2017年全国高考数学提升训练题
高三的学子们就要步入高考了，而数学又是其中非常重要的一个科目，分数比例比较大，以下是yjbys网小编整理的关于全国高考数学提升训练题，供大家练习备考。
【例1】 (08·安徽高考)在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张
卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.(Ⅰ)
现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张，测
试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，
拼音都带有后鼻音“g”的概率。(Ⅱ)若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，
求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率.
【解】 (Ⅰ)每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上，拼音带有
后鼻音“g”的概率为10(3，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，
因而所求的概率为10(3×10(3×10(3=1000(27.
(Ⅱ)设Ai(i=1，2，3)表示所抽取的三张卡片中，恰有i张卡片带有后鼻音“g”的事件，
且其相应的概率为P(Ai)，则P(A2)=7(13(210(310(3=40(7，P(A3)=3(310(310(3=120(1，
因而所求概率为P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)=40(7+120(1=60(11.
【例
2】(08·福建高考)三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分
别为5(1，4(1，3(1，且他们是否破译出密码互不影响。(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率;(Ⅱ)“密
码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大?说明理由.
【解】记“第i个人破译出密码”为事件Ai(i=1，2，3)，依题意有
P(A1)=5(1，P(A2)=4(1，P(A3)=3(1，且A1，A2，A3相互独立.
(Ⅰ)设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有
B=A1A2A3(￣+A1A2(￣A3+A1(￣A2A3，且A1A2A3(￣、A1A2(￣A3、A1(￣A2A3彼此互斥
于是P(B)=P(A1A2A3(￣)+P(A1A2(￣A3)+P(A1(￣A2A3)=5(1×4(1×3(2+5(1×4(3×3(1+5(4×4(1×3(1=20(3.
答：恰好二人破译出密码的概率为20(3.
(Ⅱ)设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D.
D=A1(￣·A2(￣·A3(￣，且A1(￣、A2(￣、A3(￣相互独立，则P(D)=P(A1(￣)·P(A2(￣)·P(A3(￣)=5(4×4(3×3(2=5(2.
而P(C)=1-P(D)=5(3，故P(C)>P(D).
答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.
【例3】 (08·重庆高考)在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确
的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：(Ⅰ)恰有两道题答
对的概率;(Ⅱ)至少答对一道题的概率.
【解】 “选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中“选
择正确”这一事件发生的概率为4(1.由独立重复试验的概率计算公式得：
(Ⅰ)恰有两道题答对的概率为P4(2)=C4(2(4(1)2(4(3)2=128(27.
(Ⅱ)解法一：至少有一道题答对的概率为1-P4(0)=1-C4(0(4(1)0(4(3)4=1-256(81=256(175.
解法二：至少有一道题答对的概率为分为4类情形：
P4(1)=C4(1(4(1)1(4(3)3=256(108，P4(2)=C4(2(4(1)2(4(3)2=128(27，P4(3)=C4(3(4(1)3(4(3)1=256(12，P4(4)=C4(4(4(1)4(4(3)0=256(1.
所以至少答对一道的概率为P4(1)+P4(2)+P4(3)+P4(4)=256(108+256(54+256(12+256(1=256(175.
【例4】 (08·湖北理)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号
的有n个(n=1，2，3，4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.(Ⅰ)求ξ的.分布列，期
望和方差;(Ⅱ)若η=aξ+b，Eη=1，Dη=11，试求a，b的值.
【解】 (Ⅰ)ξ的分布列为：
∴Eξ=0×2(1+1×20(1+2×10(1+3×20(3+4×5(1=1.5.
Dξ=(0-1.5)2×2(1+(1-1.5)2×20(1+(2-1.5)2×10(1+(3-1.5)2×20(3+(4-1.5)2×5(1=2.75.
(Ⅱ)由Dη=a2Dξ，Eη=aEξ+b，得 ( 1.5a+b=1(a2×2.75=11，解得 ( b=-2(a=2或 ( b=4(a=-2.
【例5】 (08全国Ⅱ高考)购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a
元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年
度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年
度内至少支付赔偿金10000元的概率为1-0.999 (104.(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概
率p;(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期
望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元).
【解】 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，
记投保的10000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p).
(Ⅰ)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则A(￣发生当且仅当ξ=0，
P(A)=1-P(A(￣)=1-P(ξ=0)=1-(1-p) (104
又P(A)=1-0.999 (104，故p=0.001.
(Ⅱ)该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和.
支出 10000ξ+50000，
盈利 η=10000a-(10000ξ+50000)，
盈利的期望为 Eη=10000a-10000Eξ-50000，
由ξ～B(104，10-3)知，Eξ=104×10-3，
Eη=104a-104Eξ-5×104=104a-104×104×10-3-5×104.
Eη≥0Û104a-104×104×10-3-5×104≥0Ûa≥15(元).
故每位投保人应交纳的最低保费为15元.
【例6】 (08·江西高考)因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出
两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施;若实施方案一，预计当年可以使柑桔
产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4;第二年可以使柑
桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计当年
可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5;第二年
可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案，第
二年与第一年相互独立。令ξi(i=1，2)表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的
倍数.(Ⅰ)写出ξ1、ξ2的分布列;(Ⅱ)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量
(Ⅱ)令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，
P(A)=0.15+0.15=0.3，P(B)=0.24+0.08=0.32,
可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大.
(Ⅲ)令η1表示方案所带来的效益，则
所以Eη1=10×0.35+15×0.35+20×0.3=14.75，
Eη2=10×0.35+15×0.18+20×0.32=14.75，
【例7】 (08·陕西)某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵.为调查树苗的生长情
况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为( )
A.30 B.25 C.20 D.15
【解】 设样本中松树苗的数量为，则30000(150=4000(x，解得x=20.
【例8】 (08·广东)为了调查某厂工人生产某种产品的能力，
随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[45，55]，[55，65]，
[65，75]，[75，85]，[85，95)，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天
生产该产品数量在[55，75)，的人数是________.
【解】 20×(0.040×10+0.025×10)=13.
点评：解答此类问题主要有三条途径：①利用所有分组对应的频率之和为1;②利用公
式：频率=条形图的面积=纵坐标×横坐标，或利用公式频数=样本容量×频率;③利用
频率分布图中相关数据;④利用频率分布表绘制频率分布直方图.
的概率更大?(Ⅲ)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可
带来效益10万元;两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元;柑桔
产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元;问实施哪种方案所带来的平均效益更大?
【解】(Ⅰ)ξ1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，ξ2的所有取值为0.8、0.96、
1.0、1.2、1.44.∴ξ1、ξ2的分布列分别为：
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