奥数数论的整数拆分问题习题

奥数数论的整数拆分问题习题1

　　1、把60分拆成10个素数之和，要求其中最大的素数尽可能小，那么这个最大素数是几?

　　2、一个自然数，可以分拆成3个连续自然数之和，也可以分拆成4个连续自然数之和，还可以分拆成7个连续自然数之和。这个自然数最小是几?

　　3、自然数20xx能否拆成若干个连续自然数之和?如果能，有几种不同的拆法?

　　4、百货店要将铁钉包成10包，每包数量互不相等。如果顾客来买不超过1000枚的任意个数的铁钉，都要能从这10包中适当选取而不用拆包，能否做到?若能，请给出一种包装方法：若不能，说明理由。

　　5、有一把长度为9厘米却没有刻度的尺子，能否在上面画3条刻度线，使得这把尺子可以直接测量出1---9厘米的.所有整厘米长度?若能，共有几种不同的画法?

　　把70表示成11个不同的自然数之和，同时要求含有质数的个数最多。

　　分析：先考虑把70表示成11个不同的自然数之和。因1+2+3+……+11=66，现在要将4分配到适当的加数上，使其和等于70，又要使这11个加数互不相等。先将4分别加在后四个加数上，得到四种分拆方法：

　　70=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+15

　　=1+2+3+4+5+6+7+8+9+14+11

　　=1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11

　　=1+2+3+4+5+6+7+12+9+10+11

　　再将4拆成1+3，把1和3放在适当的位置上，仅有一种新方法：

　　70==1+2+3+4+5+6+7+8+9+13+12

　　再将4拆成1+1+2或1+1+1+1或2+2，分别加在不同的位置上，都得不出新的分拆方法，故这样的分拆方法一共有五种。

　　显然，这五种分拆方法中含有质数的个数最多的是：

　　1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11

　　点金术：巧用举例和筛选法得出结论。

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