直线回归与相关是研究变量间关系的最简单方法，正态单变量的资料即一个变量服从正态分布，做直线回归分析首先要求将两个变量划分为自变量应变量，其求解方法是用最小二乘法其公式为。
讲稿61回归与相关
变量间的关系
直线回归与相关分析
刘关键
四川大学华西临床医学院 循证医学与临床流行病学教研室
如果是一个观察指标的不同组别的比较， 统计上称之为单因素的分析方法。 如果需要分析两个或多个指标（因素）间 的关系时，可使用回归与相关分析。 回归分析可用于研究变量间的依存关系， 如，用身高估计体重的回归关系。 相关分析可用于研究变量间的相互关系， 体温与脉搏的相互关系。
直线相关与回归
直线回归与相关是研究变量间关系的最简 单方法。 直线回归（linear regression）是处理两变 量间线性关系的统计方法，它可用于表达 一个变量依存于另一变量变化的关系，属 双变量分析的范畴 。 直线相关（linear correlation）分析是描述 两变量间是否有直线关系以及直线关系的 方向和密切程度的分析方法。
直线回归分析 linear regression
一. 直线回归的主要用途
1．通过建立直线回归方程，描述 两变量间的直线关系； 2．利已知的直线回归方程，由已 知变量去估计未知变量； 3．为协方差分析的基矗
二. 直线回归的应用条件
要求两变量中，至少有一个变量服从 正态分布。即正态单变量和正态双变 量的资料均可使用直线回归分析。 正态单变量的资料，即一个变量服从 正态分布。 正态双变量的资料，即两个变量均服 从正态分布。
1
1．划分自变量组 与应变量组 直线回归的分析步骤
做直线回归分析，首先要求将两 个变量划分为： 自变量 X (independent variable) 应变量 Y (dependent variable)
某地8名正常儿童的年龄与尿肌酐含量
正态单变量的资料： 正态变量为Y，非正态变量为X 正态双变量的资料： 原因为X，结果为Y； 变异小者为X，变异大者为Y 易测变量为X，难测变量为Y
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
年龄(岁) 13 11 9 6 8 10 12 7
肌酐(mmol/24h) 3.54 3.01 3.09 2.48 2.56 3.36 3.18 2.65
2．绘制散点图
将每个观察对象的X和Y的数值， 用散点图（scatter）表示出来， 若在散点图上各点子呈直线趋 势，即可接下一步计算，否则不 能做直线回归分析。
散点图与回归关系
2
某地 8名正常儿童的年龄与尿肌酐含量的散点图
3 .6 0
3．建立回归方程
直线回归方程的一般形式：
3 .4 0
3 .2 0
Y = a + bX
Y为应变量Y(dependent)的回归值；
∧∧Cr3 .0 0
2 .8 0
2 .6 0
2 .4 0
6
7
8
9
10111213X为自变量(independent); a为截距(Intercept)； b为回归系数(coefficient)。
age
截距a，是X=0时，应变量Y的估计 值，即回归直线与纵轴的交点; 回归系数b，也称直线的斜率，它可 ∧ 表示，当X每改变一个单位时 Y平均 变化的量。 b>0，Y随X增大而增大； b<0，Y随X增大而减小； b=0， Y与X无直线回归关系。
b和a的求解法 在直线回归方程的建立过程中，主 要是要计算得到a和b。其求解方法 是用最小二乘法，其公式为：
a = YbX
b =
∑ (XX )(YY ) ∑ (XX )
2
某地正常儿童年龄与尿肌酐的回归方程
B 指标 (Constant) 年 龄 (X)
a
4．回归系数的检验
回归系数的检验又称回归方程的检验， 其目的是检验所求得的回归系数b的总体 回归系数β是否等于零，即该样本所代表 的总体是否也有直线回归关系。 其假设的一般形式为： H0：β=0 ， 两变量无直线回归关系 H1：β≠0，两变量有直线回归关系 α=0.05
Std. Error 标准误 0.297 0.030 t 5.595 4.579 Sig. 0.001 0.004
回 归系 数 1.662 0.139
Dependent Variable:肌 酐
据 此 ， 该 回 归 方 程为 ： Y =1.662+0.139X 即 ： 肌 酐=1.662+0.139× 年 龄
∧3
统计量的计算
(1)方差分析: 其基本思想是将总变异分 解为SS回归和SS剩余，然后利 用F检验来判断回归方程是 否成立。
Regression 回归 Residual 残差 Total
直线回归系数的方差分析
Sum of Squares 0.813 0.233 1.046 Mean Square 0.813 0.039
dfF
Sig.
1 6 7
20.968
0.004
(2)t检验: 其基本思想是利用样本回 归系数b与总体均数回归系 数β=0进行比较来判断回归 方程是否成立。
指标 (Constant) 年龄(X)
直线回归系数的t检验
B 回归系数 1.662 0.139
Std. Error 标准误 0.297 0.030 t 5.595 4.579 Sig. 0.001 0.004
a Dependent Variable:肌酐
(3)查表法: 在实际应用中，因为回归系数b 的检验过程较为复杂，相关系数r 的检验较为简单，两者等价，故 常用相关系数r检验的查表法来代 替回归系数b的检验。
5．回归方程的图示
根据回归方程，在坐标轴上任意取 相距较远的两点，连接上述两点就 可得到回归方程的图示。 应注意的是，回归直线不应超过X 的实测值范围。
4
某地8名正常儿童年龄与尿肌酐的回归直线图
3 .6 0
3 .4 0
3 .2 0
直线回归的应用
R S q L i e a r = 0 .7 7 8 n
Cr3 .0 0
2 .8 0
2 .6 0
2 .4 0
6
7
8
9
10111213age
1. 描述两变量之间的依存关系： 利用直线回归方程即可定量描述 两个变量间依存的数量关系。回归系 数b，可描述当X变化一个单位时，Y 平均变化的量。 2. 利用回归方程对Y变量进行估计： 将自变量X的值代入回归方程， 则可计算得到因变量Y的估计值。
3. 利用回归方程进行预测： 把预报因子（即自变量X）代入回归 方程对预报量（即因变量Y）进行估计， 即可得到个体Y值的容许区间。 4. 利用回归方程进行控制： 规定Y值的变化，通过控制X的范围 来实现统计控制的目标。如已经得到了空 气中NO2 的浓度和汽车流量间的回归方 程，即可通过控制汽车流量来控制空气中 NO2的浓度。
1．做直线回归分析要有实际意义；
直线回归应用 的注意事项
2．正态单变量或正态双变量的资料， 才能做直线回归分析； 3．回归分析前，一定要先作出散点 图； 4．直线回归方程一般只适用于X的取 值范围内，不能任意外推；
5
5．两型回归的区别(1)： 若是对正态单变量资料（Y为正态 变量）所做的回归分析为Ⅰ型回 归。 Ⅰ型回归只能计算出一个直线回 归方程，该方程一般只能用于X估 计Y，不能用于Y估计X。
5．两型回归的区别(2)： 若是对正态双变量的资料（X和Y 均为正态变量）所做的回归分析 为Ⅱ型回归。 Ⅱ型回归可以计算出两个直线回 归方程，一个是X估计Y的方程， 另一个是Y估计X的方程。
由 X 估计 Y 的方程： Y = ayx + byxX 由 Y 估计 X 的方程： X = axy + bxyY
∧ ∧
byx =
lxy SSxy = lxx SSxx
直线相关分析 linear correlation
bxy =
lxy SSxy = lyy SSyy
一. 直线相关的主要用途
描述两变量间相互 关系的 密切程度和方向。
二. 直线相关的应用条件
要求两变量中，两个变量 均要服从正态分布。 即正态双变量的资料才可 使用直线相关分析。
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１．绘制散点图 直线相关的分析步骤
将每个观察对象的X和Y的数值， 用散点图（scatter）表示出来，若 在散点图上各点子呈直线趋势，即 可接下一步计算，否则不能做直线 相关分析。
散点图与相关关系
２．计算相关系数
直线相关系数(Pearson correlation coefficient)可按下式计算：
r=∑ ( XX )(YY ) 2 2 ∑ ( XX ) ∑ (YY )
r的取值范围为：-1≤ r ≤1 0<r≤1 |r|=1 r=0 正相关 完全相关 无相关（零相关） -1≤r<0 负相关
3．相关系数的检验
相关系数的检验，其目的是检验所求得的 相关系数r的总体回归系数ρ是否等于零， 即该样本所代表的总体是否具有直线相关 关系。 其假设的一般形式为： H0： ρ = 0 ， 两变量无直线相关关系 H1： ρ ≠0， 两变量有直线相关关系 α=0.05
|r|越接近于1，两变量的关系越密 切，越接近于0关系越不密切。
7
某地12名女大学生的体重与肺活量数据
序 号 1 2 体 重 (k g ) 肺 活 量 (L )
相关系数的检验方法: t检验、查表法 t检验法是用样本与总体比较的t检 验，其检验公式如下： t=(r-0)/Sr 式中，Sr为相关系数r的标准误 查表法用r直接查相关系数的界值表 获取其概率P。
4 2 4 2 4 6 4 6 4 6 5 0 5 0 5 0 5 2 5 2 5 8 5 8
2 .5 5 2 .2 0 2 .7 5 2 .4 0 2 .8 0 2 .8 1 3 .4 1 3 .1 0 3 .4 6 2 .8 5 3 .5 0 3 .0 0
3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2
某地12名女大学生的体重与肺活量的散点图
3.6 3.4 3.2 3.0 肺活量 (L) 2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 40 42 44 46 48 50 体重( k g ) 52 54 56 58 60
相关分析实例分析
如12名女大学生的体重与肺活量的相关 关系，经计算，其相关系数为： r =0.7495 P=0.005 故可认为女大学生的体重与肺活量有正 相关关系。
1. 相关分析要有实际意义；
相关分析的注意事项
2. 相关关系不一定都是“因果”关 系； 3. 相关系数r假设检验中P的大小不 能说明相关的密切程度； 4. 直线相关和等级相关有各自不同 的适用条件。
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1．区别 直线回归与相关的 区别和联系
1. 相关描述相互关系 回归描述依存关系 2．r与b有区别 3．对资料的要求不同
2．联系
1．r与b正负号一致 2．r与b的假设检验等价 3．r与b值可相互换算 4．回归可解释相关 相关系数的平方r2(又称决定系数)是回 归平方和与总的离均差平方和之比，故 回归平方和是引入相关变量后总平方和 减少的部分。
等级相关分析 nonparametric correlation 秩相关分析 rank correlation
1．应用条件
等级相关分析可用于总体分布 未知或不满足正态双变量的计 量资料的关系分析 等级相关分析还可用于等级资 料的关系分析
2．等级相关系数
常用Spearman等级相关分析 等级相关系数rs是利用X，Y的秩次 来进行直线相关分析的。 当X，Y的相同秩次较多时，计算 出的rs需矫正。 同样，等级相关系数rs 也需要进行 假设检验。
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3．等级相关系数的计算
Spearman等级相关相关系数的计 算公式为：
例：9个居民点氟含量（X）与氟中毒 患病率（%）（Y）间的关系如下表：
居民点 1 2 3 4 5 6 7 8 9
X 0.97 1.79 2.39 2.56 3.46 3.54 3.71 3.71 6.01 Y 9.7 12.7 15.6 14.4 18.3 18.3 21.0 23.3 43.4
6Σd rs=1－ n(n2-1)
2
该例，计算结果： Spearman等级相关系数为 rs =0.975 P=0.000 可认为氟含量（X）与氟中毒患病率 （%）有正相关。 注：由rs获取概率的方法，可用查表 法、u法或统计软件计算获龋
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生物统计学讲稿--回归与相关分析
第十章回归与相关分析
第一节回归与相关的概念
一、相关关系
设有两个随机变量X与Y，对于任意随机变量的每一个可能的值，另一个随机变量都有一个确定的分布与之对应，则称这两个随机变量间存在相关关系（correlation）。例如：血压与年龄，玉米的穗长与穗重之间的关系，属于相关关系。
在研究相关关系时，由于两个随机变量是平行变化的，没有因果关系，我们只能定性地研究它们相关的密切程度和性质，这一过程称相关分析。
二、回归关系
若对于任意变量X的每一个可能的取值，随机变量 Y 都有一个确定的分布与之对应，则称 Y 存在依 X 的回归关系。
三、两个变量的散点图
在做两个变量X与Y的关系分析时，首先要搜集数据，从变量 X 中得到x1，从变量 Y 中得到 y1，我们可以得到n对数据数据（x1，y1）、（x2，y2）、……（xn，yn），为了对X、Y的关系进行初步的考察，并且直观地将其描述出来，我们可以把这些数据作为直角坐标上的点描述出来，称为散点图。
四、注意事项：
1、变量之间是否存在相关关系及在什么条件下会发生相关是由具体学科决定的
2、由于各种事物之间的相互联系和相互制约的普遍存在，因此在研究变量之间的关系，时要求试验条件的均匀性必须得到控制。
第二节一元线性回归方程
一、一元正态线性回归模型
yixii
i=1，2，3，……，n
二、参数和的估计及回归方程
abxybSSxySSx
ab三、一元线性回归方程的图示
注意：回归线是线段而非直线！
四、一元线性回归方程的估计标准误差
sxyiSSeyiyse2dfen22
2a五、b和a的总体平均数和方差aN(,)，
2bN（，b），12ssnSSxse222bsbSSx2a2a2e
复习思考题：
1．回归与相关的区别是什么？为什么在生物统计学里有时并不严格区分回归与相关？
2．进行回归与相关分析时，应注意什么事项？
第三节直线回归关系的假设测验和区间估计
一、直线回归的假设测验
1、回归系数b的显著性测验：
若H0： = 0 ，HA： 0
b0t则可以利用进行检验。 sb
2、回归截距a的显著性检验：
H0：= 0 ，HA：0
at,sa
3、两个回归方程的比较
H0：1 - 2 = 0，HA： 1 -20 ，= 0.05
tb1b2
22sbs1b2
二、回归关系的区间估计
（一）、对和的估计：
1、对的置信度为 P = 1- 的区间估计：
221 L,Lat12n2,/2senSSx
2、对的置信度为 P = 1 - 的区间估计
2se L1,L2btn2,/2SSx
（二）对回归直线 y.x 的估计
1、 对y.x=x0的（ P = 1-）的区间估计
2、 对 y0 的（P=1-）的区间估计
0t(n2,/2)L1,L2y1(x0)2s1SSxn 2e0t(n2,/2)L1,L2y1(x0)2snSSx2e
三、预报和控制
强调预报和控制的精度和有效范围。
复习思考题：
利用回归方程进行预报或控制时，应注意什么事项？
第四节 直线相关
一、相关系数
当两个变量协同变化时，度量其相关密切程度和性质的统计量，称其为相关系数。
1、相关系数的定义及公式：
2、相关系数的计算公式：
rSPSSXSSYrSSRSSY
二、相关系数的性质
当SSe= SSy 时，r2 = 0，则X与Y完全不相关。
当SSe = 0 时，r2 = 1，则X与Y完全相关。
-1r1，当 0 < r < 1时，X与Y正相关；
当-1< r <0时，X与Y负相关。
当r=0，X与Y完全不相关。
三、相关系数的计算
例题详解
四、相关系数的检验
相关系数是两个变量间相关程度的度量，r=0和| r |=1是两种极端的情况，在实际工作中，这两种情况是很少见的。
我们经常遇到的情形是0< | r | < 1，r 依赖于从总体中抽出的样本的结果。 纵然当r的总体平均数即总体相关系数=0，也不能排除由于偶然因素的影响造成的 r0，另一方面，也不能只看到0< | r | < 1，就说两者相关，而必须对相关系数 r 进行显著性测验。
1、检验的基本原理
2、应用实例
在讲授的过程中，要十分注意理论联系实际。 tSSxySSxSSyn21r2trn21r2
复习思考题：
1．什么是相关系数？如何计算？
2．相关系数检验的基本原理是什么？
3．一般认为大豆籽粒的蛋白质和脂肪含量呈明显的负相关，可是，也有人在实验中发现两者只呈弱的负相关，这种发现有什么现实意义？
第五节 曲线拟合（非线性回归分析）
（可化为直线的曲线回归方程）
通过自然现象引出曲线相关的事例。
一、对数函数曲线的拟合
1、对数方程的一般表达式，2、对数曲线的图象，3、直线化方法：
4、求 a 和 b 的值；5、应用实例
二、指数曲线的拟合
1、一般化方程；2、描述的现象（细菌的繁殖、土壤中某些杀虫剂的分解曲线 放射性同位素的衰变、水果、蔬菜的腐败和温度的关系）
3、直线化的方法；4、指数曲线的图象；5、应用实例
三、幂函数曲线的拟合
1、一般化方程；2、幂函数曲线的图象；3、直线化的方法；4、怎样知道利用对数转换
最好的方法依然是绘制两个变量的散点图，如果散点不符合直线或狭长形的椭圆，则可在双边对数纸上，再将散点绘制出来，若散点的分布符合线性或狭长椭圆，则可以进行x与y的双对数转换。
四、概率对数变换
1、概率转换：
2、对数转换：
3、半致死剂量的确定：
4、应用实例
五、曲线的检验
有时将同一组数据，我们将其做指数函数或幂函数形式的变换，都能得到X与Y的拟合曲线，并且可能在做线性回归关系检验的时候，线性关系都显著。
那么，究竟哪一条拟合曲线是最好的呢？
一般情况下，以剩余平方和或称之为误差平方和的大小来判断，即SSe最小时的拟合曲线为最好的曲线。
可以对一组数据尝试进行多种拟合，找出SSe最小，其为最好的拟合曲线。
复习思考题：
1．在对非线性的实验数据进行曲线拟合时，往往进行多种数据变换后，拟合的直线经线性相关系数检验，都达到差异显著，这时应如何取舍变换的函数？
2．如何简单判断实验数据间的回归或相关关系是线性的还是曲线的？
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