数学 百文网手机站

五年级奥数题之质数合数和分解质因数问题

时间:2021-07-06 15:39:19 数学 我要投稿

有关五年级奥数题之质数合数和分解质因数问题

  例8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。

  分析 ∵a与1080的乘积是一个完全平方数,

  ∴乘积分解质因数后,各质因数的指数一定全是偶数。

  解:∵1080×a=23×33×5×a,

  又∵1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数,

  ∴a必含质因数2、3、5,因此a最小为2×3×5。

  ∴1080×a=1080×2×3×5=1080×30=32400。

  答:a的最小值为30,这个完全平方数是32400。

  例9 问360共有多少个约数?

  分析 360=23×32×5。

  为了求360有多少个约数,我们先来看32×5有多少个约数,然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23,即得到23×32×5(=360)的所有约数.为了求32×5有多少个约数,可以先求出5有多少个约数,然后再把这些约数分别乘以1、3、32,即得到32×5的所有约数。

  解:记5的约数个数为Y1,

  32×5的约数个数为Y2,

  360(=23×32×5)的约数个数为Y3.由上面的分析可知:

  Y3=4×Y2,Y2=3×Y1,

  显然Y1=2(5只有1和5两个约数)。

  因此Y3=4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。

  所以360共有24个约数。

  说明:Y3=4×Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数,也就是其中2的最大指数加1,也就是360=23×32×5中质因数2的个数加1;Y2=3×Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数,也就是23×32×5中质因数3的个数加1;而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数,即23×32×5中质因数5的个数加1.因此

  Y3=(3+1)×(2+1)×(1+1)=24。

  对于任何一个合数,用类似于对23×32×5(=360)的约数个数的讨论方式,我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论:

  一个合数的约数个数,等于它的'质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加1的连乘的积。

  例10 求240的约数的个数。

  解:∵240=24×31×51,

  ∴240的约数的个数是

  (4+1)×(1+1)×(1+1)=20,

  ∴240有20个约数。

  请你列举一下240的所有约数,再数一数,看一看是否是20个?

  例1 三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.

【五年级奥数题之质数合数和分解质因数问题】相关文章:

奥数题质数与合数问题01-20

质数合数奥数问题07-30

奥数质数合数问题解析07-21

五年级奥数:质数、合数和分解因数解答07-23

奥数五年级质数合数问题07-27

五年级奥数题:质数与合数07-30

奥数练习之质数问题07-30

奥数专题之质数和数问题07-13

五年级奥数质数合数问题解析07-23