（优秀）抛物线的基本知识点

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（优秀）抛物线的基本知识点

　　在平日的学习中，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。还在为没有系统的知识点而发愁吗？以下是小编整理的抛物线的基本知识点，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

（优秀）抛物线的基本知识点

　　重点：熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式，会根据抛物线的标准方程研究得出性质，会由几何性质确定抛物线的标准方程。熟练运用坐标法，理解数形结合思想，掌握相关代数知识、平面几何知识的运用。

　　难点：把几何条件转化为代数语言，进而把“形”转化为“数”。选择合理、简捷的运算途径，并实施正确的运算。灵活利用概念、平面几何知识。

　　1. 抛物线及其性质的基本思路

　　求抛物线方程时，若由已知条件可知方程的形式，一般用待定系数法；若由已知条件可知动点的运动规律，一般用轨迹法；凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意运用韦达定理；解决焦点弦问题，抛物线的定义有广泛的应用，还应注意焦点弦的几何性质，针对y2=2px(p>0),设焦点弦为x=my+■,既方便消元，又可避免斜率不存在的情况；可能的情况下，注意平面几何知识的应用，达到“不算而解”的目的。

　　2. 抛物线及其性质的基本策略

　　(1)求抛物线的标准方程

　　①定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程。

　　②待定系数法：先定位，后定量。根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式，从简单化角度出发，焦点在x轴上，设为y2=ax(a≠0);焦点在y轴上，设为x2=by(b≠0).

　　(2)焦点弦问题和焦半径

　　①焦半径：抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F■,0的距离PF=x0+■.

　　②通径：过焦点F■,0且与x轴垂直的弦PQ叫通径，PQ=2p.

　　③焦点弦的性质：过F■,0的弦AB所在的直线方程为y=kx-■(k不存在时为通径).

　　④弦长：AB=x1+x2+p=■(θ为弦AB的倾斜角);x1·x2=■,y1·y2= -p2;■+■=■;以弦AB为直径的圆与准线相切。

　　在抛物线y2=4x上找一点M,使MA+MF最小，其中A(3,2),F(1,0),求点M的坐标及此时的最小值。

　　思索 “看准线想焦点，看焦点想准线”,可根据抛物线的定义进行相互转化从而获得简捷、直观的求解。数形结合是灵活解题的一条捷径。

　　破解：如图1,点A在抛物线y2=4x的内部，由抛物线的定义可知，MA+MF=MA+MH,其中MH为M到抛物线的准线的距离，过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1,垂足为B,则MA+MF=MA+MH≥AB=4,当且仅当点M在M1的位置时等号成立，此时点M1的坐标为(1,2).

　　斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长。

　　思索：求焦点弦的弦长有多种方法，既要掌握运算方法，也要考虑一些不算或少算的方法。数形结合是解析几何中重要的思想方法之一。一些问题中，充分发挥“形”的作用，可以最大限度地减少运算，“看出结果”。我们不妨考虑问题的一般情形：斜率为k(倾斜角为θ)的直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点，如何“看出”焦点弦的弦长？

　　如图2,由图可以看出，FA=p-FAcosθ,FB=FBcosθ+p,所以AB=FA+FB=■+■=■. 求解过程非常直观，在已知直线倾斜角的情形下，可以直接“看出”焦点弦的弦长。直线斜率存在时，由k=tanθ,破解例2中，k=1(θ=45°),p=2,所以AB=8.

　　在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为■.

　　(1)求抛物线C的方程；

　　(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

　　思索 (1)由抛物线C的标准形式可得点F的坐标和准线方程，由圆心Q在弦OF的中垂线上可得点Q的纵坐标，再由点Q到抛物线C的准线的距离列出方程，确定p的值。

　　(2)存在性问题的常用方法是：先假设结论存在，进行演绎推理，若推出矛盾，则否定假设；若推出合理的结果，说明假设成立。

　　思路1:先求切线MQ的方程，结合弦OF的中垂线方程解点Q的坐标，再由点Q在弦OM的中垂线上解题即可。

　　思路2:先由点Q在弦OF,OM的中垂线上，再结合切线QM斜率的不同形式表示，列出方程思考。

　　1. 立足课本，夯实基础

　　掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识，深化对基础知识的理解，重视知识间的内在联系，提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力。

　　2. 熟练通法，步步过关

　　对相对固定的题型，如弦长问题、面积问题等，解题思路、步骤相对固定，要以课本为例，以习题为模型，淡化技巧，理解通性通法，熟练步骤，能作出合理的算法途径设计，基本问题运算过关，破解“想得出，算不出、算不对”的瓶颈。

　　3. 重视抛物线的综合问题

　　重视抛物线与直线、圆等的综合研究，尤其是对性质中的一些定点、定值及相关结论的深入探究。高考试题往往有对圆锥曲线某方面几何性质的考虑，对性质深入的探究不在于知道一些结论，而是在这一过程中掌握探索的方法，理解解析几何的基本思想方法。

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