奥数整除问题

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奥数整除问题

　　在平平淡淡的日常中，我们都可能会接触到练习题，通过这些形形色色的习题，使得我们得以有机会认识事物的方方面面，认识概括化图式多样化的具体变式，从而使我们对原理和规律的认识更加的深入。你知道什么样的习题才能切实地帮助到我们吗？下面是小编整理的奥数整除问题，仅供参考，大家一起来看看吧。

　　奥数整除问题

　　数的整除性规律

　　【能被2或5整除的数的特征】一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除

　　【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3和9整除时，这个数便能被3或9整除。

　　例如，1248621各位上的数字之和是1+2+4+8+6+2+1=24

　　3|24，则3|1248621。

　　又如，372681各位上的数字之和是3+7+2+6+8+1=27

　　9|27，则9|372681。

　　【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。

　　例如，

　　173824的末两位数为24，4|24，则4|173824。

　　43586775的末两位数为75，25|75，则25|43586775。

　　【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。

　　例如，

　　32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。

　　3569824的末三位数为824，8|824，则8|3569824。

　　214813750的末三位数为750，125|750，则125|214813750。

　　【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小的差)能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。

　　例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即7|448，则7|75523。

　　又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的数是1095，1095-874=221，221÷13=17，即13|221，则13|1095874。

　　再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，967-868=99，99÷11=9，即11|99，则11|868967。

　　此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述：一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差(大减小)能被11整除时，则这个数便能被11整除。

　　例如，4239235的奇数位上的数字之和为4+3+2+5=14，偶数位上数字之和为2+9+3=14，二者之差为14-14=0，0÷11=0，即11|0，则11|4239235。

　　奥数整除问题

　　1. 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。

　　2. 根据被除式=除式×商式+余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，

　　那么式的整除的意义可以表示为：

　　若f(x)=p(x)×q(x)，则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除

　　例如∵x2-3x-4=(x-4)(x +1),

　　∴x2-3x-4能被(x-4)和(x +1)整除。

　　显然当 x=4或x=-1时x2-3x-4=0，

　　3. 一般地，若整式f(x)含有x –a的因式，则f(a)=0

　　反过来也成立，若f(a)=0,则x-a能整除f(x)。

　　4. 在二次三项式中

　　若x2+px+q=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab

　　在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。

　　奥数整除问题

　　常见的几种数的整除特征

　　(1)能被2整除的数的特征：若一个数的未位数字是偶数，则这个数能被2整除.

　　(2)能被3整除的数的特征：若一个数的各位数字之和是 3的倍数，则这个数能被3整除.

　　(3)能被4(或25)整除的数的特征：若一个数的未两位数是 4 的倍数，则这个数能被4整除.

　　(4)能被5整除的数的特征：若一个数的未位数是 0 或 5，则这个数能被5整除.

　　(5)能被6整除的数的特征：若一个数既是 2的倍数，又是 3的倍数，则这个数能被6整除.

　　(6) 能被7整除的数的特征：若一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7整除，则这个数能被7整除

　　(7)能被8(或125)整除的数的特征：若一个数的未三位数是 8的倍数，则这个数能被8整除数.

　　(8)能被9整除的数的特征：若一个数的各位数字之和是 9的倍数，则这个数能被9整除.

　　(9)能被11整除的数的特征：其奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是11的倍数。

　　(10)能被13(或7或11)整除的数的特征：若一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被13(或7或11)整除，则这个数能被13(或7或11)整除。如：六位数是7、11、13的倍数。

　　课后检测：

　　1.从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。

　　2.在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被4，8，9整除?

　　3.05能被45整除，自然数n最小是多少?

　　4.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少?

　　5.三个连续自然数，它们从小到大依次是12、13、14的倍数，这三个连续自然数中(除13外)，是13的倍数的最小数是多少?

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