2017年宿迁市中考数学试题及答案解析
数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。下面是百分网小编带来的2016年宿迁市中考的数学试题及答案解析，希望能对大家有帮助，更多内容欢迎关注应届毕业生网!
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1.﹣2的绝对值是( )
A.﹣2 B.﹣ C. D.2
2.下列四个几何体中，左视图为圆的几何体是( )
A. B. C. D.
3.地球与月球的平均距离为384 000km，将384 000这个数用科学记数法表示为( )
A.3.84×103 B.3.84×104 C.3.84×105 D.3.84×106
4.下列计算正确的是( )
A.a2+a3=a5 B.a2a3=a6 C.(a2)3=a5 D.a5÷a2=a3
5.如图，已知直线a、b被直线c所截.若a∥b，∠1=120°，则∠2的度数为( )
A.50° B.60° C.120° D.130°
6.一组数据5，4，2，5，6的中位数是( )
A.5 B.4 C.2 D.6
7.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为( )
A.2 B. C. D.1
8.若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点(﹣1，0)，则方程ax2﹣2ax+c=0的解为( )
A.x1=﹣3，x2=﹣1 B.x1=1，x2=3 C.x1=﹣1，x2=3 D.x1=﹣3，x2=1
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
9.因式分解：2a2﹣8= .
10.计算： = .
11.若两个相似三角形的面积比为1：4，则这两个相似三角形的周长比是 .
12.若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
13.某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：
每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽的频数m 96 284 380 571 948 1902 2848
发芽的频率
0.960 0.947 0.950 0.952 0.948 0.951 0.949
那么这种油菜籽发芽的概率是 (结果精确到0.01).
14.如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 .
15.如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y= (x>0)的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y= (x>0)的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为 .
16.如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为 .
三、解答题(本大题共10题，共72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.计算：2sin30°+3﹣1+( ﹣1)0﹣ .
18.解不等式组： .
19.某校对七、八和九年级的学生进行体育水平测试，成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等第.为了解这次测试情况，学校从三个年级随机抽取200名学生的体育成绩进行统计分析.相关数据的统计图、表如下：
各年级学生成绩统计表
优秀 良好 合格 不合格
七年级 a 20 24 8
八年级 29 13 13 5
九年级 24 b 14 7
根据以上信息解决下列问题：
(1)在统计表中，a的值为 ，b的值为 ;
(2)在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为 度;
(3)若该校三个年级共有2000名学生参加考试，试估计该校学生体育成绩不合格的人数.
20.在一只不透明的袋子中装有2个白球和2个黑球，这些球除颜色外都相同.
(1)若先从袋子中拿走m个白球，这时从袋子中随机摸出一个球是黑球的事件为“必然事件”，则m的值为 ;
(2)若将袋子中的球搅匀后随机摸出1个球(不放回)，再从袋中余下的3个球中随机摸出1个球，求两次摸到的球颜色相同的概率.
21.如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC.求证：BE=CF.
22.如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向.如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗?试说明理由.(参考数据： ≈1.73)
23.如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圆.
(1)求证：AC是⊙O的切线;
(2)当BD是⊙O的直径时(如图2)，求∠CAD的度数.
24.某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元;超过30人且不超过m(30
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象.为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围.
25.已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点(A、B两点除外)，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点.
(1)如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF.求证：GF∥AC;
(2)如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M.
①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数;
②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长.
26.如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N.
(1)求N的函数表达式;
(2)设点P(m，n)是以点C(1，4)为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值;
(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点.求M与N所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数.
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1.﹣2的绝对值是( )
A.﹣2 B.﹣ C. D.2
【考点】绝对值.
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解.第一步列出绝对值的表达式;第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号.
【解答】解：∵﹣2<0，
∴|﹣2|=﹣(﹣2)=2.
故选D.
2.下列四个几何体中，左视图为圆的几何体是( )
A. B. C. D.
【考点】简单几何体的三视图.
【分析】根据左视图是从左边看所得到的图形逐一判断可得.
【解答】解：A、球的左视图是圆，故选项正确;
B、正方体的左视图是正方形，故选项错误;
C、圆锥的左视图是等腰三角形，故选项错误;
D、圆柱的左视图是长方形，故选项错误;
故选：A.
3.地球与月球的平均距离为384 000km，将384 000这个数用科学记数法表示为( )
A.3.84×103 B.3.84×104 C.3.84×105 D.3.84×106
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值是易错点，由于384 000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5.
【解答】解：384 000=3.84×105.
故选：C.
4.下列计算正确的是( )
A.a2+a3=a5 B.a2a3=a6 C.(a2)3=a5 D.a5÷a2=a3
【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
【分析】根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可判断B，根据幂的乘方底数不变指数相乘，可判断C，根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可判断D.
【解答】解：A、不是同类项不能合并，故A错误;
B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B错误;
C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C错误;
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确;
故选：D.
5.如图，已知直线a、b被直线c所截.若a∥b，∠1=120°，则∠2的度数为( )
A.50° B.60° C.120° D.130°
【考点】平行线的性质.
【分析】根据邻补角的定义求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等解答.
【解答】解：如图，∠3=180°﹣∠1=180°﹣120°=60°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=60°.
故选：B.
6.一组数据5，4，2，5，6的中位数是( )
A.5 B.4 C.2 D.6
【考点】中位数.
【分析】先将题目中数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的中位数，本题得以解决.
【解答】解：将题目中数据按照从小到大排列是：
2，4，5，5，6，
故这组数据的中位数是5，
故选A.
7.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为( )
A.2 B. C. D.1
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】根据翻折不变性，AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值.
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，
∴FB=AB=2，BM=1，
则在Rt△BMF中，
FM= ，
故选：B.
8.若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点(﹣1，0)，则方程ax2﹣2ax+c=0的解为( )
A.x1=﹣3，x2=﹣1 B.x1=1，x2=3 C.x1=﹣1，x2=3 D.x1=﹣3，x2=1
【考点】抛物线与x轴的交点.
【分析】直接利用抛物线与x轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案.
【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点(﹣1，0)，
∴方程ax2﹣2ax+c=0一定有一个解为：x=﹣1，
∵抛物线的对称轴为：直线x=1，
∴二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：(3，0)，
∴方程ax2﹣2ax+c=0的解为：x1=﹣1，x2=3.
故选：C.
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
9.因式分解：2a2﹣8= 2(a+2)(a﹣2) .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可.
【解答】解：2a2﹣8=2(a2﹣4)=2(a+2)(a﹣2).
故答案为：2(a+2)(a﹣2).
10.计算： = x .
【考点】分式的加减法.
【分析】进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式.
【解答】解： = = =x.故答案为x.
11.若两个相似三角形的面积比为1：4，则这两个相似三角形的周长比是 1：2 .
【考点】相似三角形的性质.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据似三角形周长的比等于相似比得到答案.
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，
∴这两个相似三角形的相似比为1：2，
∴这两个相似三角形的周长比是1：2，
故答案为：1：2.
12.若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k<1 .
【考点】根的判别式.
【分析】直接利用根的判别式得出△=b2﹣4ac=4﹣4k>0进而求出答案.
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4﹣4k>0，
解得：k<1，
则k的取值范围是：k<1.
故答案为：k<1.
13.某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：
每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽的频数m 96 284 380 571 948 1902 2848
发芽的频率
0.960 0.947 0.950 0.952 0.948 0.951 0.949
那么这种油菜籽发芽的概率是 0.95 (结果精确到0.01).
【考点】利用频率估计概率.
【分析】观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，即可估计出这种油菜发芽的概率.
【解答】解：观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，
则这种油菜籽发芽的概率是0.95，
故答案为：0.95.
14.如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的'长为 2 .
【考点】垂径定理.
【分析】如图，作CE⊥AB于E，在RT△BCE中利用30度性质即可求出BE，再根据垂径定理可以求出BD.
【解答】解：如图，作CE⊥AB于E.
∵∠B=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣20°﹣130°=30°，
在RT△BCE中，∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2，
∴CE= BC=1，BE= CE= ，
∵CE⊥BD，
∴DE=EB，
∴BD=2EB=2 .
故答案为2 .
15.如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y= (x>0)的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y= (x>0)的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为 .
【考点】反比例函数系数k的几何意义.
【分析】根据点A、B在反比例函数y= (x>0)的图象上，可设出点B坐标为( ，m)，再根据B为线段AC的中点可用m表示出来A点的坐标，由AD∥x轴、BE∥x轴，即可用m表示出来点D、E的坐标，结合梯形的面积公式即可得出结论.
【解答】解：∵点A、B在反比例函数y= (x>0)的图象上，
设点B的坐标为( ，m)，
∵点B为线段AC的中点，且点C在x轴上，
∴点A的坐标为( ，2m).
∵AD∥x轴、BE∥x轴，且点D、E在反比例函数y= (x>0)的图象上，
∴点D的坐标为( ，2m)，点E的坐标为( ，m).
∴S梯形ABED= ( + )×(2m﹣m)= .
故答案为： .
16.如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为 4 .
【考点】矩形的性质;等腰三角形的性质;勾股定理.
【分析】如图，当AB=AD时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个.
【解答】解：如图，当AB=AD时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，
△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形(P3B=P3C)，
则AB=AD=4，
故答案为4.
三、解答题(本大题共10题，共72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.计算：2sin30°+3﹣1+( ﹣1)0﹣ .
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简进而求出答案.
【解答】解：2sin30°+3﹣1+( ﹣1)0﹣
=2× + +1﹣2
= .
18.解不等式组： .
【考点】解一元一次不等式组.
【分析】根据解不等式组的方法可以求得不等式组的解集，从而可以解答本题.
【解答】解：
由①得，x>1，
由②得，x<2，
由①②可得，原不等式组的解集是：1
19.某校对七、八和九年级的学生进行体育水平测试，成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等第.为了解这次测试情况，学校从三个年级随机抽取200名学生的体育成绩进行统计分析.相关数据的统计图、表如下：
各年级学生成绩统计表
优秀 良好 合格 不合格
七年级 a 20 24 8
八年级 29 13 13 5
九年级 24 b 14 7
根据以上信息解决下列问题：
(1)在统计表中，a的值为 28 ，b的值为 15 ;
(2)在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为 108 度;
(3)若该校三个年级共有2000名学生参加考试，试估计该校学生体育成绩不合格的人数.
【考点】扇形统计图;用样本估计总体.
【分析】(1)根据学校从三个年级随机抽取200名学生的体育成绩进行统计分析和扇形统计图可以求得七年级抽取的学生数，从而可以求得a的值，也可以求得九年级抽取的学生数，进而得到b的值;
(2)根据扇形统计图可以求得八年级所对应的扇形圆心角的度数;
(3)根据表格中的数据可以估计该校学生体育成绩不合格的人数.
【解答】解：(1)由题意和扇形统计图可得，
a=200×40%﹣20﹣24﹣8=80﹣20﹣24﹣8=28，
b=200×30%﹣24﹣14﹣7=60﹣24﹣14﹣7=15，
故答案为：28，15;
(2)由扇形统计图可得，
八年级所对应的扇形圆心角为：360°×(1﹣40%﹣30%)=360°×30%=108°，
故答案为：108;
(3)由题意可得，
2000× =200人，
即该校三个年级共有2000名学生参加考试，该校学生体育成绩不合格的有200人.
20.在一只不透明的袋子中装有2个白球和2个黑球，这些球除颜色外都相同.
(1)若先从袋子中拿走m个白球，这时从袋子中随机摸出一个球是黑球的事件为“必然事件”，则m的值为 2 ;
(2)若将袋子中的球搅匀后随机摸出1个球(不放回)，再从袋中余下的3个球中随机摸出1个球，求两次摸到的球颜色相同的概率.
【考点】列表法与树状图法;随机事件.
【分析】(1)由必然事件的定义可知：透明的袋子中装的都是黑球，从袋子中随机摸出一个球是黑球的事件为“必然事件”才能成立，所以m的值即可求出;
(2)列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸到的球颜色相同的情况数，即可求出所求的概率.
【解答】解：
(1)∵在一只不透明的袋子中装有2个白球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，从袋子中拿走m个白球，这时从袋子中随机摸出一个球是黑球的事件为“必然事件”，
∴透明的袋子中装的都是黑球，
∴m=2，
故答案为：2;
(2)设红球分别为H1、H2，黑球分别为B1、B2，列表得：
第二球
第一球 H1 H2 B1 B2
H1 (H1，H2) (H1，B1) (H1，B2)
H2 (H2，H1) (H2，B1) (H2，B2)
B1 (B1，H1) (B1，H2) (B1，B2)
B2 (B2，H1) (B2，H2) (B2，B1)
总共有12种结果，每种结果的可能性相同，两次都摸到球颜色相同结果有4种，
所以两次摸到的球颜色相同的概率= = .
21.如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC.求证：BE=CF.
【考点】平行四边形的判定与性质.
【分析】先利用平行四边形性质证明DE=CF，再证明EB=ED，即可解决问题.
【解答】证明：∵ED∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE=CF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，
∴EB=CF.
22.如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向.如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗?试说明理由.(参考数据： ≈1.73)
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】作PC⊥AB于C，如图，∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=8，设PC=x，先判断△PBC为等腰直角三角形得到BC=PC=x，再在Rt△PAC中利用正切的定义得到8+x= ，解得x=4( +1)≈10.92，即AC≈10.92，然后比较AC与10的大小即可判断海轮继续向正东方向航行，是否有触礁的危险.
【解答】解：没有触礁的危险.理由如下：
作PC⊥AB于C，如图，∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=8，
设PC=x，
在Rt△PBC中，∵∠PBC=45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴BC=PC=x，
在Rt△PAC中，∵tan∠PAC= ，
∴AC= ，即8+x= ，解得x=4( +1)≈10.92，
即AC≈10.92，
∵10.92>10，
∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险.
23.如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圆.
(1)求证：AC是⊙O的切线;
(2)当BD是⊙O的直径时(如图2)，求∠CAD的度数.
【考点】切线的判定;圆周角定理;三角形的外接圆与外心.
【分析】(1)连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE，由已知条件得出∠ABC=∠CAD，由圆周角定理得出∠ADE=90°，证出∠AED=∠ABC=∠CAD，求出EA⊥AC，即可得出结论;
(2)由圆周角定理得出∠BAD=90°，由角的关系和已知条件得出∠ABC=22.5°，由(1)知：∠ABC=∠CAD，即可得出结果.
【解答】(1)证明：连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE，如图所示：
∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∠ADB=∠ACB+∠CAD，
∴∠ABC=∠CAD，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠EAD=90°﹣∠AED，
∵∠AED=∠ABD，
∴∠AED=∠ABC=∠CAD，
∴∠EAD=90°﹣∠CAD，
即∠EAD+∠CAD=90°，
∴EA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线;
(2)解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABC+∠ADB=90°，
∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，
∴4∠ABC=90°，
∴∠ABC=22.5°，
由(1)知：∠ABC=∠CAD，
∴∠CAD=22.5°.
24.某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元;超过30人且不超过m(30
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象.为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围.
【考点】二次函数的应用;分段函数.
【分析】(1)根据收费标准，分0
(2)由(1)可知当0
【解答】解：(1)y= .
(2)由(1)可知当0
当30
∵a=﹣1<0，
∴x≤75时，y随着x增加而增加，
∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，
∴30
25.已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点(A、B两点除外)，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点.
(1)如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF.求证：GF∥AC;
(2)如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M.
①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数;
②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长.
【考点】几何变换综合题.
【分析】(1)欲证明GF∥AC，只要证明∠A=∠FGB即可解决问题.
(2)①先证明A、D、M、C四点共圆，得到∠CMF=∠CAD=45°，即可解决问题.
②利用①的结论可知，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，利用弧长公式即可解决问题.
【解答】解：(1)如图1中，∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到，α=90°，
∴CB与CE重合，
∴∠CBE=∠A=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∵BG=AD=BF，
∴∠BGF=∠BFG=45°，
∴∠A=∠BGF=45°，
∴GF∥AC.
(2)①如图2中，∵CA=CE，CD=CF，
∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，
∵∠ACD=∠ECF，
∴∠ACE=∠CDF，
∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，
∴∠CAE=∠CDF，
∴A、D、M、C四点共圆，
∴∠CMF=∠CAD=45°，
∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°.
②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM.
∵AD=DB，CA=CB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
由①可知A、D、M、C四点共圆，
∴当α从90°变化到180°时，
点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，
∵OA=OC，CD=DA，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC=90°，
∴ 的长= = .
∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为 .
26.如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N.
(1)求N的函数表达式;
(2)设点P(m，n)是以点C(1，4)为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值;
(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点.求M与N所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)根据二次函数N的图象是由二次函数M翻折、平移得到所以a=﹣1，求出二次函数N的顶点坐标即可解决问题.
(2)由PA2+PB2=(m+1)2+n2+(m﹣1)2+n2=2(m2+n2)+2=2PO2+2可知OP最大时，PA2+PB2最大，求出OP的最大值即可解决问题.
(3)画出函数图象即可解决问题.
【解答】(1)解：二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折得到函数的解析式为y=﹣x2+1，此时顶点坐标(0，1)，
将此图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度得到二次函数图象N的顶点为(2，9)，
故N的函数表达式y=﹣(x﹣2)2+9=﹣x2+4x+5.
(2)∵A(﹣1，0)，B(1，0)，
∴PA2+PB2=(m+1)2+n2+(m﹣1)2+n2=2(m2+n2)+2=2PO2+2，
∴当PO最大时PA2+PB2最大.如图，延长OC与⊙O交于点P，此时OP最大，
∴OP的最大值=OC+PO= +1，
∴PA2+PB2最大值=2( +1)2+2=38+4 .
(3)M与N所围成封闭图形如图所示，
由图象可知，M与N所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数为25个.
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