高二数学期末考试题2016
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.
13.抛物线x2=4y的焦点坐标为 (0，1) .
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标.
【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴
∴抛物线x2=4y的焦点坐标为(0，1)
故答案为：(0，1)
14.已知命题p：∃x0∈R，3 =5，则￢p为 ∀x∈R，3x≠5 .
【考点】命题的否定.
【分析】由特称命题的否定方法可得结论.
【解答】解：由特称命题的否定可知：
￢p：∀x∈R，3x≠5，
故答案为：∀x∈R，3x≠5.
15.已知曲线f(x)=xex在点P(x0，f(x0))处的切线与直线y=x+1平行，则点P的坐标为 (0，0) .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出f(x)的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得x0为x+1=e﹣x的解，运用单调性可得方程的解，进而得到P的坐标.
【解答】解：f(x)=xex的导数为f′(x)=(x+1)ex，
可得切线的斜率为(x0+1)ex0，
由切线与直线y=x+1平行，可得
(x0+1)ex0=1，
即有x0为x+1=e﹣x的解，
由y=x+1﹣e﹣x，在R上递增，且x=0时，y=0.
即有x0=0，
则P的坐标为(0，0).
故答案为：(0，0).
16.已知f(x)=ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0，且x0<0，则实数a的取值范围是 (﹣∞，﹣2) .
【考点】利用导数研究函数的极值;函数零点的判定定理.
【分析】讨论a的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求解即可.
【解答】解：(i)当a=0时，f(x)=﹣3x2+1，令f(x)=0，解得x= ，函数f(x)有两个零点，舍去.
(ii)当a≠0时，f′(x)=3ax2+6x=3ax(x+ )，令f′(x)=0，解得x=0或﹣ .
①当a<0时，﹣ >0，当x>﹣ 或x<0，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减;当00，此时函数f(x)单调递增.
∴故x=﹣ 是函数f(x)的极大值点，0是函数f(x)的极小值点.
∵函数f(x)=ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0，且x0<0，则f(﹣ )=﹣ + ﹣1= ﹣1<0，
即a2>4得a>2(舍)或a<﹣2.
②当a>0时，﹣ <0，当x<﹣ 或x>0时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增;
当﹣
∴x=﹣ 是函数f(x)的极大值点，0是函数f(x)的极小值点.
∵f(0)=﹣1<0，
∴函数f(x)在(0，+∞)上存在一个零点，此时不满足条件.
综上可得：实数a的取值范围是(﹣∞，﹣2).
故答案为：(﹣∞，﹣2).
三、解答题：本大题共7小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知命题p：函数y=kx是增函数，q：方程 +y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∧(￢q)为真命题，求实数k的取值范围.
【考点】复合命题的真假.
【分析】命题p：函数y=kx是增函数，利用一次函数的单调性可得k>0.命题q：方程 +y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，可得k>1.由于p∧(￢q)为真命题，可得p为真命题，q为假命题.即可得出.
【解答】解：命题p：函数y=kx是增函数，∴k>0.
命题q：方程 +y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴k>1.
∵p∧(￢q)为真命题，∴p为真命题，q为假命题.
∴ ，解得0
∴实数k的取值范围是0
18.已知函数f(x)=2x3﹣6x2+m在[﹣2，2]上的最大值为3，求f(x)在[﹣2，2]上的最小值.
【考点】二次函数的性质.
【分析】求导并判断导数的正负，从而确定单调区间;由最大值建立方程求出m的值，进而求出最小值.
【解答】解：f′(x)=6x2﹣12x，令f′(x)=0，则x=0或x=2，
x (﹣∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞)
f(x) 正 0 负 0 正
f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增
∴f(x)在[﹣2，0]上单调递增，在(0，2]上单调递减，
∴f(x)max=f(0)=m=3，
即f(x)=2x3﹣6x2+3，
又∵f(﹣2)=﹣37，f(2)=﹣5，
∴f(x)min=f(﹣2)=﹣37.
19.已知点P(1，﹣2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上.
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)若过抛物线C焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(1)根据点P(1，﹣2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，可得p值，即可求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)设直线l的方程为：x+my﹣1=0，代入y2=4x，整理得，y2+4my﹣4=0，利用韦达定理和抛物线的定义知|AB|=4(m2+1)≥4，由此能求出|AB|的最小值.
【解答】解：∵点P(1，﹣2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，
∴2p=4，解得：p=2，
∴抛物线C的方程为y2=4x，准线方程为x=﹣1;
(2)设直线l的方程为：x+my﹣1=0，
代入y2=4x，整理得，y2+4my﹣4=0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1，y2是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y1+y2=﹣4m
根据抛物线的定义知：|AB|=x1+x2+2=(1﹣my1)+(1﹣my2)=4(m2+1)
∴|AB|=4(m2+1)≥4，
当且仅当m=0时，|AB|有最小值4.
20.已知函数f(x)=x﹣ ﹣2alnx(a∈R).
(1)若函数f(x)在x= 处取得极值，求实数a的值;
(2)求证：当a≤1时，不等式f(x)≥0在[1，+∞)恒成立.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)求出函数的导数，根据f′( )=0，解出验证即可;(2)求出函数的导数，通过a的范围，确定导函数的符号，求出函数f(x)的单调性，从而判断f(x)的范围.
【解答】解：(1)f(x)的定义域是(0，+∞)，
f′(x)=1+ ﹣ ，
∴f′( )=1+4(2a﹣1)﹣4a=0，解得：a= ，
∴a= 时，f′(x)= ，
∴f(x)在(0， )递增，在( ，1)递减，
f(x)在x= 处取得极值，
故a= 符合题意;
(2)f′(x)=1+ ﹣ = ，
当a≤1时，则2a﹣1≤1，
∴f′(x)>0在(1，+∞)恒成立，
函数f(x)递增，
∴f(x)≥f(1)=2(1﹣a)≥0.
21.已知函数f(x)=x﹣ ﹣2alnx(a∈R).
(1)若函数f(x)在x= 处取得极值，求实数a的值;
(2)若不等式f(x)≥0在[1，+∞)恒成立，求实数a的取值范围.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)求出函数的导数，根据f′( )=0，解出验证即可;
(2)依题意有：fmin(x，)≥0从而求出f(x)的导数，令f′(x)=0，得：x1=2a﹣1，x2=1，通过讨论①当2a﹣1≤1即a≤1时②当2a﹣1>1即a>1时，进而求出a的范围
【解答】解：(1)f(x)的定义域是(0，+∞)，
f′(x)=1+ ﹣ ，
∴f′( )=1+4(2a﹣1)﹣4a=0，解得：a= ，
∴a= 时，f′(x)= ，
∴f(x)在(0， )递增，在( ，1)递减，
f(x)在x= 处取得极值，
故a= 符合题意;
(2)依题意有：fmin(x，)≥0
f′(x)= ，
令f′(x)=0，
得：x1=2a﹣1，x2=1，
①当2a﹣1≤1即a≤1时，
函数f'(x)≥0在[1，+∞)恒成立，
则f(x)在[1，+∞)单调递增，
于是fmin(x)=f(1)=2﹣2a≥0，
解得：a≤1;
②当2a﹣1>1即a>1时，
函数f(x)在[1，2a﹣1]单调递减，在[2a﹣1，+∞)单调递增，
于是fmin(x)=f(2a﹣1)
综上所述：实数a的取值范围是a≤1.
22.已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率e= ，点P(﹣ ，1)在该椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)根据离心率公式和点满足椭圆方程，结合b2=a2﹣c2，即可求得椭圆C的方程;
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1≠y2，BA的中点(x0，y0)，直线y=kx+1且k≠0，恒过(0，1)，点B，A在椭圆上，化简可得y0= =﹣1，AB的中点在y=kx+1上，解得x0，利用 ，可得x=± ，推出k的不等式，得到结果.
【解答】解：(1)由已知e= = ，即c2= a2，b2=a2﹣c2= a2，
将P(﹣ ，1)代入椭圆方程，可得 + =1，
∴a=2，b= ，∴a2=4，∴b2=2，
∴椭圆C的方程为： + =1;
(2)椭圆C上存在点B，A关于直线y=kx+1对称，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1≠y2
AB的中点(x0，y0)，直线y=kx+1且k≠0，恒过(0，1)，
则x12+(y1﹣1)2=x22+(y2﹣1)2，
点B，A在椭圆上，
∴x12=4﹣2y12，x22=4﹣2y22，∴4﹣2y12+(y1﹣1)2=4﹣2y22+(y2﹣1)2，
化简可得：y12﹣y22=﹣2(y1﹣y2)，即y1+y2=﹣2，
∴y0= =﹣1，
又因为AB的中点在y=kx+1上，所以y0=kx0+1，x0=﹣ ，
由 ，可得x=± ，
∴0<﹣ < ，或﹣ <﹣ <0，
即k<﹣ 或k> .
则k的取值范围是(﹣∞，﹣ )∪( ，+∞).
23.已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率e= ，原点到直线 + =1的距离为 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)根据离心率公式和点到直线的距离公式，结合b2=a2﹣c2，即可求得椭圆C的方程;
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1≠y2，BA的中点(x0，y0)，直线y=kx+1且k≠0，恒过(0，1)，点B，A在椭圆上，化简可得y0= =﹣1，AB的中点在y=kx+1上，解得x0，利用 ，可得x=± ，推出k的不等式，得到结果.
【解答】解：(1)由已知e= = ，即c2= a2，b2=a2﹣c2= a2，
原点到直线 + =1的距离为 ，
即有 = ，
∴a=2，b= ，∴a2=4，∴b2=2，
∴椭圆C的方程为： + =1;
(2)椭圆C上存在点B，A关于直线y=kx+1对称，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1≠y2
AB的中点(x0，y0)，直线y=kx+1且k≠0，恒过(0，1)，
则x12+(y1﹣1)2=x22+(y2﹣1)2，
点B，A在椭圆上，
∴x12=4﹣2y12，x22=4﹣2y22，∴4﹣2y12+(y1﹣1)2=4﹣2y22+(y2﹣1)2，
化简可得：y12﹣y22=﹣2(y1﹣y2)，即y1+y2=﹣2，
∴y0= =﹣1，
又因为AB的中点在y=kx+1上，所以y0=kx0+1，x0=﹣ ，
由 ，可得x=± ，
∴0<﹣ < ，或﹣ <﹣ <0，
即k<﹣ 或k> .
则k的取值范围是(﹣∞，﹣ )∪( ，+∞)
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