8年级上册数学期末考试答案
一、选择题(共16小题，每小题2分，满分42分)
1.涞水的文化底蕴深厚，涞水人民的生活健康向上.下面的四幅简笔画是从涞水的文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于( )
A.60° B.72° C.90° D.108°
3.若分式 的值为零，则x的值为( )
A.0 B.1 C.－1 D.±1
4.把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为( )
A.125° B.120° C.140° D.130°
5.若等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为( )
A.12 B.16 C.20 D.16或20
6.如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF;
②AB=DE，∠B=∠E.BC=EF;
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F;
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E.
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
7.化简 的结果是( )
A. B. C. D.
8.下列二次三项式是完全平方式的是( )
A.x2－8x－16 B.x2+8x+16 C.x2－4x－16 D.x2+4x+16
9.如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点.若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何?( )
A.24° B.30° C.32° D.36°
10.若a－b= ，且a2－b2= ，则a+b的值为( )
A.－ B. C.1 D.2
11.如图，直线l1‖l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC.若∠ABC=67°，则∠1=( )
A.23° B.46° C.67° D.78°
12.如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，则BD的长为( )
A.6cm B.8cm C.3cm D.4cm
13.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，则点C的个数是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
14.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙).那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为( )
A.a2－b2=(a－b)2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a－b)2=a2－2ab+b2 D.a2－b2=(a+b)(a－b)
15.已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地.若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地.设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是( )
A. B. C. D.
16.当x分别取－2015、－2014、－2013、…，、－2、－1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于( )
A.－1 B.1 C.0 D.2014
二、填空题(共4小题，每小题3分，满分12分)
17.分解因式：2x3－4x2+2x= .
18.若点A(m+2，3)与点B(－4，n+5)关于y轴对称，则m+n= .
19.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE=2cm，AB=4cm，S△ABC=7cm2，则AC的长为 .
20.如图，已知长方形OABC，动点P从(0，3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P1(3，0)，当点P第2016次碰到长方形的边时，点P2016的坐标是 .
三、解答题(共7小题，满分66分)
21.计算：
(1)aa5－(2a3)2+(－2a2)3
(2)先化简(a－ ) ，再求值，其中a=3，b=1
(3)分解因式：(m－n)(3m+n)2+(m+3n)2(n－m)
(4)解分式方程： .
22.如图，已知∠AOB以O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA、OB于F、E两点，再分别以E、F为圆心，大于 EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线OP，过点F作FD‖OB交OP于点D.
(1)若∠OFD=116°，求∠DOB的度数;
(2)若FM⊥OD，垂足为M，求证：△FMO≌△FMD.
23.“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元?
24.如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图1中四边形ABCD就是一个“格点四边形”.
(1)求图1中四边形ABCD的面积;
(2)在图2方格纸中画一个格点三角形EFG，使△EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形.
25.如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F
(1)求证：CE=CF.
(2)将图(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图(2)所示.试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论.
26.学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务.
(1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟?
(2)学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟?
27.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E是AB边上一动点(不含端点A、B)，连接CE，过点B作CE的垂线交直线CE于点F，交直线CD于点G(如图①).
(1)求证：AE=CG;
(2)若点E运动到线段BD上时(如图②)，试猜想AE、CG的数量关系是否发生变化，请直接写出你的结论;
(3)过点A作AH垂直于直线CE，垂足为点H，并交CD的延长线于点M(如图③)，找出图中与BE相等的线段，并证明.
8年级上册数学期末考试参考答案
一、选择题(共16小题，每小题2分，满分42分)
1.涞水的文化底蕴深厚，涞水人民的生活健康向上.下面的四幅简笔画是从涞水的文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念求解.
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误;
B、不是轴对称图形，故此选项错误;
C、是轴对称图形，故此选项正确;
D、不是轴对称图形，故此选项错误.
故选：C.
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合.
2.一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于( )
A.60° B.72° C.90° D.108°
【考点】多边形内角与外角.
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180(n－2)=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案.
【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180(n－2)=540，
解得：n=5，
∴这个正多边形的每一个外角等于： =72°.
故选B.
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识.注意掌握多边形内角和定理：(n－2)180°，外角和等于360°.
3.若分式 的值为零，则x的值为( )
A.0 B.1 C.－1 D.±1
【考点】分式的值为零的条件.
【专题】计算题.
【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，由此条件解出x.
【解答】解：由x2－1=0，
得x=±1.
①当x=1时，x－1=0，
∴x=1不合题意;
②当x=－1时，x－1=－2≠0，
∴x=－1时分式的值为0.
故选：C.
【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点.
4.把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为( )
A.125° B.120° C.140° D.130°
【考点】平行线的性质;直角三角形的性质.
【分析】根据矩形性质得出EF‖GH，推出∠FCD=∠2，代入∠FCD=∠1+∠A求出即可.
【解答】解：
∵EF‖GH，
∴∠FCD=∠2，
∵∠FCD=∠1+∠A，∠1=40°，∠A=90°，
∴∠2=∠FCD=130°，
故选D.
【点评】本题考查了平行线性质，矩形性质，三角形外角性质的应用，关键是求出∠2=∠FCD和得出∠FCD=∠1+∠A.
5.若等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为( )
A.12 B.16 C.20 D.16或20
【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系.
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析.
【解答】解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在;
②当8为腰时，8－4<8<8+4，符合题意.
故此三角形的周长=8+8+4=20.
故选C.
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解.
6.如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF;
②AB=DE，∠B=∠E.BC=EF;
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F;
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E.
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【考点】全等三角形的判定.
【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断.
【解答】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF.
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF.
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF.
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF.
所以有3组能证明△ABC≌△DEF.
故符合条件的有3组.
故选：C.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法;判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键.
7.化简 的结果是( )
A. B. C. D.
【考点】分式的乘除法.
【分析】直接利用分式乘除法运算法则进而化简求出答案.
【解答】解：
= × ×
=
= .
故选：C.
【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键.
8.下列二次三项式是完全平方式的是( )
A.x2－8x－16 B.x2+8x+16 C.x2－4x－16 D.x2+4x+16
【考点】完全平方式.
【分析】根据完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】解：A、应为x2－8x+16，故A错误;
B、x2+8x+16，正确;
C、应为x2－4x+4，故C错误;
D、应为x2+4x+4，故D错误.
故选B.
【点评】本题主要考查完全平方公式的结构特点，需要熟练掌握并灵活运用.
9.如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点.若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何?( )
A.24° B.30° C.32° D.36°
【考点】线段垂直平分线的性质.
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可.
【解答】解：∵直线M为∠ABC的角平分线，
∴∠ABP=∠CBP.
∵直线L为BC的中垂线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，
即3∠ABP+60°+24°=180°，
解得∠ABP=32°.
故选：C.
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键.
10.若a－b= ，且a2－b2= ，则a+b的值为( )
A.－ B. C.1 D.2
【考点】平方差公式.
【分析】已知第二个等式左边利用平方差公式分解后，将第一个等式变形后代入计算即可求出a+b的值.
【解答】解：∵a－b= ，a2－b2=(a+b)(a－b)= ，
∴a+b= ，
故选B
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
11.如图，直线l1‖l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC.若∠ABC=67°，则∠1=( )
A.23° B.46° C.67° D.78°
【考点】等腰三角形的性质;平行线的性质.
【分析】首先由题意可得：AB=AC，根据等边对等角的性质，即可求得∠ACB的度数，又由直线l1‖l2，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数，然后根据平角的定义，即可求得∠1的度数.
【解答】解：根据题意得：AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=67°，
∵直线l1‖l2，
∴∠2=∠ABC=67°，
∵∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴∠1=180°－∠2－∠ACB=180°－67°－67°=46°.
故选B.
【点评】此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质.此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与等边对等角定理的应用.
12.如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，则BD的长为( )
A.6cm B.8cm C.3cm D.4cm
【考点】线段垂直平分线的性质;含30度角的直角三角形;三角形中位线定理.
【专题】计算题.
【分析】过A作AF‖DE交BD于F，则DE是△CAF的中位线，根据线段垂直平分线的性质，即可解答.
【解答】解：过A作AF‖DE交BD于F，则DE是△CAF的中位线，
∴AF=2DE=2，又∵DE⊥AC，∠C=30°，∴FD=CD=2DE=2，
在△AFB中，∠1=∠B=30°，
∴BF=AF=2，∴BD=4.
故选D.
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
13.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，则点C的个数是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【考点】等腰直角三角形;勾股定理.
【专题】网格型.
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边;②AB为等腰△ABC其中的一条腰.
【解答】解：如上图：分情况讨论
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个;
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.
故选：C.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定;解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解.数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.
14.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙).那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为( )
A.a2－b2=(a－b)2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a－b)2=a2－2ab+b2 D.a2－b2=(a+b)(a－b)
【考点】等腰梯形的性质;平方差公式的几何背景;平行四边形的性质.
【分析】分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式.
【解答】解：阴影部分的面积相等，即甲的面积=a2－b2，乙的面积=(a+b)(a－b).
即：a2－b2=(a+b)(a－b).
所以验证成立的公式为：a2－b2=(a+b)(a－b).
故选：D.
【点评】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键.本题主要利用面积公式求证明a2－b2=(a+b)(a－b).
15.已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地.若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地.设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是( )
A. B. C. D.
【考点】由实际问题抽象出分式方程.
【专题】行程问题.
【分析】设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为(x－12)千米/小时，根据用相同的时间甲走40千米，乙走50千米，列出方程.
【解答】解：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为(x－12)千米/小时，
由题意得， = .
故选：B.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程.
16.当x分别取－2015、－2014、－2013、…，、－2、－1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于( )
A.－1 B.1 C.0 D.2014
【考点】分式的加减法.
【分析】设a为负整数，将x=a代入得： ，将x=－ 代入得： = = ，故此可知当x互为负倒数时，两分式的和为0，然后求得当x=0时，分式的值即可.
【解答】解：设a为负整数.
∵当x=a时，分式的值= ，当x= 时，分式的值= = ，
∴当x=a时与当x= 时两分式的和= + =0.
∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0.
∴所得结果的和= =－1.
故选;A.
【点评】本题主要考查的是分式的加减，发现当x的值互为负倒数时，两分式的和为0是解题的关键.
二、填空题(共4小题，每小题3分，满分12分)
17.分解因式：2x3－4x2+2x= 2x(x－1)2 .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】先提取公因式2x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.
【解答】解：2x3－4x2+2x，
=2x(x2－2x+1)，
=2x(x－1)2.
故答案为：2x(x－1)2.
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.
18.若点A(m+2，3)与点B(－4，n+5)关于y轴对称，则m+n= 0 .
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求解即可.
【解答】解：∵点A(m+2，3)与点B(－4，n+5)关于y轴对称，
∴m+2=4，3=n+5，
解得：m=2，n=－2，
∴m+n=0，
故答案为：0.
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数;
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数;
(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.
19.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE=2cm，AB=4cm，S△ABC=7cm2，则AC的长为 3cm .
【考点】角平分线的性质.
【分析】根据角平分线的性质求出DE，根据三角形的面积公式列式计算即可.
【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF=2cm，
∴ ×AB×DE+ AC×DF=S△ABC=7，
解得，AC=3，
故答案为：3cm.
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
20.如图，已知长方形OABC，动点P从(0，3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P1(3，0)，当点P第2016次碰到长方形的边时，点P2016的坐标是 (0，3) .
【考点】规律型：点的坐标.
【专题】规律型.
【分析】按照光线反射规律，画出图形，可以发现每六次反射一个循环，最后回到起始点(0，3)，然后计算2016有几个6即可求出对应点的坐标.
【解答】解：按照光线反射规律，画出图形，如下图：
P(0，3)，
P1(3，0)，
P2(7，4)，
P3(8，3)，
P4(5，0)，
P5(1，4)，
P6(0，3)，
通过以上变化规律，可以发现每六次反射一个循环，
∵2016÷6=371，
∴P2016=P6，
∴点P2016的坐标是(0，3).
故答案为：(0，3).
【点评】题目考查了点的坐标规律性变化，解决此类问题的关键是找到待求量与序号之间的关系，题目整体难易程度适中，适合学生课后训练.
三、解答题(共7小题，满分66分)
21.计算：
(1)aa5－(2a3)2+(－2a2)3
(2)先化简(a－ ) ，再求值，其中a=3，b=1
(3)分解因式：(m－n)(3m+n)2+(m+3n)2(n－m)
(4)解分式方程： .
【考点】分式的化简求值;整式的混合运算;提公因式法与公式法的综合运用;解分式方程.
【分析】(1)先算积的乘方、同底数幂的乘法，再进一步合并即可;
(2)先通分算减法，再算乘法，最后代入求得数值即可;
(3)先利用提取公因式法，再利用平方差公式因式分解即可;
(4)利用解分式方程的步骤与方法求得方程的解即可.
【解答】解：(1)原式=a6－4a6－8a6
=－11a6;
(2)原式=
=a－b
当a=3，b=1时，
原式=3－1=2;
(3)原式=(m－n)[(3m+n)2－(m+3n)2]
=(m－n)(2m－2n)(4m+4n)
=8(m－n)2(m+n);
(4)
方程两边同乘3(x+1)得，
3x=2x+3x+3
解得：x=－
当x=－ 时，3(x+1)≠0，
所以x=－ 是原分式方程的解.
【点评】此题考查整式的混合运算，分式的化简求值，因式分解，解分式方程，掌握解答的步骤与方法是解决问题的关键.
22.如图，已知∠AOB以O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA、OB于F、E两点，再分别以E、F为圆心，大于 EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线OP，过点F作FD‖OB交OP于点D.
(1)若∠OFD=116°，求∠DOB的度数;
(2)若FM⊥OD，垂足为M，求证：△FMO≌△FMD.
【考点】全等三角形的判定;作图—复杂作图.
【分析】(1)首先根据OB‖FD，可得∠0FD+∠A0B=18O°，进而得到∠AOB的`度数，再根据作图可知OP平分∠AOB，进而算出∠DOB的度数即可;
(2)首先证明∴∠A0D=∠ODF，再由FM⊥0D可得∠OMF=∠DMF，再加上公共边FM=FM可利用AAS证明△FMO≌△FMD.
【解答】(1)解：∵OB‖FD，
∴∠0FD+∠A0B=18O°，
又∵∠0FD=116°，
∴∠A0B=180°－∠0FD=180°－116°=64°，
由作法知，0P是∠A0B的平分线，
∴∠D0B= ∠A0B=32°;
(2)证明：∵0P平分∠A0B，
∴∠A0D=∠D0B，
∵0B‖FD，
∴∠D0B=∠ODF，
∴∠A0D=∠ODF，
又∵FM⊥0D，
∴∠OMF=∠DMF，
在△MFO和△MFD中 ，
∴△MFO≌△MFD(AAS).
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，以及角的计算，关键是正确理解题意，掌握角平分线的作法，以及全等三角形的判定定理.
23.“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元?
【考点】分式方程的应用.
【专题】应用题.
【分析】设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是： ，第二批进的数量是： ，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程.
【解答】解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则
2× = ，
解得 x=30
经检验，x=30是原方程的根.
答：第一批盒装花每盒的进价是30元.
【点评】本题考查了分式方程的应用.注意，分式方程需要验根，这是易错的地方.
24.如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图1中四边形ABCD就是一个“格点四边形”.
(1)求图1中四边形ABCD的面积;
(2)在图2方格纸中画一个格点三角形EFG，使△EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形.
【考点】作图-轴对称变换.
【专题】网格型.
【分析】(1)用矩形面积减去周围三角形面积即可;
(2)画一个面积为12的等腰三角形，即底和高相乘为24即可.
【解答】解：(1)根据面积公式得：方法一：S= ×6×4=12;
方法二：S=4×6－ ×2×1－ ×4×1－ ×3×4－ ×2×3=12;
(2)(只要画出一种即可)
【点评】解答此题要明确：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形;
对称轴：折痕所在的这条直线叫做对称轴.
25.如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F
(1)求证：CE=CF.
(2)将图(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图(2)所示.试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论.
【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质;平移的性质.
【专题】几何综合题;压轴题.
【分析】(1)根据平分线的定义可知∠CAF=∠EAD，再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF，
(2)根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G，根据平移的性质得出D′E′=DE，再根据已知条件判断出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根据等量代换可知BE′=CF.
【解答】(1)证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠EAD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠EAD+∠AED=90°，
∴∠CFA=∠AED，又∠AED=∠CEF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CE=CF;
(2)猜想：BE′=CF.
证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，连接EE′，
又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG⊥AC，
∴ED=EG，
由平移的性质可知：D′E′=DE，
∴D′E′=GE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°
∵CD⊥AB于D，
∴∠B+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠B，
在△CEG与△BE′D′中，
，
∴△CEG≌△BE′D′(AAS)，
∴CE=BE′，
由(1)可知CE=CF，
∴BE′=CF.
【点评】本题主要考查了平分线的定义，平移的性质以及全等三角形的判定与性质，难度适中.
26.学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务.
(1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟?
(2)学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟?
【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用.
【专题】应用题.
【分析】(1)设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟，则王师傅的工作效率为 ，根据李老师与工人王师傅共同整理20分钟的工作量+王师傅再单独整理了20分钟的工作量=1，可得方程，解出即可;
(2)根据王师傅的工作时间不能超过30分钟，列出不等式求解.
【解答】解：(1)设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟，则王师傅的工作效率为 ，
由题意，得：20( + )+20× =1，
解得：x=80，
经检验得：x=80是原方程的根.
答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟.
(2)设李老师要工作y分钟，
由题意，得：(1－ )÷ ≤30，
解得：y≥25.
答：李老师至少要工作25分钟.
【点评】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系.
27.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E是AB边上一动点(不含端点A、B)，连接CE，过点B作CE的垂线交直线CE于点F，交直线CD于点G(如图①).
(1)求证：AE=CG;
(2)若点E运动到线段BD上时(如图②)，试猜想AE、CG的数量关系是否发生变化，请直接写出你的结论;
(3)过点A作AH垂直于直线CE，垂足为点H，并交CD的延长线于点M(如图③)，找出图中与BE相等的线段，并证明.
【考点】全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.
【分析】(1)如图①，根据等腰直角三角形的性质可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠CBF=∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出结论;
(2)如图②，根据等腰直角三角形的性质可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠CBF=∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出结论;
(3)如图③，根据等腰直角三角形的性质可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠BCE=∠CAM，由ASA就可以得出△BCE≌△CAM，就可以得出结论;
【解答】解：(1)∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB.
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°.
∵BF⊥CE，
∴∠BFC=90°，
∴∠CBF+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠CBF
∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠A=∠BCD.
在△BCG和△ACE中
，
∴△BCG≌△ACE(ASA)，
∴AE=CG;
(2)不变.AE=CG.
理由：∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB.
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°.
∵BF⊥CE，
∴∠BFC=90°，
∴∠CBF+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠CBF
∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠A=∠BCD.
在△BCG和△ACE中
，
∴△BCG≌△ACE(ASA)，
∴AE=CG;
(3)BE=CM，
：∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB.
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°.
∵AH⊥CE，
∴∠AHC=90°，
∴∠HAC+∠ACE=90°，
∴∠BCE=∠HAC.
∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠ACD=∠ABC.
在△BCE和△CAM中
，
∴△BCE≌△CAM(ASA)，
∴BE=CM.
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，线段垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.
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