与高考同行中学数学文摘年第期，运用模拟阶段通过考试与评讲把握规律强化记忆进入考试状态，试题的来源课从五个方面描述，课本与课程标准的交集成为试题的创新地带，与高考同行中学数学文摘年第期大俗即为大雅。
高考数学复习的话题与认识
与高考同行中学数学文摘2006年第3期
1高考复习的基本经验
自从恢复高考制度以来，已经有28年了，很多东西都形成了共识，成了共同的行为，没有什么经验可谈了。但每年我们总是重复着同一个话题，而且从不厌倦，常讲常新，这是我们每一位从事高考复习的人士共同创造的奇迹。回顾这个话题是非常重要的，因为正是这些我们每年都要重申的东西，构成了我们高考复习的基本经验。这些基本经验可归为四点：
1．1时间表
通常被称为三轮复习：
第一轮复习，基础能力过关（8月中旬----次年3月初）。阅读教材，是知识系统化，提升应用能力。
第二轮复习,综合能力突破（3月初---5月中旬）。强化主干内容，把握知识的内在联系，通过解题训练，提升实战能力。
第三轮复习，应用能力提高（5月中旬---5月底）。运用模拟阶段，通过考试与评讲，把握规律，强化记忆，进入考试状态。
1．2路线图
这个路线图是什么呢？这个路线图就是强调基础，从基础出发，有基础到能力；这个路线图就是强调课本，从课本出发，在融会贯通课本内容的基础上整合，根据这个路线图，几乎每一位谈论高考的人都众口一词：依纲考本，创新求活；立足教材，注重双基；突出主干内容，强调通性通法；重视思想方法，提高思维品质，而且主干内容是什么，思想方法有哪些，我们都如数家珍。
按照时间表，遵循路线图，就是我们高考复习的运行轨迹。
1．3指南针
它是帮助我们把握高考方向的，他要求我们，必须研究《考试大纲》，必须研究近年来的全国试题和本省自主命题的试题，必须了解课程改革发展的趋势。从中可以对未来的试题做出种种猜想：我们虽然不能说某类题在2006年的试卷中一定会出现，但我们可以推测具有某些特征的题在2006年的试卷中可能会出现。某个具体的题出现是偶然的，但某类题的出现是有规律的。正是根据《考试大纲》、往届试题和课改理念，我们才能深刻地体会高考命题的四个原则：重点内容重点考查，在知识的交汇设计师题，加强思想方法的考查，不单纯追求覆盖面。
为什么要按照这样的路线图，运用这样的指南针，它是由试题的来源决定的。试题的来源课从五个方面描述：
1．31颗本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生都是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。
1．32历届高考题成为高考题的借鉴，先例可循。在对试题进行预测时，频率最高的一个关键词就是稳定，在稳定的前提下创新。强调稳定，也就是承认命题是一种自然的发展，不会有突变，命题不能割断历史：如应用题的发展史、选择题的进化史、多学科相互联系的交互式等。历年试题呈现一种规律性东西，它的发展和变化轨迹会给我们很多启示。作为各省自主命题，更是如此。只要我们把自己设想为一个命题者，作一点换位思考，这个道理也就非常明白了。
1．3．3课本与《课程标准》的交集成为试题的创新地带。如果我们的试题不能与《课程标准》的基本理念接轨，不能与时俱进，这样的试题是没有生命力的。湖北胜2004年首次自主命题，有两道题被认为最具有创新精神：第（12）题，用三角函数模拟港口与时间的关系；第（21）题，概率应用题，为预防突发事件，选择何种方案，使总费用最少。其中第（12）题可以看作《课程标准》中“数学4”参考案例的改编，也可认为源于人教版教科书《数学》21
与高考同行中学数学文摘2006年第3期第一册（下）的阅读材料：潮汐与港口水深。第（21）题与《课程标准》中选修2---3参考案例4如出一辙，也与课本中“概率统计”中章头语的引例相似。不妨设想一下，这样的题目是如何产生的呢？命题者希望题目具有时代气息，他当然要借助参考资料，比如《课程标准》，《课程标准》上的东西是否可以作为现在的高考题呢？这就得看教材，如果教材支持它，一道具有时代特色的试题也就产生了，可见，一些具有导向意义的题在课本与《课程标准》的交集处产生时非常自然的。在看北京市2005年的试卷，第（14）题关于多项式值的运算次数，第（20）题“给定单峰函数”的定义，前者是算法中的问题，后者是《优选法与实验设计初步》中的概念。联系一下《课程标准》，我们不是可以得到某种启示吗？
1．3．4高等数学的基本思想、基本问题为高考题的命制提供背景这是有两个原因构成的，一是高考题要考查学生的潜能，进一步学习的潜能，高等数学的基本思想、基本问题可以成为考查潜能得了好素材。二是命题者的背景，命题组成员中大学教师占绝对优势，他们在命题是不可能不受自身学术背景和学术兴趣的影响。
1．3．5当新增内容常规化后，竞赛题将成为一个来源。2002年全国文科第（22）题，用正三角形纸片剪拼多面体；2003年第（22）题，关于元素的排序问题，都可以说明这种趋势。这五个来源启示我们，高考复习的课程资源如何开发？应该在考试大纲的同领下，在课本、《课程标准》及相关资源、历年高考试题和初稿等数学的衔接地带着四个方面去探索。
1．4案例集
一批成功的案例，特别是高考状元，他们的成功极大地丰富了高考复习的成果，也证明了上述三条经验是行之有效的。
2高考复习的重新审视
上面的时间表、路线图、指南针和案例就是我们常讲常新的话题，下面，就在这些基本经验的基础上谈谈我们的四个观点。
2．1“突出基本方法，规避题性八股”是永远的主题
高考题是教育文化的产物，他和时装文化一样，也会有一些流行元素，存在着时尚问题，但“突出基本方法，规避题型八股”这个主题是不变的，比如选择题，1995年以前，强调全面考查知识，不提倡使用对付选择题的方法来解决选择题，那时就出现了很多技巧，使对付选择题的，命题者的对策就是让这些技巧失灵，从而回归倒基础知识的理解上，后来通过题型功能的研究，发现选择题具有考查直觉思维、合情推理的特殊功能，因而出现了必须用特殊方法作答的选择题，但同时产生的信息是：不用解解答题的方法来解选择题，致使解选择题的方法再度成为热点和套路，如果我们研究一下2003年以来的选择题，就会发现这些套路的作用并不大，最终还得回到常态，根据问题特征来决定解法，以基本方法为主。再如应用题，他曾经是高考复习的难点，主要包括三个问题：应用题所关注的背景，从怎样的现实生活中产生；应用题所涉及的领域，运用怎样的数学知识和方法；应用题中关于建模层次要求，也就是说数学模型是学生已知的，使用某种方式告知的，还是需要探究的。回顾1995年以来的高考应用题，就会发现，应用题主要涉及两大领域：一是函数（含数列）模型；二是概率模型。落脚点始终在基本问题和基本方法上。因为上述两大领域，前者是描述客观世界变化规律的重要数学模型，后者本身就是应用性课题。
前者说的是稳定，是基础，那么如何体现创新呢？创新大致包括如下午各方面，其核心是“规避题型八股”。
2．1．1适时谮越基本取向，让冷点出奇不意
试题的基本走向体现了课程改革的方向，也体现了命题的发展方向，但他同时也是人们追逐的热点，容易成为模式，而模式化的东西也是与高考命题的精神是背道而驰的。因此，试卷中常常会出其不意地冒出一些冷点，比如2004年全国（2）第17题，这样题所考查的都是一些基本东西，但却被排除在复习资料之外，本来是很平凡的题，却起到了新颖别致，22
与高考同行中学数学文摘2006年第3期大俗即为大雅。
2．1．2注意打破解题套路，让思考返朴归真
一个有经验的老师，在高考复习中思考的问题就是如何“应对”高考命题；一个成熟的命题者所思考的问题，就是在充分关注全体考生适应性的前提下，适当地反“应对”，就是我们所说的创新，最成功的反“应对”是什么呢？就是出这样的题：选用的素材是平凡的，方法也是基本的，与某些模式化的东西似是而非，如果以来套路，它会很难；如果注重思考，它就会变得非常简单，它与前款一样，也是在平凡中出新。2004年全国（2）卷第（12）题给了我们深刻的启示，这道题是：
a2b21,b2c22,c2a22,则abbcca的最小值为（）
A．－12B．1－32C．－1－2D．1+2
看到这道题，我们首先想到的是什么呢？无论是不等式中的算术----几何平均不等式，还是向量中的模与内积，都容易使我们联想到不等式阿ab+bc+ca<=a^2+b^2+c^2,如果按照这样的思路，我们就会陷入困境，另外容易想到三角代换，这样解也是可以的，但把问题复杂化乐。实际上，已知条件不就是一个三元一次方程吗？解出这个方程组不是非常简单吗？问题是，这种最基本最简单的解法，却被模式遮蔽了。
2．1．3题升常识与经验的作用，让感悟取代记忆
谮越基本去向，冷点成为创新题，打破套路，基本题成为创新题；同样打破“知识是能力的载体”这一信条，让试题直接指向能力。如1998年，向水瓶注水，根据水量与水深的关系判断水平的形状；2001年，有网络的信息传输图，求通过的最大信息量，这样的题目把知识的要求降低到零点，需要的知识思想甚至市常识，这样的题不多，但足以鉴别考生的能力。
2．1．4坚持多样化的原则，让题型更加丰富
首先是语言的多样化，不只是文字语言提供的信息，还更加注重符号语言，图形语言以及算法框图给出的信息，试卷的一个明显的趋势，将越来越具有“读图时代”的特点。其次是结构的多样化，特别是伴随“简易逻辑”的出台出现了“非”、“或”、“且”结构的试题，其三是设问方式的多样化出开放探索性试题外，还出现了类比推广型试题，这种趋势的特点是，不仅考查结论，还要考查过程。
2．1．5落实《考试大纲》的精神，让创新元素具体化
我们可以设想一下命题者的心理，命题者怎么想呢？作为一个命题者，他当然希望自己命制的题目是教师满意，而又可以把不同能力的学生区分出来，他希望试题的基本结构和风格稳定，但又不落俗套；他希望贴近教学实际，但又有不同凡响的地方，但越是创新部分，越23
是不同凡响的地方，越是要经得起《考试大纲》的考量，因为创新是要承担风险的。一个命题者，要有所作为，他往往会关注三个问题：
（1）关于实践能力的考查，比如应用题。如何积达到必需的要求，有充分考虑考生的适
应性?
（2）创新题的增长点在哪里？
比如为了避开知识应用的题型化倾向，能否在必要的情况下，定义一些临时概念，以考查学生的理解能力和自主能力。
同样为了避开题型化倾向，能否跳出常规。比如我们在平面上讨论点的轨迹，确定轨迹的相关几何对象也在这个平面上，能否在某几何体的侧面上讨论几何点的轨迹，而相关的集合对象并不在同一面上呢？这就涉及空间的位置关系。
再比如，考纲要求考查估算，而估算再教材中是没有的，如何体现？其实，数学中的基础知识，如函数的单调性、函数的图像、二项式定理等都是估算的依据，如何开放他们在估算中的应用价值？
《考试大纲》要求命题者精心设计好三种试题，这无疑是创新的生长点，应引起我们足够的重视。这三种题是：考查学生的主体内容，体现数学素质的试题；反映数、形运动变化的试题，研究型、探究形、开放型试题。考纲要求精心设计的者三种题，是对命题者要求，同时也警示我们，必须改变复习方式，研究型、探究形、开放型试题只能用研究性的学习来对付。很难设想用知识归类，题型训练的方法可以解决高考试题不断出现的新问题。要让学生在复习中经历数学的探究的过程。这个过程应该包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明。所选课题应该多样化，可以使某些数学结果的推广和深入，也可以使不同数学内容之间的联系和对比，还可以时发现和探索对自己来说时新的数学成果。基础知识的问题要靠夯实际出的办法来解决，开放性试题必须要开放性教学来应对。“没有复杂的问题和简单的问题，只有思考过的问题和没有思考的问题“。因此，一定要让学生经历探究的过程，见识必要的题型。
（3）命题者会思考的第三个问题是，如何体现个性品质的要求？其中包括视野、价值、理性精神和思维习惯等。比如解答题，只要结果是不行的，还必须有证明，这就是理性精神的诉求；有些题是需要分多种情况讨论，要注意公式的使用场合，就是在考查慎密思维的习惯；对某些有创意的题；如2001年网络的信息流问题，对知识的要求几乎近于0，你能不能超越知识，运用常识，这就需要更宽广的视野。
试卷中会渗进创新元素，但也不可能走的太远，要始终坚持最基本的东西，坚持把重点放在系统地掌握课程内容的联系上。如果你审视一下关于创新的五个方面，就会发现考纲、课本、历届高考题这三件东西，对命题者来说，既是矛，也是盾。说它是矛，因为它是命题者的依据。说它是盾，因为它也是命题者因创新二抵御风险的理由。当一题收到非议时，只要能从这三样东西中找到某种解释，它的存在就是理直气壮的，我们也许应该相信这样的观点：一道高考题的出现，就像物种的生存一样，不是弱者生存（完全没有思考性的题目不宜作为高考题），也不是强者生存（那些最具有创新特征，只有高能力这才可问津的题目更不宜作为高考题），而是适者生存。
2．2高考强化主干内容，它决定着试题的效度，但决定试题区分度的因素可能是主干内容以外的东西。为什么？
首先，什么是主干内容，并不存在确定的标准，在不同的考试时尚下，会有不同的解释，2003年的第（22）题，如上所述，几何中的元素是2+2的形式，对它进行排列，要求求出指定项，或者根据项求项数，字典排序法，请问，你能说着道题考查的是主干内容吗？在这道题中起决定作用的并不是函数、不等式、线面关系、直线与圆锥曲线、向量、概率与统计这些我们称之为主干内容的东西。那么，你是否可以说它考查的不是主干内容呢？它以数列的形式出现，排序实质上是决定不等关系，决定不等关系的依据是函数的增减性，当让可以说它是函数、数列、不等式等主干内容的总和，这说明，我们需要掌握主干内容，但主干内容不一定决定试题的区分度。
其次，在很多情况下，可能是细节决定成败，前面说道慎密思维的习惯，这里举一个例
子。2004年全国（1）卷第（15）题：已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3++(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项an,n≥2.
特别地，在解数学题时，可能出现”人误”现象。所谓“人误”是指:知识是学生具备的，方法使学生掌握了，在完全无意识状态下违背主体目标所犯的错误。通常的情形时：学生做错了，只要一点拨，他就会恍然大悟，连连叫屈。所以，高考复习应该给学生提供犯错和该错的机会，维特根斯坦说过：人们一定是从错误开始，然后由此转向真理-------要让人相信真理，仅仅说出真理是不够的，人们还必须找到从错误到真理的道路。一些有经验的教师从事把历届高考中学生在数学解题时出现的错误和可能出现的错误统计归类，设计成试题提
供学生体验，让学生经历从错误道真理的道路。
其三，“能力立意”的命题原则决定了必然要对《考试大纲》中内容项目要求的超越，包括对主干内容要求的超越。
比如，数列的递推数列，《考试大纲》只要求了解，根据公式写出前几项，但递推数列公式考到了那一个层次，除了可以化为等差或等比数列的递推公式以外，不是其他形式的递推式也出来了吗？又可以通过迭代求出的，迭代不能求出不是也出现了吗？能求出通项的就求出，求不出的，要求研究它的特性。为什么可以这样？因为它虽然是递推公式的体现，但实质上往往要运用函数的思想和不等式的方法。可见，我们对主干内容的认识不能停留在表面上。
跟重要的事，把学生区分开来的，不是知识，也不是主干内容，而是能力。试想一下，什么是知识，考那些知识？翻开《考试大纲》，可以看到，从“知识要求”来讲，有三个层次：了解，理解和掌握，灵活和综合应用。请你查一下考试内容，通篇都是了解、理解和掌握，哪一处用到了“灵活和综合应用”呢？没有。为什么？因为真正能称的上“灵活和综合应用”的，并不是有形的，可以用文字描述的东西，具体的知识内容，真正重要的也不是这些东西，在考试中起决定作用的，把学生区分出来的也不是这些东西。在分析一位考生失败的原因的时候，谁能说它是因为没有理解哪一个概念，没有掌握哪一个性质？2004年湖北省高考的分率最低是第（11）题，这道题是：
已知平面与所成的二面角为80°，P为、外一定点，过点P的一条直线与、所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
这道题得分率仅为0。2，你能把它归结为学生没有掌握二面角、直线与平面所成的角，只限于平面的位置关系等知识吗？这些恐怕都掌握了，只是空间想象能力没有到位。可见复习，复习中最关键的是提供恰当的问题，让学生在自主探索中形成能力。
2．3高考复习的主题是学生，比关注命题方向更为重要的关注学生的状态
对学生的研究，特别是对学生学情的调查，我们可能会得出这样的事实，他正好与我们常态的判断相反：
我们不是抓松了，而是太紧了------大量的作业充斥着休息的时间和思考的时间；我们不是讲虚了，而是太实了---不是从学科整体的高的分析问题，从知识网络的交汇出思考解法，而是让学生在具体的题型训练和具体的解题术中不能自拔；
我们不是练太少了，而是太多了----复习当然是重复，但重复过多就会有抑制情绪，过多的训练会产生逆反心理。高考复习应该有一个最佳模拟此书。
为什么事与愿违？就是没有牢固地树立“以人为本”的意识。高考复习必须以学生为本，重视学生的心理现象，其中包括焦虑、厌倦情绪、恐惧心理。一个人面临着前途攸关的决策时，是非常脆弱的，我们必须相当慎重，小心呵护，高三教师是值得尊重的，自所已知的尊重，除了它对高中数学的理解把握外，一个重要原因，是它的活动中始终体现着人性的光辉。
2．4要正确对待命题趋势与备考实践的关系：它们的对应与错位
用命题趋势来指导备考实践，我们就会多一份清醒，少一份盲目，比如试题的来源为我们开发别考资源指明了方向；主干内容的基本取向指导我们恰当地选择例题和编例题，把复习引向必要的深度；创新题设计的思路也会给我们一些警示，有助于我们调整复习方式。这是问题的主要方面，同时我们应该注意，两者之间除了一致性之外，还要有必要的错位，举例来说：
2．4．1关于“由知识立意到能力立意“，什么是能力立意呢？就是说考试是能力，而不是知识的多少，这是否可以认为有一套依赖于知识的复习方案呢？是否可以避开知识与课本这个出发点呢？显然不行。复习时必须注重知识，只是的来龙去脉，知识的本质，因为不依知识为载体，就培养不起能力，我们在提能力立意的时候，不要忘了“在考查知识的同时”这个前提。特别地，要谨防学生在心理上可能出现的潜在词：知识并不重要。“能力立意”反映在知识的布局上，就是不追求知识的覆盖面，命题着可以不追求，备考着不追求行吗？事实上，命题者越是不追求覆盖面，备考着越是要追求覆盖面，否则风险会更大。与能力立意相关的两个朴素的提法市“多考一点理解，少考一点记忆“，”多考一点想，少考一点算“，这都是对的，但落实到备考实践上，则是不行的，因为理解与记忆相伴而生的，理解了，也就记住了，以往往往随着理解的消失，特别地，时间上已经反复证明，很多考生的失误都发生在基本运算上，因此，题目的特性和备考毕竟是两码事，不可人云亦云，一个成熟的高三教师决不会随意把这些口号搬进课堂。
2．4．2第二个例子，关于考查重点。对于重点，我们有很多描述，核心知识、主干内容，任何一份试卷评价都在重点上大做文章，这当然是对的，高中数学中有重点，考试视野必须考查重点，而且也要达到必要的深度。但辩证地看，从某种意义上讲，或者说具体到一场考试，是没有非重点的，一套试卷必然是重点与所谓非重点的恰当组合，谁敢说非重点不让你失分，在非重点出失去5分与在重点出失去5分有什么差别。那些最具有冲击力的题，往往在我们的意料之外，而又在情理之中。这些题，没有出现在高考卷上之前，往往是冷门，
不在高考模拟题之内，一旦成为高考题，有时那样的顺理成章，因此，我们永远不要轻言：某某不是重点，也不要说，某某要求不高。比如近几年在三角方面的要求降低了，从逻辑角度讲，三角变换题简单了，但考生在三角方面的表现反而不尽如人意。这说明，当我们对某一内容的要求标准降低时，产生的效果可能更低，我把这种现象叫做“低标准暗示效应“。可见，命题研究中很多观点在实际操作时，是可做而不可说的------做，有利于提高效益；说，则可能产生负效应。
（王红敢摘自《中学数学教学参考》（2006.3））