数学思想与方法练习题

　　特殊与一般的数学思想：对于在一般情况下难以求解的问题，可运用特殊化思想，通过取特殊值、特殊图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一般，从而使问题顺利求解。以下是数学思想与方法练习题，欢迎阅读。

数学思想与方法练习题

　　一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

　　1．若a＞b＞1，P＝lg alg b，Q＝12(lg a＋lg b)，R＝lga＋b2，则

　　A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R

　　C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q

　　【解析】取a＝100，b＝10，

　　此时P＝2，Q＝32＝lg1 000，R＝lg 55＝lg 3 025，比较可知P＜Q＜R.

　　【答案】 B

　　2．(2010龙岩模拟)设(3x＋1)25＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a25x25，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋…－|a25|等于

　　A．225 B．－225

　　C．425 D．－425

　　【解析】 (3x＋1)25＝(1＋3x)25展开式中项的系数都为正，故|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋…－|a25|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a25，所以只须令x＝－1即可．

　　【答案】 B

　　3．(2010泉州模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC→＝αOA→＋βOB→，其中α，β∈R，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为

　　A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－2)2＝5

　　C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0

　　【解析】通过向量的坐标运算把OC→＝αOA→＋βOB→转化为

　　消去α得x＋2y－5＝0.

　　【答案】 D

　　4．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x＝t截这个三角形位于此直线左方的图形面积(见图中阴影部分)为y，则函数y＝f(t)的大致图象为

　　C. D.

　　【解析】当t＝1时，面积为32，故排除A、B，当t＞1时，随t增大，面积增大越来越慢．

　　【答案】 D

　　5．(2010芜湖质检)4枝牡丹花与5枝月季花的价格之和小于22元，而6枝牡丹花与3枝月季花的价格之和大于24元，则2枝牡丹花和3枝月季花的价格比较结果是

　　A．2枝牡丹花贵 B．3枝月季花贵

　　C．相同 D．不确定

　　【解析】由已知设牡丹花一枝x元，月季花一枝y元，则

　　作出可行域和目标函数t＝2x－3y，可求得2x－3y＞0，故选A.

　　体现了实际问题与数学理论的转化．

　　【答案】 A

　　6．(2010聊城模拟)设x∈R，如果a＜lg(|x－3|＋|x＋7|)恒成立，那么

　　A．a≥1 B．a＞1

　　C．0＜a≤1 D．a＜1

　　【解析】要使不等式恒成立，只须求lg(|x－3|＋|x＋7|)的最小值．

　　∵y＝lg(|x－3|＋|x＋7|)为增函数，且|x－3|＋|x＋7|的最小值为10，

　　∴ymin＝lg 10＝1，∴a小于y的最小值．

　　【答案】 D

　　7．如果实数x，y满足x2＋y2＝1，那么(1－xy)(1＋xy)有

　　A．最小值12和最大值1 B．最小值34而无最大值

　　C．最大值1而无最小值 D．最大值1和最小值34

　　【解析】 ∵(1－xy)(1＋xy)＝1－x2y2，

　　∴当x＝0或y＝0时，有最大值1，而x2＋y2≥2xy，

　　∴x2y2≤14，∴当x2＝y2＝12时，1－x2y2取得最小值34.

　　【答案】 D

　　8．(2010三明模拟)已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为

　　A.14，－1 B.14，1

　　C．(1,2) D．(1，－2)

　　【解析】依题意，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，

　　设P到准线的距离为d，则由抛物线的定义知：|PF|＋|PQ|＝d＋|PQ|.

　　如图，当PQ∥x轴时， |PF|＋|PQ|最小，此时P14，－1，故选A.

　　【答案】 A

　　9．不等式x2－logax＜0当x∈0，12时恒成立，则a的取值范围是

　　A.116≤a＜1 B.116＜a＜1

　　C．0＜a≤116 D．0＜a＜116

　　【解析】构造函数y＝x2与y＝logax，x2－logax＜0，

　　当x∈0，12时恒成立，

　　即当x∈0，12时，y＝x2的图象在y＝logax图象的下方，

　　所以首先a＜1.

　　当a＜1时，如图，当x＝12时，y＝14即14＝loga12，

　　∴a＝116，当y＝logax图象绕点(1,0)顺时针旋转时a增大，∴116≤a＜1.

　　【答案】 A

　　10．(2010杭州模拟)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有

　　A．x＋y≥0 B．x＋y≤0

　　C．x－y≤0 D．x－y≥0

　　【解析】把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数，所以有x≤－y，故选B.

　　【答案】 B

　　11．(2010信阳模拟)已知函数f(x)＝13x，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，则an的最小值为

　　A．－1 B．1

　　C. 23 D．－23

　　【解析】 a1＝f(1)－c＝13－c，a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29，

　　a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227.又数列{an}成等比数列，

　　所以a1＝a22a3＝481－227＝－23＝13－c，

　　所以c＝1；

　　又公比q＝a2a1＝13，

　　所以an＝－2313n－1＝－213n，n∈N*，

　　因此，数列{an}是递增数列，n＝1时，an最小，为－23，选D.

　　【答案】 D

　　12．(2010福建质检)已知函数f(x)＝1－1－x2，x∈[0,1]，对于满足0＜x1＜x2＜1的任意x1，x2，给出下列结论：

　　①(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＜0；

　　②f(x2)－f(x1)＞x2－x1；

　　③f(x1)＋f(x2)2＞fx1＋x22.

　　其中正确结论的序号是

　　A．① B．②

　　C．③ D．①③

　　【解析】函数f(x)＝1－1－x2，x∈[0,1]的图象如图所示，

　　结论①可等价为，

　　即f(x)在x∈[0,1]上是单调递减函数，

　　结合图象可知，结论①错误；

　　结论②可变形为f(x2)－f(x1)x2－x1＞1，

　　不等式左端的几何意义是图象上任意两点连线的斜率，由图象知斜率不都大于1，结论②错误；

　　对于结论③，观察图象可知，

　　满足f(x1)＋f(x2)2＞fx1＋x22，

　　所以结论③正确．

　　【答案】 C

　　二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共计16分．把答案填在题中的横线上)

　　13．(2009山东)若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．

　　【解析】设函数y＝ax(a＞0且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点．由图象可知，当0＜a＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a＞1.

　　【答案】 a＞1

　　14．(2010天水模拟)若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围是________．

　　【解析】分离变量a＝－22x－12x＋1＝－(2x＋1)－22x＋1＋2≤－22＋2.

　　【答案】 a∈(－∞，2－22]

　　15．(2010珠海模拟)已知f(t)＝log2t，t∈[2，8]，对于f(t)值域内的'所有实数m，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立，则x的取值范围是________．

　　【解析】 ∵t∈[2，8]，∴f(t)∈12，3，

　　原题转化为m(x－2)＋(x－2)2＞0恒成立，

　　当x＝2时，不等式不成立，

　　∴x≠2.

　　令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈12，3，

　　问题转化为g(m)在m∈12，3上恒大于0，则

　　解得x＞2或x＜－1.

　　【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)

　　16．直线y＝k(x＋1)＋1(k∈R)与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点，且椭圆焦点在x轴上，则m的取值范围是________．

　　【解析】由椭圆焦点在x轴上，求出m的一个范围，由直线与椭圆恒有公共点求出m的另一范围．

　　由焦点在x轴上，故m＜5.

　　又直线过定点B(－1,1)，此点应在椭圆内部或边界上，

　　所以有(－1)25＋1m≤1，

　　又m＞0，∴m≥54.

　　【答案】 54，5

　　三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

　　17．(12分)已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C：x2＋y2＝1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么样的曲线．

　　【解析】设M(x，y)，M到圆的切线长为|MT|，则|MT|＝x2＋y2－1，

　　则|MT|＝λ|MQ|，得x2＋y2－1＝λ(x－2)2＋y2

　　两边平方整理得(λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(4λ2＋1)＝0

　　当λ＝1时，表示直线x＝54.

　　当λ≠1时，方程为x－2λ2λ2－12＋y2＝1＋3λ2(λ2－1)2，

　　M点的轨迹是以点2λ2λ2－1，0为圆心，1＋3λ2|λ2－1|为半径的圆．

　　【答案】 (λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(4λ2＋1)＝0 略

　　18．(12分)(2010陕西)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下： (1)估计该校男生的人数；

　　(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；

　　(3)从样本中身高在165～180 cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170～180 cm之间的概率．

　　【解析】 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.

　　(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝3570＝0.5，故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率p＝0.5.

　　(3)样本中女生身高在165～180 cm之间的人数为10，身高在170～180 cm之间的人数为4.

　　设A表示事件“从样本中身高在165～180 cm之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170～180 cm之间”，

　　则P(A)＝1－C26C210＝23或P(A)＝C16C14＋C24C210＝23.

　　【答案】 (1)400 (2)0.5 (3)23

　　19．(12分)(2010云南曲靖一中模拟)已知a、b、c均为正整数，且a≠1，等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，且a＜b，b2＜a3，在数列{an}和{bn}中各存在一项am与bn，使得am＋1＝bn，又cn＝an－143log2b2n＋13.

　　(1)求a、b的值；

　　(2)求数列{cn}中的最小项，并说明理由．

　　【解析】 (1)由b2＜a3，得ab＜a＋2b，

　　∵1＜a＜b，∴ab＜3b，则1＜a＜3.

　　又a为正整数，∴a＝2.

　　∵am＋1＝bn，∴2＋(m－1)b＋1＝b2n－1，

　　∴b＝32n－1－m＋1.

　　∵b∈N*，∴2n－1－m＋1＝1，故b＝3.

　　(2)∵an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，

　　b2n＋1＝3×22n，

　　∴cn＝3n－153log222n＝2n(n－5)＝2n2－10n，

　　∴当n＝2或n＝3时，cn取得最小值－12.

　　故数列{cn}中的最小项为c2或c3.

　　【答案】 (1)a＝2 b＝3 (2)最小项为c2或c3 理由略

　　20．(12分)某隧道长a(米)，最高限速为v0(米/秒)．已知一个匀速行驶的车队有10辆车，每辆车长为l米，相邻两车之间距离m(米)与车速v(米/秒)的平方成正比，比例系数为k.设自第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾离开隧道时所用时间为t秒．

　　(1)求函数t＝f(v)的解析式，并写出其定义域；

　　(2)求车队通过隧道的时间t的最小值，并求出t取得最小值时v的大小．

　　【解析】 (1)依题意有：

　　t＝f(v)＝a＋10l＋9kv2v(0＜v≤v0)．

　　(2)t＝f(v)＝a＋10lv＋9kv≥2 9k(a＋10l).

　　当且仅当a＋10lv＝9kv，

　　即v＝ a＋10l9k时等号成立．

　　①当 a＋10l9k≤v0，v＝ a＋10l9k时，tmin＝6 k(a＋10l).

　　②当 a＋10l9k＞v0时，

　　f(v0)－f(v)＝a＋10lv0＋9kv0－a＋10lv＋9kv

　　＝9k(v－v0)vv0a＋10l9k－v0v.

　　∵v≤v0，∴v0v≤v20＜a＋10l9k，

　　∴f(v0)－f(v)≤0.

　　当v＝v0时，tmin＝a＋10lv0＋9kv0.

　　【答案】 (1)t＝f(v)＝a＋10l＋9kv2v(0＜v≤v0)

　　(2)当 a＋10l9k≤v0时，tmin＝6 k(a＋10l)，此时v＝ a＋10l9k.

　　当 a＋10l9k＞v0时，tmin＝a＋10lv0＋9kv0，此时v＝v0

　　21．(12分)(2010东北四校联考)已知13≤a≤1，若函数f(x)＝ax2－2x＋1，在[1,3]上最大值为M(a)，最小值为m(a)，令g(a)＝M(a)－m(a)．

　　(1)求g(a)的函数表达式；

　　(2)求函数g(a)的最小值．

　　【解析】 (1)∵f(x)＝ax－1a2＋1－1a，

　　∴函数f(x)的对称轴为直线x＝1a.

　　∵x∈[1,3]且13≤a≤1，即1≤1a≤3.

　　则①当1≤1a≤2即12≤a≤1，x＝1a时，f(x)有最小值．

　　m(a)＝f 1a＝1－1a；

　　当x＝3时，f(x)有最大值，

　　即M(a)＝f(3)＝9a－5.

　　∴g(a)＝M(a)－m(a)＝9a＋1a－6.

　　②当2＜1a≤3即13≤a＜12时，x＝1a时，

　　f(x)有最小值，f(x)min＝m(a)＝1－1a，

　　当x＝1时，f(x)max＝M(a)＝a－1

　　∴g(a)＝M(a)－m(a)＝a＋1a－2

　　综上，g(a)＝

　　(2)当12≤a≤1时，g(a)在12，1上是增函数，

　　即g(a)min＝g12＝12.

　　当13≤a≤12时，g(a)在13，12上是减函数，

　　即g(a)min＝g12＝12＋2－2＝12.故g(a)min＝12.

　　【答案】 (1)g(a)＝

　　(2)g(a)min＝12

　　22．(14分) (2010湛江模拟)已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a＞0)．

　　(1)当a＝1时，曲线y＝f(x)上P点处的切线与直线x－3y－2＝0垂直，求P点的坐标；

　　(2)求函数f(x)的单调区间．

　　【解析】 (1)∵直线x－3y－2＝0的斜率为13，

　　∴切线的斜率为－3.

　　由f(x)＝x3＋3|x－1|得：

　　当x≥1时，f(x)＝x3＋3x－3，f′(x)＝3x2＋3＝－3不成立，∴切线不存在；

　　当x＜1时，f(x)＝x3－3x＋3，f′(x)＝3x2－3＝－3，∴x＝0，∴P点的坐标为(0,3)．

　　(2)当x≥a时，f(x)＝x3＋3x－3a，f′(x)＝3x2＋3＞0，

　　∴f(x)单调递增．

　　当x＜a时，f(x)＝x3－3x＋3a，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，

　　若0＜a≤1，f′(x)＝0时，x＝－1；f′(x)＞0时，x＜－1；

　　f′(x)＜0时，－1＜x＜a；

　　若a＞1，f′(x)＝0时，x＝±1；f′(x)＞0时，x＜－1或1＜x＜a；

　　f′(x)＜0时，－1＜x＜1.

　　综上可得：当0＜a≤1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(a，＋∞)，单调递减区间为(－1，a)；

　　当a＞1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1)．

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数学思想方法06-26