初三数学圆知识点总结归纳

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初三数学圆知识点总结归纳

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初三数学圆知识点总结归纳

　　初三数学关于圆的知识点

　　一、圆的认识

　　1、圆的定义

　　（1）在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O 叫做圆心，线段OA叫做半径，如右图所示。

　　（2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点为圆心，定长为圆的半径。

　　说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半径相等的两个圆为等圆。

　　2、圆的有关概念

　　（1）弦：连结圆上任意两点的线段。（如右图中的CD）。

　　（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB）。直径等于半径的2倍。

　　（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。（如右图中的CD、CAD）其中大于半圆的弧叫做优弧，如CAD，小于半圆的弧叫做劣弧。

　　（4）圆心角：如右图中∠COD就是圆心角。

　　3、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。

　　（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。

　　（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

　　4、过三点的圆。

　　（1）定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆。

　　（2）三角形的外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。

　　5、垂径定理。

　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

　　推论1：

　　①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

　　②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

　　③平分弦所对的一条弦的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

　　推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

　　6、与圆相关的角

　　（1）与圆相关的角的定义

　　①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

　　②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

　　③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。

　　（2）与圆相关的角的性质

　　①圆心角的度数等于它所对的弦的度数；

　　②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

　　③同弧或等弧所对的圆周角相等；

　　④半圆（或直径）所对的圆周角相等；

　　⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；

　　⑥两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；

　　⑦圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

　　二、与圆有关的位置关系

　　1、点与圆的位置关系

　　如果圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d，那么：

　　（1）点在圆外dr。

　　（2）点在圆上dr。

　　（3）点在圆内dr。

　　2、直线和圆的位置关系

　　设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离：

　　（1）直线和圆相离dr，直线与圆没有交点；

　　（2）直线和圆相切dr，直线与圆有唯一交点；

　　（3）直线和圆相交dr，直线与圆有两个交点。

　　3、圆的切线

　　（1）定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点。

　　（2）切线的判定定理，经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。

　　（3）切线的性质定理及推论。

　　定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论：

　　①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；

　　②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

　　4、两圆的位置关系

　　设R、r为两圆的半径，d为圆心距

　　（1）两圆外离dR+r；

　　（2）两圆外切dR+r；

　　（3）两圆相交R。

　　（4）两圆内切d。

　　（5）两圆内含dr

　　（注意：如果为d=0，则两圆为同心圆。） R-r(R>r)。

　　5、两圆连心线的性质

　　（1）相交两圆的连心线，垂直平分公共弦，且平分两条外公切线所夹的角。（注：平分两外公切线所夹的角，通过角平分线的判定“到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上”，很易证明。）

　　（2）相切两圆的连心线必经过切点。

　　（3）相离两圆的连心线平分内公切线的夹角和外公切线的夹角。

　　6、两圆公切线的性质

　　（1）如果两圆有两条外公切线，则两外公切线长相等。

　　（2）如果两圆有两条内公切线，则两内公切线长相等。

　　7、与圆有关的比例线段问题的一般思考方法

　　（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；

　　（2）找相似三角形，当证明有关线段的比例式或等积式不能直接运用基本定理推导时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。

　　8、与圆相关的常用辅助线

　　（1）有弦，可作弦心距；

　　（2）有直径，可作直径所对的圆周角；

　　（3）有切点，可作过切点的半径；

　　（4）两圆相交，可作公共弦；

　　（5）两圆相切，可作公切线；

　　（6）有半圆，可作整圆。

　　记忆口诀：有弦可作弦心距，中心圆心相连；两圆相切公切线，两圆相交公共弦；遇到切点作半径，圆与圆心连心；遇到直径相直角，直角相对点共圆。（注：“心连心”为连心线。）

　　9、圆外切三角形和四边形的性质

　　（1）如右图，△ABC是⊙O的外切三角形，D、E、F为切点，则AD=AF=AB+AC-BD。

　　同理：直角三角形内切圆半径R=a+b-c。（其中a、b为直角边，c为斜边）

　　（2）圆外切四边形两组对边和相等，即如右图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，则 AB+CD＝AD+BC。

　　三、圆中的计算问题

　　1、圆的有关计算

　　（1）圆周长：c=2pR。

　　（2）弧长：l=npR； 1802。

　　（3）圆面积：S=pR；1npR2。

　　（4）扇形面积：S扇形＝lR=；2360。

　　（5）弓形面积：S弓形＝S扇形±SD。

　　2、圆柱

　　圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面周长c，宽是圆柱的母线长l，如果圆柱的底面半径是r，则S圆柱侧＝cl=2prl。

　　3、圆锥

　　圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长c，半径等于圆锥母线长l，若圆锥的底面半径为r，这个扇形的圆心角为a，则a=r1360，S圆锥侧＝cl=prl。

　　数学圆知识点总结

　　1、圆是定点的距离等于定长的点的集合

　　2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

　　3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

　　4、同圆或等圆的半径相等

　　5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

　　6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线

　　7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

　　8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

　　9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

　　10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

　　11、推论1：

　　①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

　　②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

　　③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

　　12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等

　　13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

　　14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

　　15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

　　16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

　　17、推论：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

　　18、推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径

　　19、推论：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

　　20、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

　　①直线L和⊙O相交d﹤r

　　②直线L和⊙O相切d=r

　　③直线L和⊙O相离d﹥r

　　21、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

　　22、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径

　　23、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

　　24、推论：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

　　25、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

　　26、圆的外切四边形的两组对边的和相等

　　27、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

　　28、推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

　　数学常用解题技巧

　　第一，应坚持由易到难的做题顺序。近年来高考数学试题的设置是8道选择题、6道填空题、6到大题，通常称为866结构。在实体设置的结构中有三个小高峰，选择题是由易到难，最难的题是第8题。填空题同样是这样设置的。也是第9题容易到第14题最难，大题从第15题到第20题，它们的设置也是这样的。根据这样的试题结构，应先做前面容易的，基础好一点的考生就先做前7个选择，前5个填空、前5个大题，称为是755结构。基础差的就是644，先把自己能做的、会做的拿到手。这是第一点。

　　第二，审题是关键。把题给看清楚了再动笔答题，看清楚题以后问什么、已知什么、让你做什么，把这些问题搞清楚了，自己制订了一个完整的解题策略，在开始写的时候，这个时候是很快就可以完成的。

　　第三，属于非智力因素导致想不起来。本来是很简单的题比如说是做到第三题、第四题的时候不是难题，但想不起来了，卡住了，这时候怎么办?虽然是简单题却不会做怎么办?应先跳过去，不是这道题不会做吗?后面还有很多的简单题呢，把后面的题做一做，不要在考场上愣神，先跳过去做其他的题，等稳定下来以后再回过头来看会顿悟，豁然开朗。

　　第四，做选择题的时候应运用最好的解题方法。因为选择题和填空题都是看结果不看过程，因此在这个过程中都应不择手段，只要是能把正确的结论找到就行。考生常用的方法是直接法，从已知的开始也不看它的四个选项，从头到尾写完了之后一看答案就写上去了。另外就是特质法(音)，一些出现字母、特别是不等式，这时候给它赋一个值，代进去这时候速度会比较快，正确地找出结果来。再就是数形结合法。最后实在不行了，就将四个选项代入验证，看看哪个符合就是哪个了。填空题用上述的直接法、特质法、数形结合法三种方法都适合。做大题的时候要特别注意解题步骤，规范答题可以减少失分。简单地说，规范答题就是从上一步的原因到下一步的结论，这是一个必然的过程，让谁写、谁看都是这样的。因为什么所以什么是一个必然的过程，这是规范答题。

　　学霸分享的数学复习技巧

　　1、把答案盖住看例题

　　例题不能带着答案去看，不然会认为自己就是这么，其实自己并没有理解透彻。

　　所以，在看例题时，把解答盖住，自己去做，做完或做不出时再去看。这时要想一想，自己做的哪里与解答不同，哪里没想到，该注意什么，哪一种方法更好，还有没有另外的解法。

　　经过上面的训练，自己的思维空间扩展了，看问题也全面了。如果把题目彻底搞清了，在题后精炼几个批注，说明此题的“题眼”及巧妙之处，收获会更大。

　　2、研究每题都考什么

　　数学能力的提高离不开做题，“熟能生巧”这个简单的道理大家都懂。但做题不是搞题海战术，而是要通过一题联想到很多题。

　　3、错一次反思一次

　　每次业及考试或多或少会发生些错误，这并不可怕，要紧的是避免类似的错误再次重现。因此平时注意把错题记下来。

　　学生若能将每次考试或练习中出现的错误记录下来分析，并尽力保证在下次考试时不发生同样错误，那么以后人生中最重要的高考也就能避免犯错了

　　4、分析试卷总结经验

　　每次考试结束试卷发下来，要认真分析得失，总结经验教训。特别是将试卷中出现的错误进行分类。

　　数学解题方法

　　1、配方法

　　所谓的公式是使用变换解析方程的同构方法，并将其中的一些分配给一个或多个多项式正整数幂的和形式。通过配方解决数学问题的公式。其中，用的最多的是配成完全平方式。匹配方法是数学中不断变形的重要方法，其应用非常广泛，在分解，简化根，它通常用于求解方程，证明方程和不等式，找到函数的极值和解析表达式。

　　2、因式分解法

　　因式分解是将多项式转换为几个积分产品的乘积。分解是恒定变形的基础。除了引入中学教科书中介绍的公因子法，公式法，群体分解法，交叉乘法法等外，还有很多方法可以进行因式分解。还有一些项目，如拆除物品的使用，根分解，替换，未确定的系数等等。

　　3、换元法

　　替代方法是数学中一个非常重要和广泛使用的解决问题的方法。我们通常称未知或变元。用新的参数替换原始公式的一部分或重新构建原始公式可以更简单，更容易解决。

　　4、判别式法与韦达定理

　　一元二次方程 ax2+ bx+ c=0( a、 b、 c属于 R， a≠0)根的判别， = b2-4 ac，不仅用来确定根的性质，还作为一个问题解决方法，代数变形，求解方程(组)，求解不等式，研究函数，甚至几何以及三角函数都有非常广泛的应用。

　　韦达定理除了知道二次方程的根外，还找到另一根;考虑到两个数的和和乘积的简单应用并寻找这两个数，也可以找到根的对称函数并量化二次方程根的符号。求解对称方程并解决一些与二次曲线有关的问题等，具有非常广泛的应用。

　　5、待定系数法

　　在解决数学问题时，如果我们首先判断我们所寻找的结果具有一定的形式，其中包含某些未决的系数，然后根据问题的条件列出未确定系数的方程，最后找到未确定系数的值或这些待定系数之间的关系。为了解决数学问题，这种问题解决方法被称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

　　6、构造法

　　在解决问题时，我们通常通过分析条件和结论来使用这些方法来构建辅助元素。它可以是一个图表，一个方程(组)，一个方程，一个函数，一个等价的命题等，架起连接条件和结论的桥梁。为了解决这个问题，这种解决问题的数学方法，我们称之为构造方法。运用结构方法解决问题可以使代数，三角形，几何等数学知识相互渗透，有助于解决问题。

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