关于重视数学实验的解题的几个技巧

　　谈到做实验，容易联想到物理实验、化学实验、生物实验等;谈到学数学，自然会联想到做数学题。题海战术几乎成为数学学科的代名词，难道做数学也可以做实验？

关于重视数学实验的解题的几个技巧

　　我们不妨先看一道中考题：

　　例1如图1，在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C，D都在第一象限。

　　（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标。

　　（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上。

　　（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由。

　　（1）（2）小题比较简单，略去。

　　如上即是用数学实验的方法解决了这道题。实际上，画个草图，通过观察法就能确定线段的取值范围。该方法形象直观，是解决动态问题的好方法。

　　数学课程标准指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。”

　　数学实验是为了探索数学知识、检验数学结论（或假设）而进行的某种操作或思维活动，可以使学生逐步学会数学思维的物质实践方法，掌握数学研究的规律，培养理性思考问题的习惯，能够解决学科的和实际生活的问题，并检验和论证问题的结果。这是新课标所倡导的数学素养和数学的人文价值所在！因此，应当重视数学实验的解题功能。

　　一、用数学实验解决一般与特殊的关系

　　有的人片面地认为数学抽象、枯燥无味。其实，正是数学的抽象才带来其应用的广泛性。数学主要研究一般规律，我们不可用特殊来代替一般。另一方面，特例或举例却是我们常用的探索方法，用特例可以推翻一个结论，用举例也能解题。

　　例2如图7，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E，F分别从点B，D出发以同样的速度沿边BC，DC向点C运动。给出以下四个结论：①AE=AF;②∠CEF=∠CFE;③当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形;④当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大。上述结论中正确的`序号有_________。

　　分析①②③易证是正确的。我们通过实验的方法来解决问题④。通过实验的方法，发现当E，F两点没有运动时，△AEF的面积为菱形面积的一半，当E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积应是菱形面积的一半减去△CEF的面积，所以，在E，F两点运动到中点的过程中，△AEF的面积逐渐减小，故结论④错误。这时还应通过建立函数关系式的方法来证明这个结论是错误的。

　　学生在解决动点问题时，经常会因找不到突破口而困惑，此时可以引导学生通过做数学实验获得解题途径。本题通过实验，不仅简洁解决了问题，重要的是引导学生进行观察、分析、猜想、推证等一系列思维活动，不断探索，主动建构了新知，体现了新课标强调学生对新知识的探求和创新的理念。重要的是“观察—猜想—验证—证明”，这正是数学家思维活动的浓缩。因此，在数学教学中应重视非逻辑证明的教学;适当降低和减少逻辑演绎在数学教学中的地位与时间，加强实验、猜测、类比、归纳等合情推理在数学教学中的地位与作用。

　　二、用数学实验解决精确与毛估的关系

　　毛估是一种快速的近似估算，它的基本特点是对数值作扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，更本质地看毛估，它应该是一种数学实验，是直觉基础上的一种数学意识。数学要求精确，但毛估有时还真能解决问题。

　　分析直接计算很繁，若通过实验—放缩法，可估算出S的取值范围，问题就迎刃而解了。

　　毛估这种数学实验通过具体性、经验性的实验操作活动，能不断地丰富学生的思维表象，促进学生思维由形象直观到抽象论证的转化，促进学生合情推理和演绎推理的和谐发展，培养学生的创造性思维和实践能力。

　　三、用数学实验探究解题思路

　　学生在解决运动问题时，可以引导学生通过几何画板做数学实验获得解题途径。

　　例5如图8，一个长为10米的梯子沿着墙壁滑动，梯子中点经过的路径有多长？

　　对于此题，学生的难点在于判断中点的轨迹是什么图形。可通过多画几个位置，描出中点找到规律。但利用几何画板构造图形，用跟踪点的研究就更直观。通过实验，学生可以得到其轨迹是以点C为圆心，梯子的一半长为半径的圆，根据弧长公式，可以得出，梯子中点经过的路径是2。5π。

　　当然，在画板操作后，还应该问学生为什么，达到通过数学实验促进学生抽象思维发展的目的。因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即这些点到点C的距离为AB的一半，所以梯子中点经过的路径是半径为5米的四分之一圆。

　　数学实验一般具有可操作性和实践性，注重实测与直观，让数学在“实验”的过程中对所研究的内容“可视化”，让学生从中获得对“数”“形”的观念，并逐步对其适度抽象，进行更高层次上的“再实验”，进而体会数学的研究方法和构成体系，使学生在活动中认识并改造自己的数学知识结构。

　　四、用数学实验画图解决问题

　　图，是独特的数学工具。我们常见“看图识字”“看图学……”，英文版“数学杂志”就常有“无字证明”（ProofwithoutWords）这一精彩栏目。法国数学家彭加勒说过：“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇见障碍，但是它不能告诉我们哪条路能引导我们到达目的地。为此必须从远处了望目标，了望目标的本领是直觉，没有直觉，数学家便会像这样一个作家：他只是按语法写诗，但是毫无思想。”

　　例6方程|x—|2x+1||=3的不同的解的个数是（）

　　A。0B。1C。2D。3E。4

　　分析笔者所见分类讨论法较复杂。原方程可化成x—|2x+1|=3①或x—|2x+1|=—3②。由①得|2x+1|=x—3，由图9知，无解;由②得|2x+1|=x+3，由图10知，有两解，故选C。

　　例7在一条直线上已知四个不同的点依次是A，B，C，D，那么到这四点的距离的和最小的点（）

　　A。可以是直线外某一点

　　B。只能是B点或C点

　　C。只能是线段AD的中点

　　D。有无穷多个

　　分析用计算的方法可解，但比较麻烦，如图11，我们做如下实验。首先点不会在直线AD外，由于对称性，只需考虑三种情况：点在A的左边;点在A，B两点之间;点在B，C两点之间（含端点）。哪种情况下，四条有箭头的线段长的和最小呢？答案是D。

　　《基础教育课程改革纲要（试行）》把“以学生发展为本”作为新课程的基本理念，提出“改变过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于研究、勤于动手”。通过画图，学生动手、动脑、猜测、验证，把自己置身于感性、动态的学习环境中，学生在动手实验、自主探究的过程中，体验数学发现和创造的过程、体验数学的研究精神，获得愉悦的数学学习体验，当然，画图这种数学实验，不在乎“实验”是否完全符合一般科学实验形式的标准，重要的是两者之间本质的相通。创新思维来自于创新意识，创新意识来源于创新的实践，实践的创新需要实践空间的拓展。画图这种数学实验正是数学实践空间拓展的一种重要形式。

　　随着现代科技的发展，计算机进入课堂，教学手段呈现出多样化、现代化、多媒体化，数学实验解题的功能也更加丰富起来，教育者也越来越认识到数学实验解题的重要性，因此，数学已经成为一门更具探索性、动态性的实验学科，而中学数学实验的解题功能也将更全面地体现出来。

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