高一数学：二次函数知识点归纳

　　数学，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。下面是小编收集整理的高一数学：二次函数知识点归纳，仅供参考，大家一起来看看吧。

高一数学：二次函数知识点归纳

　　高一数学：二次函数知识点归纳 1

　　I.定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　y=ax^2+bx+c

　　(a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)

　　则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　II.二次函数的三种表达式

　　一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0)

　　顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]

　　交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

　　h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-bb^2-4ac)/2a

　　III.二次函数的图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，

　　可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

　　IV.抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

　　x=-b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为

　　P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

　　当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;

　　当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于(0，c)

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-bb^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

　　V.二次函数与一元二次方程

　　特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，

　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，

　　即ax^2+bx+c=0

　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

　　解析式

　　顶点坐标

　　对称轴

　　y=ax^2

　　(0，0)

　　x=0

　　y=a(x-h)^2

　　(h，0)

　　x=h

　　y=a(x-h)^2+k

　　(h，k)

　　x=h

　　y=ax^2+bx+c

　　(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)

　　x=-b/2a

　　当h0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

　　当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到.

　　当h0，k0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;

　　当h0，k0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

　　当h0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

　　当h0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

　　因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

　　2.抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).

　　3.抛物线y=ax^2+bx+c(a0)，若a0，当x-b/2a时，y随x的增大而减小;当x-b/2a时，y随x的增大而增大.若a0，当x-b/2a时，y随x的.增大而增大;当x-b/2a时，y随x的增大而减小.

　　4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);

　　(2)当△=b^2-4ac0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

　　(a0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|

　　当△=0.图象与x轴只有一个交点;

　　当△0.图象与x轴没有交点.当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0.

　　5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.

　　6.用待定系数法求二次函数的解析式

　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

　　y=ax^2+bx+c(a0).

　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a0).

　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a0).

　　7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。

　　高一数学：二次函数知识点归纳 2

　　1、二次函数的概念

　　1.二次函数的概念：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零。二次函数的定义域是全体实数。

　　2.二次函数的结构特征：

　　⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2。

　　⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。

　　2、数学二次函数的三种表达式

　　一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)。

　　顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]。

　　交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]。

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a。

　　3、二次函数的性质

　　1.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

　　2.k，b与函数图像所在象限：

　　当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;

　　当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

　　当b>0时，直线必通过一、二象限;

　　当b=0时，直线通过原点;

　　当b<0时，直线必通过三、四象限。

　　特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

　　这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。

　　4、初三数学二次函数图像

　　对于一般式：

　　①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称。

　　②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称。

　　③y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx+c-b2/2a关于顶点对称。

　　④y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称。(即绕原点旋转180度后得到的图形)

　　对于顶点式：

　　①y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称，即顶点(h,k)和(-h,k)关于y轴对称，横坐标相反、纵坐标相同。

　　②y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k两图像关于x轴对称，即顶点(h,k)和(h,-k)关于x轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。

　　③y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称，即顶点(h,k)和(h,k)相同，开口方向相反。

　　④y=a(x-h)2+k与y=-a(x+h)2-k关于原点对称，即顶点(h,k)和(-h,-k)关于原点对称，横坐标、纵坐标都相反。(其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况)

　　数学的学习方法和技巧总结

　　多做

　　主要是指做习题，学数学一定要做习题，并且应该适当地多做些。做习题的目的首先是熟练和巩固学习的知识;其次是初步启发灵活应用知识和培养独立思考的能力;第三是融会贯通，把不同内容的数学知识沟通起来。在做习题时，要认真审题，认真思考，应该用什么方法做?能否有简便解法?做到边做边思考边总结，通过练习加深对知识的理解。

　　必须要有错题本

　　说到错题本不少同学都觉得自己的记忆力好，不需要错题本就能记住，这是一种“错觉”，每个人都有这种感觉，等到题目增多，学习内容加深，这时就会发现自己力不从心了。

　　错题本能够随时记录自己的知识短板，帮助强化知识体系，有助于提升学习效率。有很多学霸都是因为积极使用了错题本，而考取了高分。

　　数学有理数的概念

　　(1)正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)

　　(2)正分数和负分数统称为分数

　　(3)正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

　　理解：只有能化成分数的数才是有理数。

　　①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

　　②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

　　③整数也能化成分数，也是有理数

　　注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像—2，—4，—6，—8也是偶数，—1，—3，—5也是奇数。