古国的早期数学历史介绍
中国篇
古代中国是世界四大文明古国之一。在世界数学发展史上，古代中国的数学成就占有相当重要的位置。
在人类文化发展的初期，中国人对数学的研究成果，实际上远远领先于古巴比伦和古埃及。早在五、六千以前，古代中国人就发明了简洁的数学符号，到了三千多年前的商朝（约公元前十六世纪到公元前十一世纪），刻在甲骨和陶器上的数字，已经十分常见。通过对当时甲骨文的研究，发现其中有表示一、十、百、千、万、……的十三种计数单位，这说明当时中国人的计数方法，已经采用了人类现行的“十进制”。
中国人最早使用十进制的另一个例证， 是现行数字符号“0”原本起源于中国的古籍。中国古人在删除文章中错字的时候，采用的就是“圈除”这种方法，久而久之，这个“○”就成为表示“不存在”，也就是“零”的符号了。而古印度正式使用“0”这个符号，已经是公元876年前后的事了。只有表示“零”的符号“0”产生后，人类发明的十进制才算完备。 因此，中国是当之无愧的“十进制故乡”。
中国古人在运算过程中，采用的是“算筹”这种工具。“算筹”就是一些用木、竹制作的匀称小棍，中国古人把这些小棍纵横布置，就可以表示出任何一个自然数来。据考证，至少在两千五百多年前的春秋时代，我国古人的算筹记法就已经相当完备了。这种表示数字的方法，无疑走在世界的前列。
我国古人对圆周率的研究，就不用多说了。早在魏晋时期，著名数学家刘徽就计算出了极为准确的圆周率值——3.1416。南北朝时期伟大的数学家祖冲之，进一步计算出圆周率的准确值在3.1415926和3.1415927之间。而欧洲人在1000年之后，才计算出如此精确的圆周率。
我国周朝数学家商高是世界上最早提出勾股定理的人，早于古希腊的毕达哥拉斯。南宋时期的数学家杨辉，创立了数学史上著名的“杨辉三角”，这是人类数学史上对二项式系数的最早探究。
除此之外，中国古人发明的“乘法口诀”（也就是俗称的“九九表”），大大提高了乘法和除法的笔算效率。中国古人发明的算盘，则被世界公认为现代计算机的前身。
最奇妙的一件事，莫过于微积分的创始人之一——法国数学家莱布尼兹所认为的，中国是现代计算机理论中“二进制”的故乡。莱布尼兹对中国古籍《易经》有很深入的研究，他认为《易经》中的八卦图形，所记录的内容就是“二进制”的思想。按照他的说法，《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”无疑就是“二进制”思想的体现了。
所以说，古代中国的数学家，不愧为现代数学理论的奠基人；古代中国的数学研究成果，不愧为现代数学理论的基础。
印度篇
古代印度是个信奉佛教的国度，而古印度人对古代数学的贡献，就像佛掌上的明珠那样耀眼和引人注目。
在公元200年到1200年之间，古印度人就知道了数字符号和0符号的应用，这些符号在某些情况下和现在的数字很相近。此后，印度数学引进十进制的'数字，同样的数字在不同的位置表示完全不同的含义，这样就大大简化了数的运算，并使计数法更加明确。比如，古巴比伦的记号▼既可以表示1，也可以表示1/60，而在古印度人那里，符号1只能表示1个单位，要表示十、百等，必须在符号1的后面加上相应个数的符号0。这实在是个了不起的发明，以致于到了现代，人们在计数的时候依然沿用这种方法。
古印度人很早就会用负数表示欠债和反方向运动。他们还接受了无理数的概念，在实际计算的时候，把适用于有理数的计算方法和步骤运用到无理数中去。另外，他们还解出了一次方程和二次方程。
印度数学在几何方面没有取得大的进展，但古印度人对三角学贡献很大。这是他们热衷于研究天文学的副产品。如在他们的计算中，用到了三种量——一种相当于现代的正弦，一种相当于现代的余弦，还有一种称为“正矢”，在数量上等于1－cosα，这个三角量现在已经不用了。他们还知道一些三角量之间的关系，比如“同角正弦和余弦的平方和等于1”等等，古印度人还会利用半角表达式计算某些特殊角的三角值。
古印度人在数学史上的伟大贡献，永远被后人景仰和传诵。
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