奥数数论数的整除

奥数数论数的整除1

　　题目：一个五位数恰好等于它各位数字和的20xx倍，则这个五位数是

　　答案：因为20xx是9的倍数，所以，这个五位数一定是9的倍数，那么它的各位数字和一定是9的倍数．由于五位数的各位数字之和最大为45，所以，可以从9、18、27、36、45进行试值．

　　如果数字和为9，那么这个五位数为，然而18063各位数字之和不为9，所以此时不成立；

　　如果数字和为18，那么这个五位数为，36126各位数字之和为18，所以此时成立；

　　如果数字和为27，那么这个五位数为，54189各位数字之和为27，所以此时成立；

　　如果数字和为36，那么这个五位数为，然而72252各位数字之和不为36，所以此时不成立；如果数字和为45，那么这个五位数为，然而90315各位数字之和不为45，所以此时不成立；综上可知，这个五位数为36126或54189．

　　分析：此题是利用了9的整除特点，再进行分类枚举来验证。本题看起来觉得无从下手，但是利用9的特点可以得到很多信心，数字3也有同样的效果，所以大家再遇到数论问题时，应该先想一想里面是否有3、9这样特殊的倍数。

奥数数论数的整除2

　　一、基本概念和符号：

　　1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

　　2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;

　　二、整除判断方法：

　　1。能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

　　2。能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

　　3。能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

　　4。能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

　　5。能被7整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

　　②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

　　6。能被11整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

　　②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

　　③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

　　7。能被13整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

　　②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

　　三、整除的性质：

　　1。如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a—b）也能被c整除。

　　2。如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

　　3。如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

　　4。如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

　　例题：

　　在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？

　　解：如果56□2能被9整除，那么

　　5+6+□+2=13+□

　　应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除;

　　如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除;

　　如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。

奥数数论数的整除3

　　把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除。

　　例如：判断491678能不能被11整除。

　　—→奇位数字的和9+6+8=23

　　—→偶位数位的和4+1+7=12 23—12=11

　　因此，491678能被11整除。

　　这种方法叫"奇偶位差法"。

　　除上述方法外，还可以用割减法进行判断。即：从一个数里减去11的10倍，20倍，30倍……到余下一个100以内的数为止。如果余数能被11整除，那么，原来这个数就一定能被11整除。

　　又如：判断583能不能被11整除。

　　用583减去11的50倍（583—11×50=33）余数是33， 33能被11整除，583也一定能被11整除。

　　（1）1与0的特性：

　　1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a。

　　0是任何非零整数的倍数，a≠0，a为整数，则a|0。

　　（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

　　（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

　　（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

　　（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

　　（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

　　（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

　　（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

　　（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

　　（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

　　（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！

　　（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

　　（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的'4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

　　（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

　　（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

　　（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

　　（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

　　（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23（或29）整除，则这个数能被23整除。

奥数数论数的整除4

　　例1.在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除?

　　解：如果56□2能被9整除，那么

　　5+6+□+2=13+□

　　应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除;

　　如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除;

　　如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。

　　到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被6整除，因为6=2×3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除;判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除;如此等等。

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