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届成都市九校联考高考理科数学模拟试卷及答案

时间:2021-06-08 14:54:18 高考备考 我要投稿

2018届成都市九校联考高考理科数学模拟试卷及答案

  多做理科数学模拟试卷可以帮助高考理科生们熟悉知识点和积累知识,这样将对你的高考很有帮助,以下是百分网小编为你整理的2018届成都市九校联考高考理科数学模拟试卷,希望能帮到你。

2018届成都市九校联考高考理科数学模拟试卷及答案

  2018届成都市九校联考高考理科数学模拟试卷题目

  一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

  1.设集合A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={x|y=ln(2﹣x)},则A∩B=(  )

  A.{x|﹣1

  2.已知 ,则复数z+5的实部与虚部的和为(  )

  A.10 B.﹣10 C.0 D.﹣5

  3.如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》,若输入a的值为16,b的值为24,则执行该程序框图的结果为(  )

  A.6 B.7 C.8 D.9

  4.广告投入对商品的销售额有较大影响.某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计,得到统计数据如表(单位:万元):

  广告费x 2 3 4 5 6

  销售额y 29 41 50 59 71

  由表可得到回归方程为 =10.2x+ ,据此模型,预测广告费为10万元时的销售额约为(  )

  A.101.2 B.108.8 C.111.2 D.118.2

  5.设a=20.3,b=0.32,c=logx(x2+0.3)(x>1),则a,b,c的大小关系是(  )

  A.a

  6.哈市某公司有五个不同部门,现有4名在校大学生来该公司实习,要求安排到该公司的两个部门,且每部门安排两名,则不同的安排方案种数为(  )

  A.40 B.60 C.120 D.240

  7.如图为某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为(  )

  A. B.27π C.27 π D.

  8.设等差数列{an}满足3a8=5a15,且 ,Sn为其前n项和,则数列{Sn}的最大项为(  )

  A. B.S24 C.S25 D.S26

  9.已知变量x,y满足约束条件 若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最小值为2,则 + 的最小值为(  )

  A.2+ B.5+2 C.8+ D.2

  10.已知函数f(x)=Asin(2x+φ)﹣ (A>0,0<φ< )的图象在y轴上的截距为1,且关于直线x= 对称,若对于任意的x∈[0, ],都有m2﹣3m≤f(x),则实数m的取值范围为(  )

  A.[1, ] B.[1,2] C.[ ,2] D.[ , ]

  11.如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点,点A、B分别在抛物线y2=8x及圆x2+y2﹣4x﹣12=0的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围是(  )

  A.(6,10) B.(8,12) C.[6,8] D.[8,12]

  12.若关于x的方程(x﹣2)2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|(e为自然对数的底数)有且仅有6个不等的实数解,则实数a的取值范围是(  )

  A.( ,+∞) B.(e,+∞) C.(1,e) D.(1, )

  二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.

  13.已知n= (2x+1)dx,则( ﹣ n的展开式中x2的系数为  .

  14.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为  .

  15.在直角三角形△ABC中, , ,对平面内的任意一点M,平面内有一点D使得 ,则 =  .

  16.设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=2,对任意p、q∈N*,都有ap+q=ap+aq,则f(n)= (n∈N*)的最小值为  .

  三、解答题:本大题共5小题,前5题每题12分,选考题10分,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

  17.如图,在△ABC中,点P在BC边上,∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4.

  (Ⅰ) 求∠ACP;

  (Ⅱ) 若△APB的面积是 ,求sin∠BAP.

  18.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间,随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查,其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”,否则为“非古文迷”,调查结果如表:

  古文迷 非古文迷 合计

  男生 26 24 50

  女生 30 20 50

  合计 56 44 100

  (Ⅰ)根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关?

  (Ⅱ)现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查,求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数;

  (Ⅲ)现从(Ⅱ)中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查,记这3人中“古文迷”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列与数学期望.

  参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.

  参考数据:

  P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010

  k0 0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635

  19.如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.

  (Ⅰ)求证:AB⊥平面ADC;

  (Ⅱ)若AD=1,AB= ,求二面角B﹣AD﹣E的大小.

  20.在平面直角坐标系中,直线 不过原点,且与椭圆 有两个不同的公共点A,B.

  (Ⅰ)求实数m取值所组成的集合M;

  (Ⅱ)是否存在定点P使得任意的m∈M,都有直线PA,PB的倾斜角互补.若存在,求出所有定点P的坐标;若不存在,请说明理由.

  21.已知函数f(x)=lnx+ .

  (Ⅰ) 若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;

  (Ⅱ) 证明:当a≥ ,b>1时,f(lnb)> .

  请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写清题号.[选修4-4:坐标系与参数方程]

  22.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C: (a为参数),在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为 .

  (1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;

  (2)过点M(﹣1,0)且与直线l平行的直线l1交C于A,B两点,求点M到A,B两点的距离之积.

  [选修4-5:不等式选讲]

  23.已知函数f(x)=|x+a﹣1|+|x﹣2a|.

  (Ⅰ) 若f(1)<3,求实数a的取值范围;

  (Ⅱ) 若a≥1,x∈R,求证:f(x)≥2.

  2018届成都市九校联考高考理科数学模拟试卷答案

  一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

  1.设集合A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={x|y=ln(2﹣x)},则A∩B=(  )

  A.{x|﹣1

  【考点】1E:交集及其运算.

  【分析】解不等式求出集合A,求函数定义域得出B,再根据定义写出A∩B.

  【解答】解:集合A={x|x2﹣2x﹣3<0}={x|﹣1

  B={x|y=ln(2﹣x)}={x|2﹣x>0}={x|x<2},

  则A∩B={x|﹣1

  故选:B.

  2.已知 ,则复数z+5的实部与虚部的和为(  )

  A.10 B.﹣10 C.0 D.﹣5

  【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.

  【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义、共轭复数的定义即可得出.

  【解答】解: ,∴ =(1+2i)(2+i)=5i,可得z=﹣5i

  则复数z+5=5﹣5i的实部与虚部的和为:5﹣5=0.

  故选:C.

  3.如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》,若输入a的值为16,b的值为24,则执行该程序框图的结果为(  )

  A.6 B.7 C.8 D.9

  【考点】EF:程序框图.

  【分析】模拟程序的运行,根据程序流程,依次判断写出a,b的值,可得当a=b=8时,不满足条件a≠b,输出a的值为8,即可得解.

  【解答】解:模拟程序的运行,可得

  a=16,b=24

  满足条件a≠b,不满足条件a>b,b=24﹣16=8,

  满足条件a≠b,满足条件a>b,a=16﹣8=8,

  不满足条件a≠b,输出a的值为8.

  故选:C.

  4.广告投入对商品的销售额有较大影响.某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计,得到统计数据如表(单位:万元):

  广告费x 2 3 4 5 6

  销售额y 29 41 50 59 71

  由表可得到回归方程为 =10.2x+ ,据此模型,预测广告费为10万元时的销售额约为(  )

  A.101.2 B.108.8 C.111.2 D.118.2

  【考点】BK:线性回归方程.

  【分析】求出数据中心,代入回归方程求出 ,再将x=10代入回归方程得出答案.

  【解答】解:由题意, =4, =50.

  ∴50=4×10.2+ ,解得 =9.2.∴回归方程为 =10.2x+9.2.

  ∴当x=10时, =10.2×10+9.2=111.2.

  故选:C.

  5.设a=20.3,b=0.32,c=logx(x2+0.3)(x>1),则a,b,c的大小关系是(  )

  A.a

  【考点】4C:指数函数单调性的应用.

  【分析】利用指数函数y=ax和对数函数的单调性,比较大小

  【解答】解:∵a=20.3<21=2且a=20.3>20=1,

  ∴1

  又∵b=0.32<0.30=1,

  ∵x>1,∴c=logx(x2+0.3)>logxx2=2,

  ∴c>a>b.

  故选B

  6.哈市某公司有五个不同部门,现有4名在校大学生来该公司实习,要求安排到该公司的两个部门,且每部门安排两名,则不同的安排方案种数为(  )

  A.40 B.60 C.120 D.240

  【考点】D8:排列、组合的实际应用.

  【分析】本题是一个计数问题,由题意可知,可分两步完成计数,先对四名大学生分组,分法有 种,然后再排到5个部门的两个部门中,排列方法有A52,计算此两数的乘积即可得到不同的安排方案种数,再选出正确选项

  【解答】解:此问题可分为两步求解,第一步将四名大学生分为两组,由于分法为2,2,考虑到重复一半,故分组方案应为 种,

  第二步将此两组大学生分到5个部门中的两个部门中,不同的安排方式有A52,

  故不同的安排方案有 A52=60种,

  故选:B.

  7.如图为某几何体的'三视图,则该几何体的外接球的表面积为(  )

  A. B.27π C.27 π D.

  【考点】L!:由三视图求面积、体积.

  【分析】由已知中的三视图,可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥,其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球,从而求得答案.

  【解答】解:由已知中的三视图,可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥,

  其底面是边长为3的正方形,且高为3,

  其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球,

  所以外接球半径R满足:2R= = ,

  所以外接球的表面积为S=4πR2=27π.

  故选:B.

  8.设等差数列{an}满足3a8=5a15,且 ,Sn为其前n项和,则数列{Sn}的最大项为(  )

  A. B.S24 C.S25 D.S26

  【考点】85:等差数列的前n项和.

  【分析】设等差数列{an}的公差为d,由3a8=5a15,利用通项公式化为2a1+49d=0,由 ,可得d<0,Sn=na1+ d= (n﹣25)2﹣ d.利用二次函数的单调性即可得出.

  【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,∵3a8=5a15,∴3(a1+7d)=5(a1+14d),化为2a1+49d=0,

  ∵ ,∴d<0,∴等差数列{an}单调递减,

  Sn=na1+ d= + d= (n﹣25)2﹣ d.

  ∴当n=25时,数列{Sn}取得最大值,

  故选:C.

  9.已知变量x,y满足约束条件 若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最小值为2,则 + 的最小值为(  )

  A.2+ B.5+2 C.8+ D.2

  【考点】7C:简单线性规划.

  【分析】画出可行域,利用目标函数去最小值得到a,b的等式,利用基本不等式求解 + 的最小值.

  【解答】解:约束条件对应的 区域如图:目标函数z=ax+by(a>0,b>0)经过C时取最小值为2,

  所以a+b=2,

  则 + = ( + )(a+b)= (4+ )

  ≥2+ =2+ ;

  当且仅当 a=b,并且a+b=2时等号成立;

  故选A.

  10.已知函数f(x)=Asin(2x+φ)﹣ (A>0,0<φ< )的图象在y轴上的截距为1,且关于直线x= 对称,若对于任意的x∈[0, ],都有m2﹣3m≤f(x),则实数m的取值范围为(  )

  A.[1, ] B.[1,2] C.[ ,2] D.[ , ]

  【考点】H2:正弦函数的图象.

  【分析】利用函数y=Asin(ωx+φ)+B的图象和性质,正弦函数的定义域和值域,求得实数m的取值范围.

  【解答】解:∵函数f(x)=Asin(2x+φ)﹣ (A>0,0<φ< )的图象在y轴上的截距为1,

  ∴Asinφ﹣ =1,即Asinφ= .

  ∵函数f(x)=Asin(2x+φ)﹣ 的图象关于直线x= 对称,∴2• +φ=kπ+ ,k∈Z,∴φ= ,

  ∴A•sin = ,∴A= ,∴f(x)= sin(2x+ )﹣ .

  对于任意的x∈[0, ],都有m2﹣3m≤f(x),

  ∵2x+ ∈[ , ],sin(2x+ )∈[﹣ ,1], sin(2x+ )∈[﹣ , ],f(x)∈[﹣2, ﹣1],

  ∴m2﹣3m≤﹣2,求得1≤m≤2,

  故选:B.

  11.如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点,点A、B分别在抛物线y2=8x及圆x2+y2﹣4x﹣12=0的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围是(  )

  A.(6,10) B.(8,12) C.[6,8] D.[8,12]

  【考点】K8:抛物线的简单性质.

  【分析】由抛物线定义可得|AF|=xA+2,从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB﹣xA)+4=6+xB,确定B点横坐标的范围,即可得到结论.

  【解答】解:抛物线的准线l:x=﹣2,焦点F(2,0),

  由抛物线定义可得|AF|=xA+2,

  圆(x﹣2)2+y2=16的圆心为(2,0),半径为4,

  ∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB﹣xA)+4=6+xB,

  由抛物线y2=8x及圆(x﹣2)2+y2=16可得交点的横坐标为2,

  ∴xB∈(2,6)

  ∴6+xB∈(8,12)

  故选B.

  12.若关于x的方程(x﹣2)2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|(e为自然对数的底数)有且仅有6个不等的实数解,则实数a的取值范围是(  )

  A.( ,+∞) B.(e,+∞) C.(1,e) D.(1, )

  【考点】54:根的存在性及根的个数判断.

  【分析】令g(x)=|x﹣2|ex,则方程有6解等价于g2(x)﹣2ag(x)+a=0有6解,判断g(x)的单调性得出g(x)=t的根的分布情况,得出方程t2﹣2at+a=0的根的分布情况,利用二次函数的性质列不等式组解出a的范围.

  【解答】解:∵(x﹣2)2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|,

  ∴(x﹣2)2e2x﹣2a|x﹣2|ex+a=0,

  令g(x)=|x﹣2|ex= ,则g′(x)= ,

  ∴当x≥2或x<1时,g′(x)>0,当1

  ∴g(x)在(﹣∞,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,

  ∴当x=1时,g(x)取得极大值t(1)=e,

  又x→﹣∞时,g(x)→0,g(2)=0,x→+∞时,g(x)→+∞,

  作出g(x)的函数图象如图所示:

  令g(x)=t,

  由图象可知:当0e时,方程g(x)=t有1解;

  当t=e时,方程g(x)=t有2解;当t<0时,方程g(x)=t无解.

  ∵方程(x﹣2)2e2x﹣2a|x﹣2|ex+a=0有6解,

  即g2(x)﹣2ag(x)+a=0有6解,

  ∴关于t的方程t2﹣2at+a=0在(0,e)上有2解,

  ∴ ,解得1

  故选D.

  二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.

  13.已知n= (2x+1)dx,则( ﹣ n的展开式中x2的系数为 ﹣18 .

  【考点】DB:二项式系数的性质.

  【分析】利用定积分先求出n=6,再利用二项式定理通项公式求出Tr+1= ,由此能求出( ﹣ n的展开式中x2的系数.

  【解答】解:n= (2x+1)dx=(x2+x)| =6,

  ∴( ﹣ n=( ﹣ 6,

  Tr+1= =(36﹣r)(﹣1)r ,

  令 =2,得r=5,

  ∴( ﹣ n的展开式中x2的系数为:(36﹣5)(﹣1)5 =﹣18.

  故答案为:﹣18.

  14.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为   .

  【考点】KC:双曲线的简单性质.

  【分析】设双曲线方程,由题意可得丨AB丨= =2×2a,求得b2=2a2,根据双曲线的离心率公式e= = ,即可求得C的离心率.

  【解答】解:设双曲线方程: (a>0,b>0),

  由题意可知,将x=c代入,解得:y=± ,

  则丨AB丨= ,

  由丨AB丨=2×2a,

  则b2=2a2,

  ∴双曲线离心率e= = = ,

  故答案为: .

  15.在直角三角形△ABC中, , ,对平面内的任意一点M,平面内有一点D使得 ,则 = 6 .

  【考点】9V:向量在几何中的应用.

  【分析】据题意,可分别以边CB,CA所在直线为x轴,y轴,建立一平面直角坐标系,得到A(0,3),并设M(x,y),D(x′,y′),B(b,0),这样根据条件 即可得到 ,即得到 ,进行数量积的坐标运算即可求出 的值.

  【解答】解:根据题意,分别以CB,CA为x,y轴,建立如图所示平面直角坐标系,则:

  A(0,3),设M(x,y),B(b,0),D(x′,y′);

  ∴由 得:

  3(x′﹣x,y′﹣y)=(b﹣x,﹣y)+2(﹣x,3﹣y);

  ∴ ;

  ∴ ;

  ∴ .

  故答案为:6.

  16.设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=2,对任意p、q∈N*,都有ap+q=ap+aq,则f(n)= (n∈N*)的最小值为   .

  【考点】8E:数列的求和.

  【分析】对任意p、q∈N*,都有ap+q=ap+aq,令p=n,q=1,可得an+1=an+a1,则 ﹣an=2,利用等差数列的求和公式可得Sn.f(n)= = =n+1+ ﹣1,令g(x)=x+ (x≥1),利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.

  【解答】解:∵对任意p、q∈N*,都有ap+q=ap+aq,令p=n,q=1,可得an+1=an+a1,则 ﹣an=2,

  ∴数列{an}是等差数列,公差为2.

  ∴Sn=2n+ =n+n2.

  则f(n)= = =n+1+ ﹣1,

  令g(x)=x+ (x≥1),则g′(x)=1﹣ = ,可得x∈[1, 时,函数g(x)单调递减;x∈ 时,函数g(x)单调递增.

  又f(7)=14+ ,f(8)=14+ .

  ∴f(7)

  ∴f(n)= (n∈N*)的最小值为 .

  故答案为: .

  三、解答题:本大题共5小题,前5题每题12分,选考题10分,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

  17.如图,在△ABC中,点P在BC边上,∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4.

  (Ⅰ) 求∠ACP;

  (Ⅱ) 若△APB的面积是 ,求sin∠BAP.

  【考点】HR:余弦定理;HP:正弦定理.

  【分析】(Ⅰ) 在△APC中,由余弦定理得AP2﹣4AP+4=0,解得AP=2,可得△APC是等边三角形,即可得解.

  (Ⅱ) 法1:由已知可求∠APB=120°.利用三角形面积公式可求PB=3.进而利用余弦定理可求AB,在△APB中,由正弦定理可求sin∠BAP= 的值.

  法2:作AD⊥BC,垂足为D,可求: ,利用三角形面积公式可求PB,进而可求BD,AB,利用三角函数的定义可求 , .利用两角差的正弦函数公式可求sin∠BAP=sin(∠BAD﹣30°)的值.

  【解答】(本题满分为12分)

  解:(Ⅰ) 在△APC中,因为∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4,

  由余弦定理得PC2=AP2+AC2﹣2•AP•AC•cos∠PAC,…

  所以22=AP2+(4﹣AP)2﹣2•AP•(4﹣AP)•cos60°,

  整理得AP2﹣4AP+4=0,…

  解得AP=2.…

  所以AC=2.…

  所以△APC是等边三角形.…

  所以∠ACP=60°.…

  (Ⅱ) 法1:由于∠APB是△APC的外角,所以∠APB=120°.…

  因为△APB的面积是 ,所以 .…

  所以PB=3.…

  在△APB中,AB2=AP2+PB2﹣2•AP•PB•cos∠APB=22+32﹣2×2×3×cos120°=19,

  所以 .…

  在△APB中,由正弦定理得 ,…

  所以sin∠BAP= = .…

  法2:作AD⊥BC,垂足为D,

  因为△APC是边长为2的等边三角形,

  所以 .…

  因为△APB的面积是 ,所以 .…

  所以PB=3.…

  所以BD=4.

  在Rt△ADB中, ,…

  所以 , .

  所以sin∠BAP=sin(∠BAD﹣30°)=sin∠BADcos30°﹣cos∠BADsin30°…

  = = .…

  18.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间,随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查,其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”,否则为“非古文迷”,调查结果如表:

  古文迷 非古文迷 合计

  男生 26 24 50

  女生 30 20 50

  合计 56 44 100

  (Ⅰ)根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关?

  (Ⅱ)现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查,求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数;

  (Ⅲ)现从(Ⅱ)中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查,记这3人中“古文迷”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列与数学期望.

  参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.

  参考数据:

  P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010

  k0 0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635

  【考点】BK:线性回归方程.

  【分析】(Ⅰ)求出K2,与临界值比较,即可得出结论;

  (Ⅱ)调查的50名女生中“古文迷”有30人,“非古文迷”有20人,按分层抽样的方法抽出5人,即可得出结论;

  (Ⅲ)ξ的所有取值为1,2,3.求出相应的概率,即可求随机变量ξ的分布列与数学期望.

  【解答】解:(Ⅰ)由列联表得K2= ≈0.6494<0.708,

  所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关.…

  (Ⅱ)调查的50名女生中“古文迷”有30人,“非古文迷”有20人,按分层抽样的方法抽出5人,则“古文迷”的人数为 =3人,“非古文迷”有 =2人.

  即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人…

  (Ⅲ)因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数,所以ξ的所有取值为1,2,3.

  P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= = ,P(ξ=3)= = .…

  所以随机变量ξ的分布列为

  ξ 1 2 3

  P

  于是Eξ=1× +2× +3× = .…

  19.如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.

  (Ⅰ)求证:AB⊥平面ADC;

  (Ⅱ)若AD=1,AB= ,求二面角B﹣AD﹣E的大小.

  【考点】MT:二面角的平面角及求法;LW:直线与平面垂直的判定.

  【分析】(Ⅰ) 只需证明DC⊥AB,由AD⊥AB,DC∩AD=D,得AB⊥平面ADC

  (Ⅱ) 易得∴ ,建立空间直角坐标D﹣xyz,则D(0,0,0),B( ,0,0),C(0, ,0),E( , ,0),A( ),

  求出平面DAB的法向量,平面ADE的法向量,由cos ,求得二面角B﹣AD﹣E的大小为600.

  【解答】解:(Ⅰ)证明:因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,

  又DB⊥DC,所以DC⊥平面ABD…

  因为AB⊂平面ABD,所以DC⊥AB…

  又AD⊥AB,DC∩AD=D,所以AB⊥平面ADC.…

  (Ⅱ)∵AB= ,AD=1.∴DB=

  依题意△ABD∽△BDC,

  所以 ,即 .∴ …

  如图所示,建立空间直角坐标D﹣xyz,则D(0,0,0),B( ,0,0),C(0, ,0),

  E( , ,0),A( ),

  , ).…

  由(Ⅰ)知平面DAB的法向量 .…

  设平面ADE的法向量

  由 ,令x= ,可取 ).…

  所以cos =﹣ .…

  由图可知二面角B﹣AD﹣E的平面角为锐角,

  所以二面角B﹣AD﹣E的大小为600.…

  20.在平面直角坐标系中,直线 不过原点,且与椭圆 有两个不同的公共点A,B.

  (Ⅰ)求实数m取值所组成的集合M;

  (Ⅱ)是否存在定点P使得任意的m∈M,都有直线PA,PB的倾斜角互补.若存在,求出所有定点P的坐标;若不存在,请说明理由.

  【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.

  【分析】(1)由直线 不过原点,知m≠0,将 与 联立,得: ,由此利用根的判别式,能求出实数m的范围组成的集合M.

  (2)假设存在定点P(x0,y0)使得任意的m∈M,都有直线PA,PB的倾斜角互补,则kPA+kPB=0,令 ,得: ,由此利用韦达定理能求出所有定点P的坐标.

  【解答】解:(1)因为直线 不过原点,所以m≠0,

  将 与 联立,消去y得: ,

  因为直线与椭圆有两个不同的公共点A,B,

  所以△=8m2﹣16(m2﹣4)>0,解得 ,

  所以实数m的范围组成的集合M是 ;

  (2)假设存在定点P(x0,y0)使得任意的m∈M,都有直线PA,PB的倾斜角互补,

  即kPA+kPB=0,令 ,

  所以 ,

  整理得: ,

  由(1)知x1,x2是 的两个根,

  所以 ,

  代入(*)化简得 ,

  由题意 解得 或

  所以定点P的坐标为 或 ,

  经检验,满足题意,

  所以存在定点P使得任意的m∈M,都有直线PA,PB的倾斜角互补,

  坐标为 或 .

  21.已知函数f(x)=lnx+ .

  (Ⅰ) 若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;

  (Ⅱ) 证明:当a≥ ,b>1时,f(lnb)> .

  【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6B:利用导数研究函数的单调性.

  【分析】(Ⅰ)法一:求出函数f(x)的导数,得到函数的单调区间,求出f(x)的最小值,从而求出a的范围即可;

  法二:求出a=﹣xlnx,令g(x)=﹣xlnx,根据函数的单调性求出g(x)的最大值,从而求出a的范围即可;

  (Ⅱ)令h(x)=xlnx+a,通过讨论a的范围,根据函数的单调性证明即可.

  【解答】解:(Ⅰ)法1:函数 的定义域为(0,+∞).

  由 ,得 .…

  因为a>0,则x∈(0,a)时,f'(x)<0;x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.

  所以函数f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.…

  当x=a时,[f(x)]min=lna+1.…

  当lna+1≤0,即00,则函数f(x)有零点.…

  所以实数a的取值范围为 .…

  法2:函数 的定义域为(0,+∞).

  由 ,得a=﹣xlnx.…

  令g(x)=﹣xlnx,则g'(x)=﹣(lnx+1).

  当 时,g'(x)>0; 当 时,g'(x)<0.

  所以函数g(x)在 上单调递增,在 上单调递减.…

  故 时,函数g(x)取得最大值 .…

  因而函数 有零点,则 .…

  所以实数a的取值范围为 .…

  (Ⅱ)证明:令h(x)=xlnx+a,则h'(x)=lnx+1.

  当 时,h'(x)<0;当 时,h'(x)>0.

  所以函数h(x)在 上单调递减,在 上单调递增.

  当 时, .…

  于是,当a≥ 时, .①…

  令φ(x)=xe﹣x,则φ'(x)=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x(1﹣x).

  当00;当x>1时,f'(x)<0.

  所以函数φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.

  当x=1时, .…

  于是,当x>0时, .②…

  显然,不等式①、②中的等号不能同时成立.

  故当x>0, 时,xlnx+a>xe﹣x.…

  因为b>1,所以lnb>0.

  所以lnb•ln(lnb)+a>lnb•e﹣lnb.…

  所以 ,即 .…

  请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写清题号.[选修4-4:坐标系与参数方程]

  22.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C: (a为参数),在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为 .

  (1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;

  (2)过点M(﹣1,0)且与直线l平行的直线l1交C于A,B两点,求点M到A,B两点的距离之积.

  【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QH:参数方程化成普通方程.

  【分析】(1)利用三种方程的转化方法,求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;

  (2)利用参数的几何意义,即可求点M到A,B两点的距离之积.

  【解答】解:(1)曲线C: (a为参数),化为普通方程为: ,

  由 ,得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2,所以直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0.

  (2)直线l1的参数方程为 (t为参数),代入 ,化简得: ,得t1t2=﹣1,∴|MA|•|MB|=|t1t2|=1.

  [选修4-5:不等式选讲]

  23.已知函数f(x)=|x+a﹣1|+|x﹣2a|.

  (Ⅰ) 若f(1)<3,求实数a的取值范围;

  (Ⅱ) 若a≥1,x∈R,求证:f(x)≥2.

  【考点】R5:绝对值不等式的解法;R4:绝对值三角不等式.

  【分析】(Ⅰ)通过讨论a的范围得到关于a的不等式,解出取并集即可;(Ⅱ)基本基本不等式的性质证明即可.

  【解答】解:(Ⅰ) 因为f(1)<3,所以|a|+|1﹣2a|<3.

  ①当a≤0时,得﹣a+(1﹣2a)<3,

  解得 ,所以 ;

  ②当 时,得a+(1﹣2a)<3,

  解得a>﹣2,所以 ;

  ③当 时,得a﹣(1﹣2a)<3,

  解得 ,所以 ;

  综上所述,实数a的取值范围是 .

  (Ⅱ) 因为a≥1,x∈R,

  所以f(x)=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|(x+a﹣1)﹣(x﹣2a)|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2.

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