高中数学反证法综合测试题

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高中数学反证法综合测试题

　　在学习、工作中，我们会经常接触并使用试题，借助试题可以更好地对被考核者的知识才能进行考察测验。你知道什么样的试题才是规范的吗？下面是小编为大家收集的高中数学反证法综合测试题，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

高中数学反证法综合测试题

　　高中数学反证法综合测试题 1

　　一、选择题

　　1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()

　　A．有一个解

　　B．有两个解

　　C．至少有三个解

　　D．至少有两个解

　　[答案] C

　　[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.

　　2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()

　　A．a、b、c都是奇数

　　B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数

　　C．a、b、c都是偶数

　　D．a、b、c中至少有两个偶数

　　[答案] B

　　[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.

　　3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是()

　　A．假设三内角都不大于60

　　B．假设三内角都大于60

　　C．假设三内角至多有一个大于60

　　D．假设三内角至多有两个大于60

　　[答案] B

　　[解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60”．故应选B.

　　4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()

　　A．假设a，b，c都是偶数

　　B．假设a、b，c都不是偶数

　　C．假设a，b，c至多有一个偶数

　　D．假设a，b，c至多有两个偶数

　　[答案] B

　　[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．

　　5．命题“△ABC中，若B，则ab”的结论的否定应该是()

　　A．a

　　B．ab

　　C．a＝b

　　D．ab

　　[答案] B

　　[解析] “ab”的否定应为“a＝b或ab”，即ab.故应选B.

　　6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()

　　A．一定是异面直线

　　B．一定是相交直线

　　C．不可能是平行直线

　　D．不可能是相交直线

　　[答案] C

　　[解析] 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.

　　7．设a，b，c(－，0)，则三数a＋1b，c＋1a，b＋1c中()

　　A．都不大于－2

　　B．都不小于－2

　　C．至少有一个不大于－2

　　D．至少有一个不小于－2

　　[答案] C

　　[解析] a＋1b＋c＋1a＋b＋1c

　　＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c

　　∵a，b，c(－，0)，

　　a＋1a＝－－a＋－1a－2

　　b＋1b＝－－b＋－1b－2

　　c＋1c＝－－c＋－1c－2

　　a＋1b＋c＋1a＋b＋1c－6

　　三数a＋1b、c＋1a、b＋1c中至少有一个不大于－2，故应选C.

　　8．若P是两条异面直线l、m外的.任意一点，则()

　　A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行

　　B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直

　　C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交

　　D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面

　　[答案] B

　　[解析] 对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m

　　则有l∥m，与l、m异面矛盾；对于C，过点P与l、m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥)；对于D，过点P与l、m都异面的直线不唯一．

　　9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()

　　A．甲

　　B．乙

　　C．丙

　　D．丁

　　[答案] C

　　[解析] 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.

　　10．已知x10，x11且xn＋1＝xn(x2n＋3)3x2n＋1(n＝1,2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn＋1，或者对任意正整数n都满足xnxn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为()

　　A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1

　　B．存在正整数n，使xn＝xn＋1

　　C．存在正整数n，使xnxn＋1且xnxn－1

　　D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)0

　　[答案] D

　　[解析] 命题的结论是“对任意正整数n，数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”．故应选D.

　　二、填空题

　　11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．

　　[答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形

　　[解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”．

　　12．用反证法证明命题“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．

　　[答案] a，b都不能被5整除

　　[解析] “至少有一个”的否定是“都不能”．

　　13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：

　　①A＋B＋C＝90＋90＋180，这与三角形内角和为180相矛盾，则A＝B＝90不成立；

　　②所以一个三角形中不能有两个直角；

　　③假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设A＝B＝90.

　　正确顺序的序号排列为____________．

　　[答案] ③①②

　　[解析] 由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.

　　14．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：

　　假设______________．设全体质数为p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.

　　显然，p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．

　　[答案] 质数只有有限多个除p1、p2、…、pn之外

　　[解析] 由反证法的步骤可得．

　　三、解答题

　　15．已知：a＋b＋c0，ab＋bc＋ca0，abc0.

　　求证：a0，b0，c0.

　　[证明] 用反证法：

　　假设a，b，c不都是正数，由abc0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，

　　不妨设a0，b0，c0，则由a＋b＋c0，

　　可得c－(a＋b)，

　　又a＋b0，c(a＋b)－(a＋b)(a＋b)

　　ab＋c(a＋b)－(a＋b)(a＋b)＋ab

　　即ab＋bc＋ca－a2－ab－b2

　　∵a20，ab0，b20，－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)0，即ab＋bc＋ca0，

　　这与已知ab＋bc＋ca0矛盾，所以假设不成立．

　　因此a0，b0，c0成立．

　　16．已知a，b，c(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于14.

　　[证明] 证法1：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数，1－a、1－b、1－c都是正数.(1－a)＋b2(1－a)b＞14＝12，

　　同理(1－b)＋c2＞12，(1－c)＋a2＞12.

　　三式相加，得

　　(1－a)＋b2＋(1－b)＋c2＋(1－c)＋a2＞32，

　　即32＞32，矛盾．

　　所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于14.

　　证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a)b14，(1－b)c14，(1－c)a14，三式相乘得

　　(1－a)b(1－b)c(1－c)a143①

　　因为01，所以0a(1－a)1－a＋a22＝14.

　　同理，0b(1－b)14，0c(1－c)14.

　　所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c143.②

　　因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．

　　17．已知函数f(x)是(－，＋)上的增函数，a，bR.

　　(1)若a＋b0，求证：f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)；

　　(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．

　　[解析] (1)证明：∵a＋b0，a－b.

　　由已知f(x)的单调性得f(a)f(－b)．

　　又a＋bb－af(b)f(－a)．

　　两式相加即得：f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)．

　　(2)逆命题：

　　f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)a＋b0.

　　下面用反证法证之．

　　假设a＋b0，那么：

　　a＋ba－bf(a)f(－b)a＋bb－af(b)f(－a)

　　f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)．

　　这与已知矛盾，故只有a＋b0.逆命题得证．

　　18．(2010湖北理，20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn＝1423n－1.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．

　　[解析] 假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(rt)按某种顺序成等差数列，由于数列{bn}是首项为14，公比为23的等比数列，于是有btbr，则只可能有2bs＝br＋bt成立．

　　21423s－1＝1423r－1＋1423t－1.

　　两边同乘3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝22s－r3t－s，

　　由于rt，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．

　　故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．

　　高中数学反证法综合测试题 2

　　一、选择题（每小题5分，计512=60分）

　　题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

　　答案

　　1. 在区间上为增函数的是: （）

　　A． B. C. D.

　　2. 已知函数，则与的大小关系是:（）

　　A. B. = C.D.不能确定

　　3. 下列命题:(1)若是增函数,则是减函数;(2)若是减函数,则是减函数;(3)若是增函数, 是减函数, 有意义,则为减函数,其中正确的个数有:（）

　　A.1B.2 C.3 D.0

　　4．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是（）

　　A．(3，8) B．(－7，－2) C．(－2，3) D．(0，5)

　　5．函数f(x)= 在区间(－2，＋)上单调递增，则实数a的取值范围是（）

　　A．(0， ) B．( ，＋) C．(－2，＋) D．(－，－1)(1，＋)

　　6．已知定义域为R的函数f(x)在区间(－，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是（）

　　A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1)

　　C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D ．f(13)＜f(－1)＜f(9)

　　7．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）

　　A．a B．a－3 C．a D．a3

　　8．已知f(x)在区间(－，＋)上是增函数，a、bR且a＋b0，则下列不等式中正确的是（）

　　A．f(a)＋f(b)－f(a)＋f(b)］ B．f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)

　　C．f(a)＋f(b)－f(a)＋f(b)］ D．f (a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)

　　9．定义在R上的函数y=f(x)在(－，2)上是增函数，且y=f(x＋2)图象的对称轴是x=0，则（）

　　A．f(－1)＜f(3) B．f (0)＞f(3) C．f (－1)=f (－3) D．f(2)＜f(3)

　　10. 已知函数在上是单调函数,则的取值范围是（）

　　A. B. C. D.

　　二、填空题（每小题4分，计44=16分）

　　11. 设函数 ,对任意实数都有成立,则函数值中,最小的一个不可能是_________

　　12. 函数是R上的单调函数且对任意实数有 . 则不等式的解集为__________

　　13．已知函数，当时，

　　14. 设设为奇函数, 且在内是减函数, ,则不等式的解集为．

　　15. 定义在（－，+）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=－f（x），且在［－1，0］上是增函数，下面是关于f（x）的判断：

　　①f（x）是周期函数；

　　②f（x）的图象关于直线x=1对称；

　　③f（x）在［0，1］上是增函数；

　　④f（x）在［1，2］上是减函数；⑤f（2）=f（0）.

　　其中正确的判断是（把你认为正确的判断都填上）

　　三、解答题（共计74分）

　　16. f(x)是定义在( 0，＋)上的增函数，且f( ) = f(x)－f(y)

　　（1）求f(1)的值．

　　（2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f( ) ＜2 ．

　　17. 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范围。

　　18.根据函数单调性的定义，判断在上的单调性并给出证明。

　　19. 设f(x)是定义在R+上的递增函数，且f(xy)=f(x) +f(y)

　　(1)求证 (2)若f(3)=1，且f(a)＞f(a-1)+2，求a的取值范围．

　　20. 二次函数

　　(1)求f(x)的解析式；

　　(2)在区间[-1，1]上，y= f(x)的图像恒在y=2x+m的图像上方，试确定实数m的`取值范围。

　　21．定义在R上的函数y=f(x)，对于任意实数m.n，恒有，且当x0时，01。

　　(1)求f(0)的值；

　　(2)求当x0时，f(x)的取值范围；

　　(3)判断f(x)在R上的单调性，并证明你的结论。

　　函数的单调性测试题答案

　　一、选择题（每小题5分，计512=60分）

　　题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

　　答案

　　二. 填空题（每小题4分，计44=16分）

　　11. 12. (－1, ) 13. 1,0 14. 15. ①②⑤

　　三．解答题（共计74分）

　　16. 解： ①在等式中，则f(1)=0．

　　②在等式中令x=36，y=6则

　　故原不等式为：即f[x(x＋3)]＜f(36)，

　　又f(x)在(0，＋)上为增函数，

　　故不等式等价于：

　　17. 解: 在上任取x1,x2,且 ,

　　则

　　∵ ,

　　x1- x20，且 .

　　(1)当a0时, ,即，

　　是上的减函数；

　　(2 )当a0时, ,即，

　　是上的增函数；

　　18. 解：因为f(x ) 是奇函数，所以f(1-a2)=-f (a2-1)，由题设f(1-a)f(a2-1)。

　　又f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-1a2-11，解得01。

　　19. 解：(1)因为，所以

　　(2)因为f(3)=1，f(9)=f(3)+f(3)=2，于是

　　由题设有解得

　　20. 解：（Ⅰ）令

　　二次函数图像的对称轴为。

　　可令二次函数的解析式为

　　由

　　二次函数的解析式为

　　（Ⅱ）∵

　　令

　　21.

　　21. 解：（1）令m=0,n0,则有

　　又由已知， n0时，01 f (0)=1

　　（2）设x0，则-x0

　　则又∵-x0 0 f(-x)

　　（3）f(x)在R上的单调递减

　　证明：设

　　又，由已知

　　…… 16分

　　由（1）、（2），

　　f(x)在R上的单调递减

　　高中数学反证法综合测试题 3

　　一、选择题:

　　1．以下元素的全体不能够构成集合的是（）

　　A. 中国古代四大发明 B. 地球上的小河流

　　C. 方程的实数解 D. 周长为10cm的三角形

　　2．给出下列关系：① ； ② ；③ ；④ . 其中正确的个数是（）

　　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

　　3．有下列说法：（ 1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为或{3，2，1}；（3）方程的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合是有限集. 其中正确的说法是（）

　　A. 只有（1）和（4） B. 只有（2）和（3）

　　C. 只有（2） D. 以上四种说法都不对

　　4．下列各组中的两个集合M和N, 表示同一集合的是（）

　　A. , B. ,

　　C. , D. ,

　　5．下面有四个语句：

　　①集合N*中最小的数是0；②－aN，则aN；③aN，bN，则a＋b的`最小值是2；④x2＋1＝2x的解集中含有2个元素．

　　其中正确语句的个数是()．

　　A．0 B．1 C．2 D．3

　　6．下列所给关系正确的个数是()．

　　①R； ②3Q； ③0N*； ④|－4|N*.

　　A．1 B．2 C．3 D．4

　　二、填空题:

　　7．已知实数，集合，则a与B的关系是 .

　　8．方程组的解集是

　　9.已知，则集合中元素x所应满足的条件为 .

　　三、解答题：

　　10.择适当的方法表示下列集合：

　　（1）二次函数的函数值组成的集合；

　　（2）函数的自变量的值组成的集合.

　　11.知集合，试用列举法表示集合A.

　　12.集合，若，求实数的值．

　　1.1.1（1）集合的含义与表示答案

　　16 BCC DAB

　　8 ,

　　10,(1)

　　(2) .

　　11,

　　12,

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