函数法证明不等式

已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足0

函数法证明不等式

<1> 证明 0

<2>证明an+1<(1/6)×(an)^3

它提示是构造一个函数然后做差求导，确定单调性。可是还是一点思路都没有，各位能不能给出具体一点的解答过程啊?

(1)f(x)=x-sinx,f'(x)=1-cosx

00,f(x)是增函数,f(0)

因为0

且an+1=an-sinan

(2)求证不等式即(1/6)an^3-an+1=(1/6)an^3-an+sinan>0①

构造函数g(x)=(1/6)x^3-x+sinx(0

g''(x)=x-sinx,由(1)知g''(x)>0,所以g'(x)单增,g'(x)>g'(0)=0

所以g(x)单增且g(x)>g(0)=0,故不等式①成立

因此an+1<(1/6)×(an)^3 成立。

证毕!

构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式

【例1】证明不等式：≥ (人教版教材P23T4)

证明：构造函数f(x)= (x≥0)

则f(x)==1-在上单调递增

∵f(|a| + |b|)= f(|a + b|)=且|a| + |b|≥|a + b|

∴f(|a| + |b|)≥f(|a + b|) 即所证不等式正确。

点评：本题还可以继续推广。如：求证：≥。利用分式函数的单调性可以证明的教材中的习题还有很多，如：

P14第14题：已知c>a>b>0,求证:

P19第9题: 已知三角形三边的长是a，b，c，且m是正数，求证：

P12例题2:已知a，b，m，都是正数，且a 二、利用分式函数的奇偶性证明不等式

【例2】证明不等式：(x≠0)

证明：构造函数f(x)=

∵f(-x)=

=f(x)

∴f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称。

当x>0时，<0，f(x)<0;

当x<0时，-x>0,故f(x)=f(-x)<0

∴<0，即

三、构造一次函数，利用一次函数的单调性证明不等式

【例3】已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：a + b + c 证明：构造函数f(c)=(1-ab)c + a + b-2

∵|a|<1，|b|<1

∴-10

∴f(c)的(-1，1)上是增函数

∵f(1)=1-ab + a + b -2=a + b–ab -1=a(1 - b)-(1 - b)=(1 - b)(a -1)<0

∴f(1)<0，即(1-ab)c + a + b-2<0

∴a + b + c 。

【扩展阅读篇】

用文字记载一个星期来的自己的思想、学习、生活情况的文字记录。

它有别于“流水账”，日记，在于流水账是有什么就记录什么，不需要作任何修饰和认识的升华，而且内容不限，一周之内可以记录您每一天的任何事情。而周记就是：每周一次，并且对自己的生活学习思想认识有一定的升华。周记是对个人和某个团体一周的所见、所闻、所思、所感、所惑、所获的记录。还可以写一件在这一周里让你有所感触的事。

编辑本段作用

从学生角度来说，周记用来了解学生的思想动态，学习情况，答疑解惑，并通过周记的形式而置一些跟教育主题有关的主题作文，提高学生的认识，从而在全班范围内形成正确、积极、健康的舆论环境，并为主题班会准备材料，提高同学们参与的积极性。　

从老师的角度来说，周记用来回顾一周的得失，提出经验教训，让班主任对班上情况有一个更加详细和全面的了解，提高工作的针对性和准确性。老师除了用来了解同学一周发生的事情外，还用来锻炼同学的文章水平，使同学文章水平得以提高。

编辑本段格式

周记的题目(写作范围：读后感;见闻;趣事;数学周记......)

1.记事

2.自评(优，缺)

3.解决措施

4.下周计划

5.自己的所见所闻所感

其实周记并没有一种标准的格式，只需要同学们每周把自己的所看到的、听到的、想到的、经历的东西记下来，形成的文字片断或一篇文章，一周写一则就可以了。

编辑本段怎么写周记

不少同学又开始问了，周记怎么写?小学初中周记开头怎么写?

如果是一个片断，将事情写清、将要表达的意思表达完整就行了，当然，时间充裕，你可以将前因后果，你的想法补充完整，形成一篇文章。不论无论，周记没有什么特殊规定的格式，跟我们平时说话写文章一样，要求就是条理清楚地说清一件事、一个想法。

周记的关键是要真，真事、真情、真想，不要虚构。用力表达你正经历的、正思考的事，对提高你的写作能力是有帮助的，不要当作负担，也不要觉得有任何压力，因为真的.，只要排列一下就行了。

同时，周记交给老师后，也可让老师来了解你的生活、你的想法，或许对你有帮助。

去年也谈过周记怎么写，转到下面，大家再看看。

老师布置了周记作业，怎么写呢?许多同学发了愁。

其实周记也好，日记也好，都是要写一段时间内印象最深的事。周记就是本星期内的事。

回想一下这个星期发生了什么，在学习上有什么问题，班级里有什么新鲜事，和朋友老师间关系如何，这些都可以写，和日记相比周记可以写的内容更多了，需要突出一两个重点。

如果大脑里立刻就想起一二件事情，记忆深刻，那么恭喜，你就有材料了，将它们的前因后果，事情经过，个人感想写清楚吧。

有人会问：不好意思，一想到过去的几天，我印象里只记得吃了一次大餐，或者只记得被老师骂了一顿，或者跟同学闹别扭心里不爽，这些都没有重要意义，怎么能写呢?告诉你，既然你想到了，就说明是值得写的。有意义的事情，不一定非得是意义重大，思想崇高，自己的生活琐事，也是值得一写的，只要你写出你的感受。我们每天的日子不都是这些细小的沙子一样的事情组成的吗?这些沙子，串起了我们的欢笑，串起了我们的忧愁，串起了我们的无聊，引领着我们一天天，不知不觉地在长大。

更有一些同学说，这个周最无味，什么也没有发生，没什么可写的。再想想，再想想，多个心眼，仔细观察，你会找到的。

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