但非q非p,故p是q的必要不充分条件。
点评当命题含有否定词时,可考虑通过逆否命题等价转化判断。
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