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证明勾股定理多种常用方法

百分网【证明大全】 编辑: 发布时间:2017-08-18 14:20:37

  勾股定理是数学原理,那该怎么证明呢?证明的过程是怎样的呢?下面就是百分网小编给大家整理的如何证明勾股定理内容,希望大家喜欢。

  证明勾股定理的方法一

  最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长玫秸?叫蜛BDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子:

  4×(ab/2)+(b-a)2=c2

  化简后便可得:

  a2+b2=c2

  亦即:

  c=(a2+b2)(1/2)

  稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法,刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法,他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出),移到以弦为边的正方形的空白区域内(入),结果刚好填满,完全用图解法就解决了问题。

  再给出两种

  1。做直角三角形的高,然后用相似三角形比例做出。

  2。把直角三角形内接于圆。然后扩张做出一矩形。最后用一下托勒密定

  证明勾股定理的方法二

  勾股定理:在Rt△ABC中,AB⊥AC,则:AB^2+AC^2=BC^2。该定理有不同的证明方法,现用一种方法证明如下:如图作4个与Rt△ABC全等的三角形。不失一般性地设AB>AC。很明显,4个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积。 ∴4(AB×AC/2)+(AB-AC)^2=BC^2,∴2AB×AC+AB^2-2AB×AC+AC^2=BC^2, ∴AB^2+AC^2=BC^2。 特别地,当AB=AC时,看成小正方形的面积为0,得:2AB×AC=BC^2,改写一下就有:AB×AC+AB×AC=BC^2,得:AB^2+AC^2=BC^2。 [说明:当Ac>AB时,将上述证明过程中的字母B、C调换一下就可以了。] 4

  满意答案

  最初的证明是分割型的。设a、b为直角三角形的直角边,c为斜边。考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。将A分成六部分,将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的,故从等量中减去等量,便可推出:斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为,直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。

  下图是H.珀里加尔(Perigal)在1873年给出的证明,它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的,因为这种划分方法,labitibn Qorra(826~901)已经知道。(如:右图)下面的一种证法,是H•E•杜登尼(Dudeney)在1917年给出的。用的也是一种相加全等的证法。

  如右图所示,边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积,等于边长为c的正方形面积。

  下图的证明方法,据说是L•达•芬奇(da Vinci, 1452~1519)设计的,用的是相减全等的证明法。

  欧几里得(Euclid)在他的《原本》第一卷的命题47中,给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明,如次页上图。由于图形很美,有人称其为“修士的头巾”,也有人称其为“新娘的轿椅”,实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙,和“外星人”去交流。其证明的梗概是:

  (AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。

  同理,(BC)2=KEBL

  证明勾股定理的方法三

  (AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2

  印度数学家兼天文学家婆什迦罗(Bhaskara,活跃于1150年前后)对勾股定理给出一种奇妙的证明,也是一种分割型的证明。如下图所示,把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形;一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起,得到两个直角边上的正方形之和。事实上,

  婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的高,得两对相似三角形,从而有

  c/b=b/m,

  c/a=a/n,

  cm=b2

  cn=a2

  两边相加得

  a2+b2=c(m+n)=c2

  这个证明,在十七世纪又由英国数学家J.沃利斯(Wallis, 1616~1703)重新发现。

  有几位美国总统与数学有着微妙联系。G•华盛顿曾经是一个著名的测量员。T•杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。A.林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统J.A.加菲尔德(Garfield, 1831~1888),他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年,(当时他是众议院议员,五年后当选为美国总统)给出了勾股定理一个漂亮的证明,曾发表于《新英格兰教育杂志》。证明的思路是,利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示,是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式,求相同的面积得

  即

  a2+2ab+b2=2ab+c2

  a2+b2=c2


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