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届青岛市平度市高考文科数学模拟试卷及答案

时间:2021-06-08 14:55:23 高考备考 我要投稿

2018届青岛市平度市高考文科数学模拟试卷及答案

  数学一直都是许多文科生很头疼的一门学科,但学好数学可以通过多做模拟试卷来提高,以下是百分网小编为你整理的2018届青岛市平度市高考文科数学模拟试卷,希望能帮到你。

2018届青岛市平度市高考文科数学模拟试卷及答案

  2018届青岛市平度市高考文科数学模拟试卷题目

  一、选择题:(本题共10个小题,每小题5分,共50分,在四个选项中,只有一项是符合要求的)

  1.已知集合M={x|x2﹣4x<0},N={x||x|≤2},则M∪N=(  )

  A.(﹣2,4) B.[﹣2,4) C.(0,2) D.(0,2]

  2.在复平面内,复数z= ﹣2i3(i为虚数单位)表示的点位于(  )

  A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

  3.命题p:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=loga(x﹣1)的图象过点(2,0),命题q:∃x∈N,x3

  A.p假q假 B.p真q假 C.p假q真 D.p真q真

  4.如图中的三个直角三角形是一个体积为35cm3的几何体的三视图,则侧视图中的h(  )

  A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm

  5.已知x,y满足 ,且z=2x+y的最大值是最小值的4倍,则a的值是(  )

  A.4 B. C. D.

  6.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=60°,a= ,b+c=3,则△ABC的面积为(  )

  A. B. C. D.2

  7.将函数f(x)= cos(πx)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把图象上所有的点向右平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的单调区间是(  )

  A.[4k+1,4k+3](k∈Z) B.[2k+1,2k+3](k∈Z) C.[2k+1,2k+2](k∈Z) D.[2k﹣1,2k+2](k∈Z)

  8.若直线2mx﹣ny﹣2=0(m>0,n>0)过点(1,﹣2),则 + 最小值(  )

  A.2 B.6 C.12 D.3+2

  9.已知函数f(x)= x2+cosx,f′(x)是函数f(x)的导函数,则f′(x)的图象大致是(  )

  A. B. C. D.

  10.点F为双曲线C: ﹣ =1(a,b>0)的焦点,过点F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A,与另一条渐近线交于点B.若3 + =0,则双曲线C的离心率是(  )

  A. B. C. D.

  二、填空题:(本题共5个小题,每小题5分,共25分.把每小题的答案填在答题纸的相应位置)

  11.在△ABC中,若b=1,c= ,∠C= ,则a=  .

  12.已知实数x,y满足不等式组 ,则2x+y的最大值为  .

  13.双曲线 的离心率为2,则双曲线的焦点到渐近线的距离是  .

  14.已知长方形ABCD中,AB=4,BC=1,M为AB的中点,则在此长方形内随机取一点P,P与M的距离小于1的概率为  .

  15.给出下列四个命题:

  ①命题“∀x∈R,x2>0”的否定是“∃x∈R,x2≤0”;

  ②函数y=f(x)的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),其图象上任一点P(x,y)满足x2﹣y2=1,则函数y=f(x)可能是奇函数;

  ③若a,b∈[0,1],则不等式a2+b2< 成立的概率是

  ④函数y=log2(x2﹣ax+2)在[2,+∞)恒为正,则 实数a的取值范围是(﹣∞, ).

  其中真命题的序号是  .(请填上所有真命题的序号)

  三、解答题(共6个题,共75分,把每题的答案填在答卷纸的相应位置)

  16.植树节期间我市组织义工参加植树活动,为方便安排任务将所有义工按年龄分组:第l组[25,30),第2组[30,35),第3组[35,40),第4组[40,45),第5组[45,50],得到的部分频率分布表如下:

  区间 人数 频率

  第1组 [25,30) 50 0.1

  第2组 [30,35) 50 0.1

  第3组 [35,40) a 0.4

  第4组 [40,45) 150 b

  (1)求a,b的值;

  (2)现在要从年龄较小的第l,2,3组中用分层抽样的方法随机抽取6人担任联系人,在第l,2,3组抽取的义工的人数分别是多少?

  (3)在(2)的条件下,从这6人中随机抽取2人担任本次活动的宣传员,求至少有1人年龄在第3组的概率.

  17.现有A,B,C三种产品需要检测,产品数量如表所示:

  产品 A B C

  数量 240 240 360

  已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了7件.

  (I)求三种产品分别抽取的件数;

  (Ⅱ)已知抽取的A,B,C三种产品中,一等品分别有1件,2件,2件.现再从已抽取的A,B,C三种产品中各抽取1件,求3件产品都是一等品的概率.

  18.如图所示,正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E,F分别是BC,CC1的中点.

  (Ⅰ)证明:平面AEF⊥平面B1BCC1;

  (Ⅱ)若该三棱柱所有的棱长均为2,求三棱锥B1﹣AEF的体积.

  19.已知数列{an}中,a1=2,且 .

  (I)求证:数列{an﹣1}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式;

  (Ⅱ)设bn=n(an﹣1),数列{bn}的前n项和为Sn,求证:1≤Sn<4.

  20.已知椭圆C: ,离心率为 .

  (I)求椭圆C的标准方程;

  (Ⅱ)设椭圆C的`下顶点为A,直线l过定点 ,与椭圆交于两个不同的点M、N,且满足|AM|=|AN|.求直线l的方程.

  21.已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左焦点F1与抛物线y2=﹣4 x的焦点重合,过点F1的直线l交椭圆于A,B两点.当直线l经过椭圆C的一个短轴端点时,与以原点O为圆心,以椭圆的离心率e为半径的圆相切.

  (1)求椭圆C的方程;

  (2)是否在x轴上存在定点M,使 • 为定值?若存在,请求出定点M及定值;若不存在,请说明理由.

  2018届青岛市平度市高考文科数学模拟试卷答案

  一、选择题:(本题共10个小题,每小题5分,共50分,在四个选项中,只有一项是符合要求的)

  1.已知集合M={x|x2﹣4x<0},N={x||x|≤2},则M∪N=(  )

  A.(﹣2,4) B.[﹣2,4) C.(0,2) D.(0,2]

  【考点】1D:并集及其运算.

  【分析】先求出集合M,N,再根据并集的定义求出即可.

  【解答】解:集合M={x|x2﹣4x<0}=(0,4),N={x||x|≤2}=[﹣2.2].

  ∴M∪N=[﹣2,4),

  故选:B

  2.在复平面内,复数z= ﹣2i3(i为虚数单位)表示的点位于(  )

  A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

  【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.

  【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z,求出z在复平面内对应的点的坐标,则答案可求.

  【解答】解:∵z= ﹣2i3= ,

  ∴z在复平面内对应的点的坐标为:(1,3),位于第一象限.

  故选:A.

  3.命题p:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=loga(x﹣1)的图象过点(2,0),命题q:∃x∈N,x3

  A.p假q假 B.p真q假 C.p假q真 D.p真q真

  【考点】2K:命题的真假判断与应用;4N:对数函数的图象与性质.

  【分析】根据指数函数的单调性及幂函数图象和性质,分析命题p,q的真假,可得答案.

  【解答】解:当x=2时,loga(x﹣1)=loga1=0恒成立,

  故命题p:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=loga(x﹣1)的图象过点(2,0),为真命题;

  ∀x∈N,x3≥x2恒成立,故命题q:∃x∈N,x3

  故选:B

  4.如图中的三个直角三角形是一个体积为35cm3的几何体的三视图,则侧视图中的h(  )

  A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm

  【考点】L7:简单空间图形的三视图.

  【分析】由已知中的三视图得几何体是三棱锥,计算出底面面积,由锥体体积公式,即可求出高.

  【解答】解:由几何体的三视图得该几何体是三棱锥,

  其底面面积为S= ×5×6=15,高为h,

  所以该几何体的体积为

  S= Sh= ×15h=35,解得h=7(cm).

  故选:C.

  5.已知x,y满足 ,且z=2x+y的最大值是最小值的4倍,则a的值是(  )

  A.4 B. C. D.

  【考点】7C:简单线性规划.

  【分析】作出不等式组 对应的平面区域,利用z的几何意义,结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍,建立方程关系,即可得到结论.

  【解答】解:作出不等式组 对应的平面区域如图:

  由z=2x+y得y=﹣2x+z,

  平移直线y=﹣2x+z,

  由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,直线的截距最大,

  此时z最大,

  由 ,解得 即A(1,1),此时z=2×1+1=3,

  当直线y=﹣2x+z经过点B时,直线的截距最小,

  此时z最小,

  由 ,解得 ,

  即B(a,a),此时z=2×a+a=3a,

  ∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍,

  ∴3=4×3a,

  即a= .

  故选:D.

  6.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=60°,a= ,b+c=3,则△ABC的面积为(  )

  A. B. C. D.2

  【考点】HR:余弦定理;HP:正弦定理.

  【分析】由余弦定理可得:a2=(b+c)2﹣2bc﹣2bccosA,代入已知从而解得:bc的值,由三角形面积公式S△ABC= bcsinA即可求值.

  【解答】解:由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣2bc﹣2bccosA,

  ∴代入已知有:3=9﹣3bc,从而解得:bc=2,

  ∴S△ABC= bcsinA= = ,

  故选:B.

  7.将函数f(x)= cos(πx)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把图象上所有的点向右平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的单调区间是(  )

  A.[4k+1,4k+3](k∈Z) B.[2k+1,2k+3](k∈Z) C.[2k+1,2k+2](k∈Z) D.[2k﹣1,2k+2](k∈Z)

  【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

  【分析】根据图象的变换规则逐步得出函数解析式,利用正弦函数的单调性即可得解.

  【解答】解:∵将函数f(x)= cos(πx)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数解析式为:y= cos( πx);

  再把图象上所有的点向右平移1个单位长度,得到函数的解析式为:g(x)= cos[ π(x﹣1)];

  ∴可得: ,

  ∵由2k ≤ ≤2kπ+ ,k∈Z,解得:4k+1≤x≤4k+3,k∈Z,

  可得函数g(x)的单调递减区间是:[4k+1,4k+3],k∈Z,

  由2kπ﹣ ≤ ≤2k ,k∈Z,解得:4k﹣1≤x≤4k+1,k∈Z,

  可得函数g(x)的单调递增区间是:[4k﹣1,4k+1],k∈Z,

  对比各个选项,只有A正确.

  故选:A.

  8.若直线2mx﹣ny﹣2=0(m>0,n>0)过点(1,﹣2),则 + 最小值(  )

  A.2 B.6 C.12 D.3+2

  【考点】7G:基本不等式在最值问题中的应用.

  【分析】根据直线2mx﹣ny﹣2=0(m>0,n>0)过点(1,﹣2),建立m,n的关系,利用基本不等式即可求 + 的最小值.

  【解答】解:∵直线2mx﹣ny﹣2=0(m>0,n>0)过点(1,﹣2),

  ∴2m+2n﹣2=0,即m+n=1,

  ∵ + =( + )(m+n)=3+ + ≥3+2 ,

  当且仅当 = ,即n= m时取等号,

  ∴ + 的最小值为3+2 ,

  故选:D.

  9.已知函数f(x)= x2+cosx,f′(x)是函数f(x)的导函数,则f′(x)的图象大致是(  )

  A. B. C. D.

  【考点】3O:函数的图象.

  【分析】由于f(x)= x2+cosx,得f′(x)= x﹣sinx,由奇函数的定义得函数f′(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除BD,取x= 代入f′( )= ﹣sin = ﹣1<0,排除C,只有A适合.

  【解答】解:由于f(x)= x2+cosx,

  ∴f′(x)= x﹣sinx,

  ∴f′(﹣x)=﹣f′(x),故f′(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除BD,

  又当x= 时,f′( )= ﹣sin = ﹣1<0,排除C,只有A适合,

  故选:A.

  10.点F为双曲线C: ﹣ =1(a,b>0)的焦点,过点F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A,与另一条渐近线交于点B.若3 + =0,则双曲线C的离心率是(  )

  A. B. C. D.

  【考点】KC:双曲线的简单性质.

  【分析】联立直线方程解得A,B的坐标,再由向量共线的坐标表示,解得双曲线的a,b,c和离心率公式计算即可得到所求值.

  【解答】解:双曲线C: ﹣ =1的渐近线方程为y=± x,

  设F(c,0),由OA⊥FA,

  且OA的方程为y= x,OB的方程为y=﹣ x,

  直线AB的方程为y=﹣ (x﹣c),

  由 解得A( , ),

  由 解得B( ,﹣ )

  由3 + =0,即3 + = ,

  即3( ﹣c, )+( ﹣c,﹣ )=0

  可得3( ﹣c)+ ﹣c=0,

  即3a2+ =4c2,

  由b2=c2﹣a2,化简可得3a4﹣5a2c2+2c4=0,

  即(a2﹣c2)(3a2﹣2c2)=0,

  即a2=c2,(舍)或3a2=2c2,

  即c2= a2,c= a= a,可得e= = .

  故选:B.

  二、填空题:(本题共5个小题,每小题5分,共25分.把每小题的答案填在答题纸的相应位置)

  11.在△ABC中,若b=1,c= ,∠C= ,则a= 1 .

  【考点】HT:三角形中的几何计算.

  【分析】先根据b,c,∠c,由正弦定理可得sinB,进而求得B,再根据正弦定理求得a.

  【解答】解:在△ABC中由正弦定理得 ,

  ∴sinB= ,

  ∵b

  故B= ,则A=

  由正弦定理得

  ∴a= =1

  故答案为:1

  12.已知实数x,y满足不等式组 ,则2x+y的最大值为 5 .

  【考点】7C:简单线性规划.

  【分析】作出可行域,平行直线可得直线过点A(3,0)时,z取最大值,代值计算可得.

  【解答】解:作出不等式组 ,所对应的可行域(如图阴影),

  变形目标函数z=2x+y可得y=﹣2x+z,由 ,

  可得A(2,1)平移直线y=﹣2x可知,当

  直线经过点A(2,1)时,z取最大值,

  代值计算可得z=2x+y的最大值为:5.

  故答案为:5.

  13.双曲线 的离心率为2,则双曲线的焦点到渐近线的距离是 3  .

  【考点】KC:双曲线的简单性质.

  【分析】求得双曲线的a=3,由离心率公式可得c=6,解得b,求出渐近线方程和焦点,运用点到直线的距离公式,计算即可得到所求值.

  【解答】解:双曲线 的a=3,c= ,

  由e= =2,即有c=2a=6,

  即 =6,解得b=3 .

  渐近线方程为y=± x,即为 x±3y=0,

  则双曲线的焦点(0,6)到渐近线的距离是 =3 .

  故答案为:3 .

  14.已知长方形ABCD中,AB=4,BC=1,M为AB的中点,则在此长方形内随机取一点P,P与M的距离小于1的概率为   .

  【考点】CF:几何概型.

  【分析】本题利用几何概型解决,这里的区域平面图形的面积.欲求取到的点P到M的距离大于1的概率,只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可.

  【解答】解:根据几何概型得:

  取到的点到M的距离小1的概率:

  p= =

  = = .

  故答案为: .

  15.给出下列四个命题:

  ①命题“∀x∈R,x2>0”的否定是“∃x∈R,x2≤0”;

  ②函数y=f(x)的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),其图象上任一点P(x,y)满足x2﹣y2=1,则函数y=f(x)可能是奇函数;

  ③若a,b∈[0,1],则不等式a2+b2< 成立的概率是

  ④函数y=log2(x2﹣ax+2)在[2,+∞)恒为正,则 实数a的取值范围是(﹣∞, ).

  其中真命题的序号是 ①②④ .(请填上所有真命题的序号)

  【考点】2K:命题的真假判断与应用.

  【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断.

  ②根据函数奇偶性的定义和性质结合双曲线的图象进行判断.

  ③根据几何概型的概率公式进行判断.

  ④利用不等式恒成立,利用参数分离法进行求解判断即可.

  【解答】解:①命题“∀x∈R,x2>0”的否定是“∃x∈R,x2≤0”;故①正确,

  ②函数y=f(x)的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),其图象上任一点P(x,y)满足x2﹣y2=1,则函数y=f(x)可能是奇函数;正确,当点P的坐标满足y= 时,函数f(x)为奇函数.故②正确,

  ③若a,b∈[0,1],则不等式 成立的概率是 .如图.所以③错误

  ④因为函数y=log2(x2﹣ax+2)在[2,+∞)上恒为正,

  所以在[2,+∞)上x2﹣ax+2>1恒成立,

  即:在[2,+∞)上 恒成立,

  令 ,

  因为x≥2,所以 ,

  所以g(x)在[2,+∞)上为增函数,

  所以:当x=2时,g(x)的最小值为g(2)= ,

  所以 .则实数a的取值范围是(﹣∞, ).故④正确,

  故答案为:①②④

  三、解答题(共6个题,共75分,把每题的答案填在答卷纸的相应位置)

  16.植树节期间我市组织义工参加植树活动,为方便安排任务将所有义工按年龄分组:第l组[25,30),第2组[30,35),第3组[35,40),第4组[40,45),第5组[45,50],得到的部分频率分布表如下:

  区间 人数 频率

  第1组 [25,30) 50 0.1

  第2组 [30,35) 50 0.1

  第3组 [35,40) a 0.4

  第4组 [40,45) 150 b

  (1)求a,b的值;

  (2)现在要从年龄较小的第l,2,3组中用分层抽样的方法随机抽取6人担任联系人,在第l,2,3组抽取的义工的人数分别是多少?

  (3)在(2)的条件下,从这6人中随机抽取2人担任本次活动的宣传员,求至少有1人年龄在第3组的概率.

  【考点】B7:频率分布表.

  【分析】(1)根据频率= 求出参加活动的总人数,再求a、b的值;

  (2)计算分层抽样的抽取比例,用抽取比例乘以每组的频数,可得每组抽取人数;

  (3)利用列举法写出从6人中随机抽取2人的所有基本事件,再用对立事件的概率公式计算对应的概率即可.

  【解答】解:(1)根据题意知,50÷0.1=500,

  所以共有500人参加活动;

  a=500×0.4=200,b= =0.3;

  (2)因为第1,2,3组共有50+50+200=300人,

  利用分层抽样在300名员工中抽取6人,每组抽取的人数分别为:

  第1组的人数为6× =1,

  第2组的人数为6× =1,

  第3组的人数为6× =4,

  ∴第1,2,3组分别抽取1人,1人,4人;

  (3)由(2)可设第1组的1人为A,第2组的1人为B,

  第3组的4人分别为C1,C2,C3,C4,

  则从6人中抽取2人的所有可能结果为:

  (A,B),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4),

  (B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4),

  (C1,C2),(C1,C3),(C1,C4),

  (C2,C3),(C2,C4),(C3,C4),共有15种.

  其中2人年龄都不在第3组的有:(A,B),共1种;

  所以至少有1人年龄在第3组的概率为P=1﹣ = .

  17.现有A,B,C三种产品需要检测,产品数量如表所示:

  产品 A B C

  数量 240 240 360

  已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了7件.

  (I)求三种产品分别抽取的件数;

  (Ⅱ)已知抽取的A,B,C三种产品中,一等品分别有1件,2件,2件.现再从已抽取的A,B,C三种产品中各抽取1件,求3件产品都是一等品的概率.

  【考点】CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;B3:分层抽样方法.

  【分析】(I)设出A、B产品均抽取了x件,利用分层抽样时对应的比例相等,列出方程求出x的值即可;

  (Ⅱ)对抽取的样本进行编号,利用列举法求出对应的事件数,计算概率即可.

  【解答】解:(I)设A、B产品均抽取了x件,则C产品抽取了7﹣2x件,

  则有: = ,

  解得x=2;

  所以A、B产品分别抽取了2件,C产品抽取了3件;

  (Ⅱ)记抽取的A产品为a1,a2,其中a1是一等品;

  抽取的B产品是b1,b2,两件均为一等品;

  抽取的C产品是c1,c2,c3,其中c1,c2是一等品;

  从三种产品中各抽取1件的所有结果是

  {a1b1c1},{a1b1c2},{a1b1c3},{a1b2c1},{a1b2c2},{a1b2c3},

  {a2b1c1},{a2b1c2},{a2b1c3},{a2b2c1},{a2b2c2},{a2b2c3}共12个;

  根据题意,这些基本事件的出现是等可能的;

  其中3件产品都是一等品的有:

  {a1b1c1},{a1b1c2},{a1b2c1},{a1b2c2}共4个;

  因此3件产品都是一等品的概率P= = .

  18.如图所示,正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E,F分别是BC,CC1的中点.

  (Ⅰ)证明:平面AEF⊥平面B1BCC1;

  (Ⅱ)若该三棱柱所有的棱长均为2,求三棱锥B1﹣AEF的体积.

  【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LY:平面与平面垂直的判定.

  【分析】(I)由BB1⊥平面ABC可知BB1⊥AE,又AE⊥BC可得AE⊥平面BCC1B1,从而平面AEF⊥平面B1BCC1;

  (II)由(1)知AE为棱锥A﹣B1EF的高.于是V =V = .

  【解答】解:(I)∵BB1⊥面ABC,AE⊂平面ABC,

  ∴AE⊥BB1,

  ∵E是正三角形ABC的边BC的中点,

  ∴AE⊥BC,

  又∵BC⊂平面B1BCC1,B1B⊂平面B1BCC1,BC∩BB1=B,

  ∴AE⊥平面B1BCC1,∵AE⊂平面AEF,

  ∴平面AEF⊥平面B1BCC1.

  (II)∵三棱柱所有的棱长均为2,

  ∴AE= ,

  ∴S =2×2﹣ ﹣ = ,

  由(I)知AE⊥平面B1BCC1

  ∴ .

  19.已知数列{an}中,a1=2,且 .

  (I)求证:数列{an﹣1}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式;

  (Ⅱ)设bn=n(an﹣1),数列{bn}的前n项和为Sn,求证:1≤Sn<4.

  【考点】8E:数列的求和;88:等比数列的通项公式.

  【分析】(I)利用递推关系变形可得an﹣1= ,即可证明;

  (II)利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、数列的单调性即可证明.

  【解答】证明:(I) ,又a1﹣1=1≠0

  ∴数列{an﹣1}是首项为1,公比为2的等比数列.

  ∴ ,得 .

  (II) ,

  设 …①

  则 …②

  ①﹣②得: ,

  ∴ ,

  ,又 ,

  ∴数列{Sn}是递增数列,故Sn≥S1=1,

  ∴1≤Sn<4.

  20.已知椭圆C: ,离心率为 .

  (I)求椭圆C的标准方程;

  (Ⅱ)设椭圆C的下顶点为A,直线l过定点 ,与椭圆交于两个不同的点M、N,且满足|AM|=|AN|.求直线l的方程.

  【考点】K4:椭圆的简单性质.

  【分析】(I)由离心率公式和点满足椭圆方程,及a,b,c的关系,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程;

  (Ⅱ)讨论直线的斜率不存在和存在,设出直线的方程为y=kx+ (k≠0),与椭圆方程联立,运用韦达定理,再由|AM|=|AN|,运用两点的距离公式,化简整理可得k的方程,解方程可得k,进而得到所求直线方程.

  【解答】解:(I)由题意可得e= = ,

  + =1,且a2﹣b2=c2,

  解得a= ,b=1,

  即有椭圆的方程为 +y2=1;

  (Ⅱ)若直线的斜率不存在,M,N为椭圆的上下顶点,

  即有|AM|=2,|AN|=1,不满足题设条件;

  设直线l:y=kx+ (k≠0),与椭圆方程 +y2=1联立,

  消去y,可得(1+3k2)x2+9kx+ =0,

  判别式为81k2﹣4(1+3k2)• >0,化简可得k2> ,①

  设M(x1,y1),N(x2,y2),可得x1+x2=﹣ ,

  y1+y2=k(x1+x2)+3=3﹣ = ,

  由|AM|=|AN|,A(0,﹣1),可得

  = ,

  整理可得,x1+x2+(y1+y2+2)( )=0,(y1≠y2)

  即为﹣ +( +2)•k=0,

  可得k2= ,即k=± ,

  代入①成立.

  故直线l的方程为y=± x+ .

  21.已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左焦点F1与抛物线y2=﹣4 x的焦点重合,过点F1的直线l交椭圆于A,B两点.当直线l经过椭圆C的一个短轴端点时,与以原点O为圆心,以椭圆的离心率e为半径的圆相切.

  (1)求椭圆C的方程;

  (2)是否在x轴上存在定点M,使 • 为定值?若存在,请求出定点M及定值;若不存在,请说明理由.

  【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合问题;K3:椭圆的标准方程.

  【分析】(1)求得抛物线的焦点坐标,可得c= ,即a2﹣b2=3,求得直线经过(﹣c,0)和(0,b)的方程,运用直线和圆相切的条件:d=r,结合离心率公式可得b,a,进而得到椭圆方程;

  (2)假设直线l的斜率存在,设直线的方程为y=k(x+ ),代入椭圆方程x2+4y2=4,可得x的方程,运用韦达定理,设出M(m,0),运用向量的数量积的坐标表示,化简整理,结合定值,可得m,以及向量数量积的值;再讨论直线l的斜率不存在,求得A,B,验证成立.

  【解答】解:(1)抛物线y2=﹣4 x的焦点为(﹣ ,0),

  由题意可得c= ,即a2﹣b2=3,

  由直线l经过(﹣c,0)和(0,b),可得直线l:bx﹣cy+bc=0,

  直线l与原点O为圆心,以椭圆的离心率e为半径的圆相切,可得

  =e= = ,解得b=1,则a=2,

  即有椭圆的方程为 +y2=1;

  (2)当直线l的斜率存在时,设直线的方程为y=k(x+ ),

  代入椭圆方程x2+4y2=4,可得(1+4k2)x2+8 k2x+12k2﹣4=0,

  设A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=﹣ ,x1x2= ,

  设M(m,0), =(m﹣x1,﹣y1), =(m﹣x2,﹣y2),

  • ═(m﹣x1)(m﹣x2)+y1y2=m2﹣m(x1+x2)+x1x2+k2(x1+ )(x2+ )

  =m2+( k2﹣m)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+3k2

  =m2+( k2﹣m)(﹣ )+(1+k2)• +3k2

  = ,

  要使 • 为定值,则 =4,

  解得m=﹣ ,即有 • =﹣ .

  当直线l的斜率不存在时,A(﹣ ,﹣ ),B(﹣ , ),

  =(﹣ , ), =(﹣ ,﹣ ),

  可得 • =﹣ .

  则在x轴上存在定点M(﹣ ,0),使得 • 为定值﹣ .

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