2017年八年级数学上期末试卷及答案
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一、选择题
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若分式 的值为0，则( )
A.x=﹣2 B.x=0 C.x=1 D.x=1或﹣2
3.在0.51525354…、 、0.2、 、 、 、 中，无理数的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.下列说法中正确的是( )
A.9的平方根为3 B. 化简后的结果是
C. 最简二次根式 D.﹣27没有立方根
5.下列运算中正确的是( )
A. B.
C. D.
6.下列二次根式中，与 是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
7.式子 有意义的x取值范围是( )
A.x≠1 B.x≥﹣ C.x≥﹣ 且x≠1 D.x>﹣ 且x≠1
8.化简 × 结果是( )
A. B. C. D.
9.已知等腰三角形的两条边长为1和 ，则这个三角形的周长为( )
A. B. C. 或 D.
10.直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为( )
A.10 B.2 C.10或2 D.无法确定
11.如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点P到点O的距离( )
A.变小 B.不变 C.变大 D.无法判断
12.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A.∠B=∠C B.AD=AE C.BD=CE D.BE=CD
13.如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF，CE、下列说法：①CE=BF;②△ABD和△ACD面积相等;③BF∥CE;④△BDF≌△CDE.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
14.已知1≤a≤ ，化简 +|a﹣2|的结果是( )
A.2a﹣3 B.2a+3 C.1 D.3
15.某市需要铺设一条长660米的管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加10%，结果提前6天完成.求实际每天铺设管道的长度与实际施工天数.小宇同学根据题意列出方程 ﹣ =6.则方程中未知数x所表示的量是( )
A.实际每天铺设管道的长度 B.实际施工的天数
C.原计划施工的天数 D.原计划每天铺设管道的长度
16.如图，已知AB=A1B，A1B1=A1B2，A2B2=A2B3，A3B3=A3B4，…若∠A=70°，则∠An的度数为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题3分，共12分)
17. .(填“>”、“<”或“=”)
18.计算 的结果是 .
19.如图，已知△ABC的周长是24，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 .
20.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为 .
三、解答题(本题共6个小题，共66分)
21.先化简，再求值： ，其中x= ﹣1.
22.(1)计算：(3﹣ )(3+ )+ (2﹣ )
(2)解方程： +1= .
23.如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC.
(1)求证：△ABC≌△DEF;
(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由.
24.在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.
25.甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米.甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校.已知甲步行速度是乙骑自行车速度的 ，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍.甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟.
(1)求乙骑自行车的速度;
(2)当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远?
26.已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上.
(1)如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之;
(2)如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，给出证明;若不成立，请说明理由.
参考答案与试题解析
一、选择题(1-6小题，每小题2分，7-16小题，每小题2分，共42分)
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】中心对称图形;轴对称图形.
【分析】依据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义回答即可.
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误;
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误;
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误;
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确.
故选：D.
2.若分式 的值为0，则( )
A.x=﹣2 B.x=0 C.x=1 D.x=1或﹣2
【考点】分式的值为零的条件.
【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可.
【解答】解：∵分式 的值为0，
∴ ，解得x=1.
故选：C.
3.在0.51525354…、 、0.2、 、 、 、 中，无理数的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】无理数.
【分析】先把 化为 ， 化为3的形式，再根据无理数就是无限不循环小数进行解答即可.
【解答】解：∵ = ， =3，
∴在这一组数中无理数有：在0.51525354…、 、 共3个.
故选B.
4.下列说法中正确的是( )
A.9的平方根为3 B. 化简后的结果是
C. 最简二次根式 D.﹣27没有立方根
【考点】分母有理化;平方根;立方根;最简二次根式.
【分析】根据平方根和立方根的定义作判断.
【解答】解：A、9的平方根是±3，所以选项A不正确;
B、 = = ，所以选项B正确;
C、 =2 ，所以 不是最简二次根式，选项C不正确;
D、﹣27的立方根是﹣3，所以选项D不正确.
故选B.
5.下列运算中正确的是( )
A. B.
C. D.
【考点】分式的基本性质;分式的加减法.
【分析】A选项是分式的加法运算，先通分，然后再相加;B、C、D可根据分式的基本性质逐项进行判断.
【解答】解：A、 ，故A错误.
B、 ，故B错误.
C、 = ，故C正确.
D、 =x+y，故D错误.
故选C.
6.下列二次根式中，与 是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
【考点】同类二次根式.
【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案.
【解答】解：A、 =3 ，与 不是同类二次根式，故此选项错误;
B、 = ，与 ，是同类二次根式，故此选项正确;
C、 =2 ，与 不是同类二次根式，故此选项错误;
D、 = = ，与 不是同类二次根式，故此选项错误;
故选：B.
7.式子 有意义的x取值范围是( )
A.x≠1 B.x≥﹣ C.x≥﹣ 且x≠1 D.x>﹣ 且x≠1
【考点】二次根式有意义的条件.
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解.
【解答】解：由题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣ 且x≠1.
故选C.
8.化简 × 结果是( )
A. B. C. D.
【考点】二次根式的乘除法.
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案.
【解答】解： × = = .
故选：A.
9.已知等腰三角形的两条边长为1和 ，则这个三角形的周长为( )
A. B. C. 或 D.
【考点】二次根式的应用;等腰三角形的性质.
【分析】分1是腰长和底边长两种情况讨论求解.
【解答】解：1是腰时，三角形的三边分别为1、1、 ，
∵1+1=2< ，
∴此时不能组成三角形;
1是底边时，三角形的三边分别为1、 、 ，
能够组成三角形，
周长为1+ + =1+2 ，
综上所述，这个三角形的周长为1+2 .
故选B.
10.直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为( )
A.10 B.2 C.10或2 D.无法确定
【考点】勾股定理.
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即较长是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解.
【解答】解：长为8的边可能为直角边，也可能为斜边.
当8为直角边时，根据勾股定理，第三边的长= =10;
当8为斜边时，根据勾股定理，第三边的长= =2 .
故选C.
11.如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点P到点O的距离( )
A.变小 B.不变 C.变大 D.无法判断
【考点】直角三角形斜边上的中线.
【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP= AB=a，即可得出答案.
【解答】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，
理由是：连接OP，
∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a，
∴OP= AB=a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a;
故选B.
12.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A.∠B=∠C B.AD=AE C.BD=CE D.BE=CD
【考点】全等三角形的判定.
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可.
【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD;
B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD;
C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD;
D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件.
故选：D.
13.如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF，CE、下列说法：①CE=BF;②△ABD和△ACD面积相等;③BF∥CE;④△BDF≌△CDE.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】根据题意，结合已知条件与全等的判定方法对选项一一进行分析论证，排除错误答案.
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，又∠CDE=∠BDF，DE=DF，
∴△BDF≌△CDE，故④正确;
由△BDF≌△CDE，可知CE=BF，故①正确;
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD和△ACD等底等高，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确;
由△BDF≌△CDE，可知∠FBD=∠ECD
∴BF∥CE，故③正确.
故选：D.
14.已知1≤a≤ ，化简 +|a﹣2|的结果是( )
A.2a﹣3 B.2a+3 C.1 D.3
【考点】二次根式的性质与化简.
【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质，可化简整式，根据整式的加减，可得答案.
【解答】解：由1≤a≤ ，得
+|a﹣2=a﹣1+2﹣a=1，
故选：C.
15.某市需要铺设一条长660米的管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加10%，结果提前6天完成.求实际每天铺设管道的长度与实际施工天数.小宇同学根据题意列出方程 ﹣ =6.则方程中未知数x所表示的量是( )
A.实际每天铺设管道的长度 B.实际施工的天数
C.原计划施工的天数 D.原计划每天铺设管道的长度
【考点】分式方程的应用.
【分析】小宇所列方程是依据相等关系：原计划所用时间﹣实际所用时间=6，可知方程中未知数x所表示的量.
【解答】解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道(1+10%)x，
根据题意，可列方程： ﹣ =6，
所以小宇所列方程中未知数x所表示的量是原计划每天铺设管道的长度，
故选：D.
16.如图，已知AB=A1B，A1B1=A1B2，A2B2=A2B3，A3B3=A3B4，…若∠A=70°，则∠An的度数为( )
A. B. C. D.
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B1A2A1，∠B2A3A2及∠B3A4A3的度数，找出规律即可得出∠An﹣1AnBn﹣1的度数.
【解答】解：∵在△ABA1中，∠A=70°，AB=A1B，
∴∠BA1A=∠A=70°，
∵A1A2=A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，
∴∠B1A2A1= =35°;
同理可得，
∠B2A3A2=40°，∠B3A4A3=20°，
∴∠An﹣1AnBn﹣1= .
故选C.
二、填空题(每小题3分，共12分)
17. > .(填“>”、“<”或“=”)
【考点】实数大小比较;不等式的性质.
【分析】求出 >2，不等式的两边都减1得出 ﹣1>1，不等式的两边都除以2即可得出答案.
【解答】解：∵ >2，
∴ ﹣1>2﹣1，
∴ ﹣1>1
∴ > .
故答案为：>.
18.计算 的结果是 .
【考点】实数的运算.
【分析】首先化简 ，然后根据实数的运算法则计算.
【解答】解： =2 ﹣ = .
故答案为： .
19.如图，已知△ABC的周长是24，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 36 .
【考点】角平分线的性质.
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等，从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以OD，然后列式进行计算即可求解.
【解答】解：如图，连接OA，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴点O到AB、AC、BC的距离都相等，
∵△ABC的周长是24，OD⊥BC于D，且OD=3，
∴S△ABC= ×24×3=36，
故答案为：36.
20.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为 2 +2 .
【考点】轴对称-最短路线问题.
【分析】作B关于AC的对称点B′，连接B′D、B′C、BE，得B′C=BC=4，且△BB′C是等腰直角三角形，所以利用勾股定理得DB′的长，所以可以求得△BDE的周长的最小值为2 +2.
【解答】解：过B作BO⊥AC于O，延长BO至B′，使BO=B′O，连接B′D，交AC于E，连接BE、B′C，
∴AC为BB′的垂直平分线，
∴BE=B′E，B′C=BC=4，
此时△BDE的周长为最小，
∵∠B′BC=45°，
∴∠BB′C=45°，
∴∠BCB′=90°，
∵D为BC的中点，
∴BD=DC=2，
∴B′D= = =2 ，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=B′E+DE+BD=DB′+DB=2 +2，
故答案为：2 +2.
三、解答题(本题共6个小题，共66分)
21.先化简，再求值： ，其中x= ﹣1.
【考点】二次根式的化简求值;分式的混合运算.
【分析】把分子进行因式分解，和分母达到约分的目的，然后代值计算.
【解答】解：原式=
=
=
=
当x= ﹣1时，原式=1.
22.(1)计算：(3﹣ )(3+ )+ (2﹣ )
(2)解方程： +1= .
【考点】二次根式的混合运算;解分式方程.
【分析】(1)利用平方差公式进行计算，并化简即可;
(2)先去分母方程的两边同时乘以x﹣2，解方程，并进行检验.
【解答】解：(1)计算：(3﹣ )(3+ )+ (2﹣ )，
=9﹣7+2 ﹣2，
=2 ;
(2)解方程： +1= ，
去分母得：x﹣3+x﹣2=﹣3，
2x=2，
x=1，
检验：当x=1时，x﹣2=1﹣2≠0，
∴x=1是原方程的解.
23.如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC.
(1)求证：△ABC≌△DEF;
(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)先证明BC=EF，再根据SSS即可证明.
(2)结论AB∥DE，AC∥DF，根据全等三角形的性质即可证明.
【解答】(1)证明：∵BF=CE，
∴BF+FC=FC+CE，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)结论：AB∥DE，AC∥DF.
理由：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，
∴AB∥DE，AC∥DF.
24.在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.
【考点】勾股定理.
【分析】根据题意利用勾股定理表示出AD2的值，进而得出等式求出答案.
【解答】解：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，
设BD=x，则CD=14﹣x，
由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣(14﹣x)2，
故152﹣x2=132﹣(14﹣x)2，
解之得：x=9.
∴AD=12.
∴S△ABC= BC•AD= ×14×12=84.
25.甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米.甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校.已知甲步行速度是乙骑自行车速度的 ，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍.甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟.
(1)求乙骑自行车的速度;
(2)当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远?
【考点】分式方程的应用.
【分析】(1)设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是 x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，
根据题意列方程即可得到结论;
(2)300×2=600米即可得到结果.
【解答】解：(1)设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是 x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，
根据题意得 + = ﹣2，
解得：x=300米/分钟，
经检验x=300是方程的根，
答：乙骑自行车的速度为300米/分钟;
(2)∵300×2=600米，
答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米.
26.已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上.
(1)如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之;
(2)如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，给出证明;若不成立，请说明理由.
【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.
【分析】(1)得到∠ACD=∠ACB=30°后再可以证得AD=AB= AC从而，证得结论;
(2)过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F，证得△CED≌△CFB后即可得到AD+AB=AE﹣ED+AF+FB=AE+AF，从而证得结论.
【解答】(1)关系是：AD+AB=AC
证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°
∴∠CAD=∠CAB=60°
又∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠ACD=∠ACB=30°
则AD=AB= AC(直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半)
∴AD+AB=AC;
(2)仍成立.
证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F
∵AC平分∠MAN
∴CE=CF(角平分线上点到角两边距离相等)
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°
∴∠CDE=∠ABC
又∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB(AAS)
∵ED=FB，∴AD+AB=AE﹣ED+AF+FB=AE+AF
由(1)知AE+AF=AC
∴AD+AB=AC
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