因式分解是代数式化简求值恒等证明解方程组的重要基，分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止，通常采用一提二公三分四变的步骤，通过基本思路达到分解多项式的目的。
因式分解训练小结
因式分解是代数式化简、求值、恒等证明、解方程（组）的重要基础，具体方法有很多：
1．拆项和添项；
2．十字相乘；
3．待定系数法；
4．综合除法；
5．余数定理与因式定理；
6．利用对称性．
卉新学校奥数思维训练9小结因式分解
知识总结归纳：
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
7. 因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
下面我们一起来回顾本章所学的内容。
1. 通过基本思路达到分解多项式的目的
例1. 分解因式x5x4x3x2x1
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5x4x3和x2x1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x5x4，32xx，x1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解一：原式(x5x4x3)(x2x1)
x(x32x1)(x2x1)
(x31)(x2x1)
(x1)(x2 2x1)(xx1)
解二：原式=(x5x4)(x3x2)(x1)
x(x1)x(x1)(x1)42
(x1)(x4
4x1)2(x1)[(x
(x1)(x22x1)x]22 x1)(xx1)
2. 通过变形达到分解的目的
例1. 分解因式x33x24
解一：将3x2拆成2x2x2，则有
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原式x3
22x2(x24)
x(x2)(x2)(x2)
(x2)(x2 x2)
2(x1)(x2)
解二：将常数4拆成13，则有
原式x31(3x
2
223)(x1)(x(x1)(xx1)(x1)(3x3)4x4)
2 (x1)(x2)
3. 在证明题中的应用
例：求证：多项式(x24)(x210x21)100的值一定是非负数
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：(x24)(x210x21)100
(x2)(x2)(x3)(x7)100
(x2)(x7)(x2)(x3)100
(x25x14)(x25x6)100
设yx25x，则
原式(y14)(y6)100y28y16(y4)2
无论y取何值都有(y4)20
(x2 4)(x210x21)100的值一定是非负数
4. 因式分解中的转化思想
例：分解因式：(a2bc)3(ab)3(bc)3
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。
解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B
原式(AB)
A33233333AB23AB3AB
22BAB3AB3AB
3AB(AB)
3(ab)(bc)(a2bc)
说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。
中考点拨：
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例1.在ABC中，三边a,b,c满足a216b2c26ab10bc0
求证：ac2b
证明：a216b2c26ab10bc0
a26ab9b
22c210bc25b220即(a3b)(c5b)0
(a8bc)(a2bc)0
abc
a8bc，即a8bc0
于是有a2bc0
即ac2b
说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。 例2. 已知：x
解：x31
x31x2，则x1x)(x231x3__________ ) (x11
x
(x1
x)[x(1
x)221]
212
1
x2说明：利用x2
题型展示： 1x2(x)2等式化繁为易。
1. 若x为任意整数，求证：(7x)(3x)(4x2)的值不大于100。
解：(7x)(3x)(4x)100
(x7)(x2)(x3)(x2)100
(x225x14)(x25x6)100
[(x25x)8(x25x)16]
(x2 5x4)20
2(7x)(3x)(4x)100
说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。
2. 将a2(a1)2(a2a)2分解因式，并用分解结果计算6272422。
解：a2(a1)2(a2a)2
a2a22a1(a2a)2
2(a2a)1(a2a)2
(a2 a1)2
6272422(3661)24321849
说明：利用因式分解简化有理数的计算。
实战模拟：
1. 分解因式：
（1）3x
（2）(a
（3）x
（4）x235210x48x233x210x8 3a3)(a23a1)52xy3y7x63x5y2
2. 已知：xy6，xy1，求：x3y3的值。
3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使x3x2yxy2y30，求矩形的面积。
4. 求证：n35n是6的倍数。（其中n为整数）
5. 已知：a、b、c是非零实数，且a2b2c21，a()b()c()3，求a+b+cbccaab111111
的值。
6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2b2c2和4a2b2的大校
【试题答案】
1. （1）解：原式x3(3x210x8)(3x210x8)
(x31)(3x
2210x8) (x1)(xx1)(x4)(3x2)
（2）解：原式[(a23a)3][(a23a)1]5
(a23a)22(a23a)8
(a23a4)(a23a2)
(a4)(a1)(a1)(a2)
（3）解：原式(x3y)(xy)3x5y2
(x3y1)(xy2)
x-3 1
x+（4）解：原式7x36x37x6
337x7x6x
2637x(x1)6(x1)
2
7x(x1)(x1)6(x1)(x
(x1)(7x
(x1)(x22x1) 7x6x26x6)x6)
(x1)(x3)(x2)
2. 解：x2y2(xy)22xy
x336238 2y3(xy)(xxyy)2
6(381)
234
3. 解：x3x2yxy2y30
(x3y)xy(xy)0
23即(xy)(xy)0
xy0
又xy14
xy7
面积为49cm2
4. 证明：n35n
n3n6n
n(n1)(n1)6n
当n为整数时，n(n1)(n1)是6的倍数。
n3 5n是6的倍数
5. 解：abc0，用abc乘以第二个条件等式的两边，得：
acabab222bcbc22ac23abc
即ab(ab)bc(bc)ac(ac)abcabcabc0
(abc)(abbcac)0
则abc0或abbcac0
若abbcac0
则(abc)(abc)2(abbcac)0
abc
22222222 1(abc)1
abc1
说明：因式分解与配方法是代数式化简与求值中常用的方法和手段，应当熟练掌握。
6. 分析：比较两式大小最基本的方法是作差看它们与零的大校 解：(a2b2c2)24a2b2
(a2b2c22ab)(a2b2c22ab)
[(ab)2c2][(ab)2c2]
(abc)(abc)(abc)(abc)
a,b,c为三角形三边，且由三角形两边之和大于第三边可知abc0，abc0，abc0，abc0
(a2b2c2)4a2b20
a2b2c24a2b2
九年级数学专题训练因式分解小结(含答案)
因式分解小结
【知识精读】
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
7. 因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
下面我们一起来回顾本章所学的内容。
【分类解析】
1. 通过基本思路达到分解多项式的目的
例1. 分解因式x5x4x3x2x1
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5x4x3和x2x1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x5x4，x3x2，x1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解一：原式(x5x4x3)(x2x1)
x3(x2x1)(x2x1)
(x31)(x2x1)
(x1)(x2x1)(x2x1)
解二：原式=(x5x4)(x3x2)(x1)
x4(x1)x2(x1)(x1)
(x1)(x4x1)
(x1)[(x2x1)x]
(x1)(x2x1)(x2x1)422
2. 通过变形达到分解的目的
例1. 分解因式x33x24
解一：将3x2拆成2x2x2，则有
原式x32x2(x24)
x2(x2)(x2)(x2)
(x2)(xx2)
(x1)(x2)22
解二：将常数4拆成13，则有
原式x31(3x23)
(x1)(x2x1)(x1)(3x3)
(x1)(x4x4)
(x1)(x2)22
3. 在证明题中的应用
例：求证：多项式(x24)(x210x21)100的值一定是非负数
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：(x24)(x210x21)100
(x2)(x2)(x3)(x7)100
(x2)(x7)(x2)(x3)100
(x25x14)(x25x6)100
设yx25x，则
原式(y14)(y6)100y28y16(y4)2
无论y取何值都有(y4)20
(x24)(x210x21)100的值一定是非负数
4. 因式分解中的转化思想
例：分解因式：(a2bc)3(ab)3(bc)3
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。
解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B
原式(AB)3A3B3
A33A2B3AB2B3A3B3
3A2B3AB2
3AB(AB)
3(ab)(bc)(a2bc)
说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。
中考点拨：
例1.在ABC中，三边a,b,c满足a216b2c26ab10bc0
求证：ac2b
证明：a216b2c26ab10bc0
a26ab9b2c210bc25b20
即(a3b)2(c5b)20
(a8bc)(a2bc)0
abc
a8bc，即a8bc0
于是有a2bc0
即ac2b
说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。
112，则x33__________ xx
111解：x33(x)(x21) xxx
11(x)[(x)221]xx
21 例2. 已知：x
2
说明：利用x2
题型展示： 12(x)2等式化繁为易。 2xx1
1. 若x为任意整数，求证：(7x)(3x)(4x2)的值不大于100。
解：(7x)(3x)(4x)100
(x7)(x2)(x3)(x2)100
(x25x14)(x25x6)1002
[(x25x)8(x25x)16]
(x25x4)20
(7x)(3x)(4x2)100
说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。
2. 将a2(a1)2(a2a)2分解因式，并用分解结果计算6272422。
解：a2(a1)2(a2a)2
a2a22a1(a2a)2
2(a2a)1(a2a)2
(a2a1)2
6272422(3661)24321849
说明：利用因式分解简化有理数的计算。
【实战模拟】
1. 分解因式：
（1）3x510x48x33x210x8
（2）(a3a3)(a3a1)522
（3）x22xy3y23x5y2
（4）x7x63
2. 已知：xy6，xy1，求：x3y3的值。
3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使x3x2yxy2y30，求矩形的面积。
4. 求证：n35n是6的倍数。（其中n为整数）
1111115. 已知：a、b、c是非零实数，且a2b2c21，a()b()c()3，求a+b+cbccaab
的值。
6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2b2c2和4a2b2的大校
【试题答案】
1. （1）解：原式x(3x10x8)(3x10x8)
(x31)(3x210x8)
(x1)(xx1)(x4)(3x2)2322
（2）解：原式[(a23a)3][(a23a)1]5
(a23a)22(a23a)8
(a23a4)(a23a2)
(a4)(a1)(a1)(a2)
（3）解：原式(x3y)(xy)3x5y2
(x3y1)(xy2)
1
2
（4）解：原式7x36x37x6
7x37x6x36
7x(x21)6(x31)
7x(x1)(x1)6(x1)(x2x1)
(x1)(7x7x6x6x6)
(x1)(x2x6)
(x1)(x3)(x2)22
2. 解：x2y2(xy)22xy
362
38x3y3(xy)(x2xyy2)
6(381)
234
3. 解：x3x2yxy2y30
(x3y3)xy(xy)0
即(xy)2(xy)0
xy0
又xy14
xy7
面积为49cm2
4. 证明：n35n
n3n6n
n(n1)(n1)6n
当n为整数时，n(n1)(n1)是6的倍数。
n5n是6的倍数3
5. 解：abc0，用abc乘以第二个条件等式的两边，得：
a2ca2bab2b2cbc2ac23abc
即ab(ab)bc(bc)ac(ac)abcabcabc0
(abc)(abbcac)0
则abc0或abbcac0
若abbcac0
则(abc)2(a2b2c2)2(abbcac)0
a2b2c21
(abc)21
abc1
说明：因式分解与配方法是代数式化简与求值中常用的方法和手段，应当熟练掌握。
6. 分析：比较两式大小最基本的方法是作差看它们与零的大校
解：(a2b2c2)24a2b2
(a2b2c22ab)(a2b2c22ab)
[(ab)2c2][(ab)2c2]
(abc)(abc)(abc)(abc)
a,b,c为三角形三边，且由三角形两边之和大于第三边可知
abc0，abc0，abc0，abc0
(abc)4ab0
a2b2c24a2b222222
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