2016~2017年初三上册数学期末考试卷答案

　　(2)画出的直方图如图所示

　　【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力;利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

　　21.如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE=2 ，∠DPA=45°.

　　(1)求⊙O的半径;

　　(2)求图中阴影部分的面积.

　　【考点】扇形面积的计算;线段垂直平分线的性质;解直角三角形.

　　【分析】(1)根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得CO= AO= OE，解直角三角形求解.

　　(2)先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可.

　　【解答】解：(1)∵直径AB⊥DE，

　　∴CE= DE= .

　　∵DE平分AO，

　　∴CO= AO= OE.

　　又∵∠OCE=90°，

　　∴sin∠CEO= = ，

　　∴∠CEO=30°.

　　在Rt△COE中，

　　OE= = =2.

　　∴⊙O的半径为2.

　　(2)连接OF.

　　在Rt△DCP中，

　　∵∠DPC=45°，

　　∴∠D=90°﹣45°=45°.

　　∴∠EOF=2∠D=90°.

　　∴S扇形OEF= ×π×22=π.

　　∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2，

　　∴SRt△OEF= ×OE×OF=2.

　　∴S阴影=S扇形OEF﹣SRt△OEF=π﹣2.

　　【点评】此题综合考查了垂径定理和解直角三角形及扇形的面积公式.

　　22.在一个黑色的布口袋里装着白、红、黑三种颜色的小球，它们除了颜色之外没有其它区别，其中白球2只、红球1只、黑球1只.袋中的球已经搅匀.

　　(1)随机地从袋中摸出1只球，则摸出白球的概率是多少?

　　(2)随机地从袋中摸出1只球，放回搅匀再摸出第二个球.请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次都摸出白球的概率.

　　【考点】列表法与树状图法.

　　【分析】(1)让白球的个数除以球的总数即可;

　　(2)2次实验，每次都是4种结果，列举出所有情况即可.

　　【解答】解：(1)摸出白球的概率是 ;

　　(2)列举所有等可能的结果，画树状图：

　　∴两次都摸出白球的概率为P(两白)= = .

　　【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)= .注意本题是放回实验.

　　23.如图，已知二次函数y=﹣ +bx+c的图象经过A(2，0)、B(0，﹣6)两点.

　　(1)求这个二次函数的解析式;

　　(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积.

　　【考点】二次函数综合题.

　　【专题】综合题.

　　【分析】(1)二次函数图象经过A(2，0)、B(0，﹣6)两点，两点代入y=﹣ +bx+c，算出b和c，即可得解析式.(2)先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算值.

　　【解答】解：(1)把A(2，0)、B(0，﹣6)代入y=﹣ +bx+c，

　　得：

　　解得，

　　∴这个二次函数的解析式为y=﹣ +4x﹣6.

　　(2)∵该抛物线对称轴为直线x=﹣ =4，

　　∴点C的`坐标为(4，0)，

　　∴AC=OC﹣OA=4﹣2=2，

　　∴S△ABC= ×AC×OB= ×2×6=6.

　　【点评】本题是二次函数的综合题，要会求二次函数的对称轴，会运用面积公式.

　　24.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F.

　　(1)求证：DF是⊙O的切线;

　　(2)若DF=3，DE=2.

　　①求值;

　　②求∠FAB的度数.

　　【考点】切线的判定;相似三角形的判定与性质.

　　【分析】(1)作辅助线，连接OD.根据切线的判定定理，只需证DF⊥OD即可;

　　(2)①连接BD.根据BE、DF两切线的性质证明△BDE∽△ABE;又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相等求得△ABE∽△AFD，所以△BDE∽△AFD;最后由相似三角形的对应边成比例求得 = = ;②连接OC，交AD于G，由①，设BE=2x，则AD=3x，由于△BDE∽△ABE，得到比例式求得AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，根据特殊角的三角函数值即可得到结果.

　　【解答】(1)证明：如图，连结OD，

　　∵AD平分∠BAC，

　　∴∠DAF=∠DAO，

　　∵OA=OD，

　　∴∠OAD=∠ODA，

　　∴∠DAF=∠ODA，

　　∴AF∥OD，

　　∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，

　　∴DF是⊙O的切线，

　　(2)解：①连接BD，

　　∵直径AB，

　　∴∠ADB=90°，

　　∵圆O与BE相切，

　　∴∠ABE=90°，

　　∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°，

　　∴∠DAB=∠DBE，

　　∴∠DBE=∠FAD，

　　∵∠BDE=∠AFD=90°，

　　∴△BDE∽△AFD，

　　∴ = = ;

　　②连接OC，交AD于G，

　　由①，设BE=2x，则AD=3x，

　　∵△BDE∽△ABE，∴ ，∴ ，

　　解得：x1=2，x2=﹣ (不合题意，舍去)，

　　∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，

　　∴sin∠EAB= ，

　　∴∠EAB=30°，

　　∴∠FAB=60°.

　　【点评】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及扇形面积的计算.比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答.

　　25.如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4 米.

　　(1)求新传送带AC的长度.

　　(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由.

　　参考数据： .

　　【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

　　【分析】(1)在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长.

　　(2)通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC、PC的长.然后判断PC的值是否大于2米即可.

　　【解答】解：(1)如图，

　　在Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4 × =4.

　　在Rt△ACD中，

　　∵∠ACD=30°，

　　∴AC=2AD=8.

　　即新传送带AC的长度约为8米;

　　(2)结论：货物MNQP不用挪走.

　　解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4 × =4.

　　在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2 .

　　∴CB=CD﹣BD=2 ﹣4≈0.9.

　　∵PC=PB﹣CB≈4﹣0.9=3.1>2，

　　∴货物MNQP不应挪走.

　　【点评】考查了坡度坡脚问题，应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形.在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路.

　　26.科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表)：

　　温度x/℃ … ﹣4 ﹣2 0 2 4 4.5 …

　　植物每天高度增长量y/mm … 41 49 49 41 25 19.75 …

　　由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.

　　(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由;

　　(2)温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大?

　　(3)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择?请直接写出结果.

　　【考点】二次函数的应用.

　　【分析】(1)选择二次函数，设y=ax2+bx+c(a≠0)，然后选择x=﹣2、0、2三组数据，利用待定系数法求二次函数解析式即可，再根据反比例函数的自变量x不能为0，一次函数的特点排除另两种函数;

　　(2)把二次函数解析式整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答;

　　(3)求出平均每天的高度增长量为25mm，然后根据y=25求出x的值，再根据二次函数的性质写出x的取值范围.

　　【解答】解：(1)选择二次函数，设y=ax2+bx+c(a≠0)，

　　∵x=﹣2时，y=49，

　　x=0时，y=49，

　　x=2时，y=41，

　　∴ ，

　　解得，

　　所以，y关于x的函数关系式为y=﹣x2﹣2x+49;

　　不选另外两个函数的理由：

　　∵点(0，49)不可能在反比例函数图象上，

　　∴y不是x的反比例函数;

　　∵点(﹣4，41)，(﹣2，49)，(2，41)不在同一直线上，

　　∴y不是x的一次函数;

　　(2)由(1)得，y=﹣x2﹣2x+49=﹣(x+1)2+50，

　　∵a=﹣1<0，

　　∴当x=﹣1时，y有最大值为50，

　　即当温度为﹣1℃时，这种作物每天高度增长量最大;

　　(3)∵10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，

　　∴平均每天该植物高度增长量超过25mm，

　　当y=25时，﹣x2﹣2x+49=25，

　　整理得，x2+2x﹣24=0，

　　解得x1=﹣6，x2=4，

　　∴在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，实验室的温度应保持在﹣6℃

　　【点评】本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，以及利用二次函数求不等式，仔细分析图表数据并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

　　27.△ABC中，AB=AC，取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连接BE，AF交于点H.

　　(1)如图1，如果∠BAC=90°，求证：AF⊥BE并求的值;

　　(2)如图2，如果∠BAC=a，求证：AF⊥BE并用含a的式子表示 .

　　【考点】相似三角形的判定与性质.

　　【分析】连接AD，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C，∠BAD= ∠BAC，AD⊥BC，然后根据同角的余角相等可得∠ADE=∠C.易证△ADB∽△DEC，可得AD•CE=BD•DE.由此可得AD•CE= BC•2DF=BC•DF，即，由此可证到△AFD∽△BEC，则有，在Rt△ADB中根据三角函数的定义可得tan∠ABD=tan(90°﹣ ∠BAC)= = ，从而可得 = tan(90°﹣ ∠BAC).由△AFD∽△BEC可得∠DAF=∠CBE，即可得到∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°，即可得到∠AHB=90°.利用以上结论即可解决题中的两个问题.

　　【解答】解：如图1，连接AD，

　　∵AB=AC，点D是BC的中点，

　　∴∠ABC=∠C，∠BAD=∠DAC= ∠BAC，AD⊥BC，

　　∵AD⊥BC，DE⊥AC，

　　∴∠ADE+∠CDE=90°，∠C+∠CDE=90°，

　　∴∠ADE=∠C.

　　又∵∠ADB=∠DEC=90°，

　　∴△ADB∽△DEC，

　　∴ ，

　　即AD•CE=BD•DE.

　　∵点D是BC的中点，点F是DE的中点，

　　∴BD= BC，DE=2DF，

　　∴AD•CE═ BC•2DF=BC•DF，

　　∴ ，

　　又∵∠ADE=∠C，

　　∴△AFD∽△BEC，

　　∴ ，

　　在Rt△ADB中，

　　∵∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣ ∠BAC，BD= BC，

　　∴tan∠ABD=tan(90°﹣ ∠BAC)= = ，

　　∴ = tan(90°﹣ ∠BAC).

　　∵△AFD∽△BEC，

　　∴∠DAF=∠CBE.

　　∵∠CBE+∠BOD=90°，∠AOH=∠BOD，

　　∴∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°，

　　∴∠AHO=180°﹣90°=90°，即∠AHB=90°，

　　(1)如图1，

　　根据以上结论可得：

　　∠AHB=90°， = tan(90°﹣ ×90°)= ;

　　∴AF⊥BE， = ;

　　(2)如图2，

　　根据以上结论可得：∠AHB=90°， = tan(90°﹣ α);

　　∴AF⊥BE， = tan(90°﹣ α).

　　【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、等腰三角形的性质、同角的余角相等等知识，证到△AFD∽△BEC是解决本题的关键.

　　28.如图，二次函数y=ax2+bx﹣2的图象交x轴于A(1，0)、B(﹣2，0)，交y轴于点C，连接直线AC.

　　(1)求二次函数的解析式;

　　(2)点P在二次函数的图象上，圆P与直线AC相切，切点为H.

　　①若P在y轴的左侧，且△CHP∽△AOC，求点P的坐标;

　　②若圆P的半径为4，求点P的坐标.

　　【考点】二次函数综合题.

　　【分析】(1)将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，从而可求得a、b的值;

　　(2)①由切线的性质可知PH⊥AC，当H在点C下方时，由△CHP∽△AOC可知∠PCH=∠CAO从而可证明CP∥x轴，于是得到yP=﹣2，yP=﹣2代入抛物线的解析式可求得x1=0(舍去)，x2=﹣1，从而可求得P(﹣1，﹣2);如图1，当H′在点C上方时，由相似三角形的性质可知：∠P′CH′=∠CAO，故此QA=QC，设OQ=m，则QC=QA=m+1，在Rt△QOC中，由勾股定理可求得m的值，从而得到点Q的坐标，然后利用待定系数法求得直线C P′的解析式为y=﹣ x﹣2，然后将CP′与抛物线的解析式联立可求得点P′的坐标为(﹣ ， ).

　　(3)在x轴上取一点D，如图(2)，过点D作DE⊥AC于点E，使DE=4.在Rt△AOC中，由勾股定理可知AC= ，由题意可知证明△AED∽△AOC，由相似三角形的性质可求得AD=2 ，故此可得到点D的坐标为D(1﹣2 ，0)或D(1+2 ，0)，过点D作DP∥AC，交抛物线于P，利用待定系数法可求得直线AC的解析式为y=2x﹣2，于是得到直线PD的解析式为y=2x+4 ﹣2或y=2x﹣4 ﹣2，将直线PD的解析式与抛物线的解析式联立可求得点P的坐标.

　　【解答】解：(1)∵将x=1，y=0，x=﹣2，y=0代入y=ax2+bx﹣2得，解得：，

　　∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2.

　　(2)解①∵圆P与直线AC相切，

　　∴PH⊥AC.

　　(i)如图1，当H在点C下方时，

　　①∵△CHP∽△AOC，

　　∴∠PCH=∠CAO.

　　∴CP∥x轴.

　　∴yP=﹣2.

　　∴x2+x﹣2=﹣2.

　　解得x1=0(舍去)，x2=﹣1，

　　∴P(﹣1，﹣2).