三角函数万能公式知识点

时间:2024-03-19 12:35:20 帅帅 数学 我要投稿
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三角函数万能公式知识点

  在学习中,说起知识点,应该没有人不熟悉吧?知识点就是掌握某个问题/知识的学习要点。掌握知识点有助于大家更好的学习。以下是小编帮大家整理的三角函数万能公式知识点,欢迎大家分享。

三角函数万能公式知识点

  万能公式

  (1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

  (2)1+(tanα)^2=(secα)^2

  (3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可

  (4)对于任意非直角三角形,总有

  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

  证:

  A+B=π-C

  tan(A+B)=tan(π-C)

  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

  三角函数常用公式:(^表示乘方,例如^2表示平方)

  正弦函数 sinθ=y/r

  余弦函数 cosθ=x/r

  正切函数 tanθ=y/x

  余切函数 cotθ=x/y

  正割函数 secθ=r/x

  余割函数 cscθ=r/y

  以及两个不常用,已趋于被淘汰的函数:

  正矢函数 versinθ =1-cosθ

  余矢函数 vercosθ =1-sinθ

  同角三角函数间的基本关系式:

  ·平方关系:

  sin^2(α)+cos^2(α)=1

  tan^2(α)+1=sec^2(α)

  cot^2(α)+1=csc^2(α)

  ·积的关系:

  sinα=tanα*cosα

  cosα=cotα*sinα

  tanα=sinα*secα

  cotα=cosα*cscα

  secα=tanα*cscα

  cscα=secα*cotα

  ·倒数关系:

  tanα·cotα=1

  sinα·cscα=1

  cosα·secα=1

  直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边

  正切等于对边比邻边,三角函数恒等变形公式

  ·两角和与差的三角函数:

  cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

  cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

  sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

  tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

  tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

  ·辅助角公式:

  Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中

  sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

  cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

  ·倍角公式:

  sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

  cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

  tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

  ·三倍角公式:

  sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

  cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

  ·半角公式:

  sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

  cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

  tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

  ·降幂公式

  sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

  cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2

  tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

  ·万能公式:

  sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

  cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

  tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

  ·积化和差公式:

  sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

  cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

  cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

  sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

  ·和差化积公式:

  sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

  sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

  cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

  cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

  其中,sinα、cosα和tanα分别代表正弦、余弦和正切函数,而secα、cscα和cotα则分别是它们的倒数函数。这些公式描述了三角函数之间的基本关系,对于理解和应用三角函数至关重要。

  此外,三角函数是基本初等函数之一,它们以角度(在数学上,角度通常用弧度制来表示)为自变量,角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量。因此,三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究周期性现象的基础数学工具。

  为了更深入地理解和应用三角函数的万能公式,你需要掌握三角函数的基本概念、性质以及它们之间的关系。同时,也需要通过大量的练习来熟悉这些公式的应用,以便在解决实际问题时能够灵活运用。

  请注意,三角函数的知识点众多且深入,这里只是简要介绍了三角函数的万能公式。如果你需要更详细或更深入的解释,建议查阅相关的数学教材或咨询专业的数学教师。

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