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奥数练习题:完全平方数的数论

时间:2021-07-08 16:42:45 数学 我要投稿

奥数练习题:完全平方数的数论

  奥数是一种理性的精神,使人类的思维得以运用到最完善的程度.让我们一起来阅读关于完全平方数的数论练习,感受奥数的奇异世界!

  1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数。

  解:设此自然数为x,依题意可得

  x-45=m^2;(1)

  x+44=n^2(2)

  (m,n为自然数)

  (2)-(1)可得:

  n^2-m^2=89或:(n-m)(n+m)=89

  因为n+m>n-m

  又因为89为质数,

  所以:n+m=89;n-m=1

  解之,得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。

  2、求证:四个连续的整数的积加上1,等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。

  分析设四个连续的`整数为,其中n为整数。欲证

  是一奇数的平方,只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。

  证明设这四个整数之积加上1为m,则

  m为平方数

  而n(n+1)是两个连续整数的积,所以是偶数;又因为2n+1是奇数,因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。

  3、求证:11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。

  分析形如的数若是完全平方数,必是末位为1或9的数的平方,即

  或

  在两端同时减去1之后即可推出矛盾。

  证明若,则

  因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等。

  若,则

  因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等。

  综上所述,不可能是完全平方数。

  另证由为奇数知,若它为完全平方数,则只能是奇数的平方。但已证过,奇数的平方其十位数字必是偶数,而十位上的数字为1,所以不是完全平方数。

  4、求满足下列条件的所有自然数:

  (1)它是四位数。

  (2)被22除余数为5。

  (3)它是完全平方数。

  解:设,其中n,N为自然数,可知N为奇数。

  11|N-4或11|N+4

  或

  k=1

  k=2

  k=3

  k=4

  k=5

  所以此自然数为1369,2601,3481,5329,6561,9025。

  5、甲、乙两人合养了n头羊,而每头羊的卖价又恰为n元,全部卖完后,两人分钱方法如下:先由甲拿十元,再由乙拿十元,如此轮流,拿到最后,剩下不足十元,轮到乙拿去。为了平均分配,甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)?

  解:n头羊的总价为元,由题意知元中含有奇数个10元,即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6。所以,的末位数字为6,即乙最后拿的是6元,从而为平均分配,甲应补给乙2元。

  为您提供的关于完全平方数的数论练习,希望给您带来启发!

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