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高一数学《集合》重点知识点归纳
在年少学习的日子里，大家对知识点应该都不陌生吧？知识点就是学习的重点。想要一份整理好的知识点吗？下面是小编为大家整理的高一数学《集合》重点知识点归纳，希望对大家有所帮助。
高一数学《集合》重点知识点归纳 1
一．知识归纳：
1．集合的有关概念。
1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素
注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件
2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法
3）集合的分类：有限集，无限集，空集。
4）常用数集：N，Z，Q，R，N*
2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1）子集：若对x∈A都有x∈B，则A B（或A B）；
2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；记为A B（或 ，且 ）
3）交集：A∩B={x x∈A且x∈B}
4）并集：A∪B={x x∈A或x∈B}
5）补集：CUA={x x A但x∈U}
注意：①? A，若A≠?，则? A ；
②若 ， 则 ；
③若 且 ，则A=B（等集）
3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：
（1） 与 、的区别；
（2） 与 的区别；
（3） 与 的区别。
4．有关子集的几个等价关系
①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；
④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。
5．交、并集运算的性质
①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A；
③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；
6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。
二．例题讲解：
【例1】已知集合M={xx=+ ,∈Z},N={xx= ,n∈Z},P={xx= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系
A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
分析一：从判断元素的共性与区别入手。
解答一：对于集合M：{xx= ,∈Z}；对于集合N：{xx= ,n∈Z}
对于集合P：{xx= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。
分析二：简单列举集合中的元素。
解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。
= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，
= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以选B。
点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。
变式：设集合 ， ，则（ B ）
A．M=N B．M N C．N M D．
解：
当 时，2+1是奇数，+2是整数，选B
【例2】定义集合A*B={xx∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为
A）1 B）2 C）3 D）4
分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。
解答：∵A*B={xx∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。
变式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为
A）5个 B）6个 C）7个 D）8个
变式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
解：由已知，集合中必须含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .
【例3】已知集合A={xx2+px+q=0},B={xx2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B={xx2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A
∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，
∴ ∴
变式：已知集合A={xx2+bx+c=0},B={xx2+x+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,的值.
解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+?2+6=0,=-5
∴B={xx2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴
又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,=-5
【例4】已知集合A={x(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足：A∪B={xx>-2}，且A∩B={x1<>< p="">
分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。
解答：A={x-2<><-1或x>1}。由A∩B={x1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。<-1或x>
<><-1或x>
综合以上各式有B={x-1≤x≤5}
变式1：若A={xx3+2x2-8x>0}，B={xx2+ax+b≤0},已知A∪B={xx>-4}，A∩B=,求a,b。（答案：a=-2，b=0）
点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。
变式2：设M={xx2-2x-3=0},N={xax-1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的集合。
解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M
①当 时，ax-1=0无解，∴a=0 ②
分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用参数分离求解。
解答：（1）若 ， 在 内有有解
令 当 时，
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。
解答：
点评：解决含参数问题的'题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
三.随堂演练
A选择题
1． 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
2．集合{1，2，3}的真子集共有
（A）5个 （B）6个 （C）7个 （D）8个
3．集合A={x } B={ } C={ }又 则有
（A）（a+b） A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C任一个
4．设A、B是全集U的两个子集，且A B，则下列式子成立的是
（A）CUA CUB （B）CUA CUB=U
（C）A CUB= （D）CUA B=
5．已知集合A={ }， B={ }则A =
（A）R （B）{ }
（C）{ } （D）{ }
6．下列语句：（1）0与{0}表示同一个集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为
{1，2，3}或{3，2，1}； （3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1，1，2}； （4）集合{ }是有限集，正确的是
（A）只有（1）和（4） （B）只有（2）和（3）
（C）只有（2） （D）以上语句都不对
7．设S、T是两个非空集合，且S T，T S，令X=S 那么S∪X=
（A）X （B）T （C） （D）S
8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式 ，则不等式ax2+bx+c 0的解集为
（A）R （B） （C）{ } （D）{ }
B填空题
9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为
10.若A={1,4,x},B={1,x2}且A B=B，则x=
11.若A={x } B={x },全集U=R，则A =
12.若方程8x2+(+1)x+-7=0有两个负根，则的取值范围是
13设集合A={ },B={x },且A B，则实数的取值范围是。
14.设全集U={x 为小于20的非负奇数}，若A （CUB）={3，7，15}，（CUA） B={13，17，19}，又（CUA） （CUB）= ，则A B=
C解答题
15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若A B={-3}，求实数a。
16(12分)设A= ， B= ，
其中x R,如果A B=B，求实数a的取值范围。
高一数学《集合》重点知识点归纳 2
集合与元素
一个东西是集合还是元素并不是绝对的，很多情况下是相对的，集合是由元素组成的集合，元素是组成集合的元素。
例如：你所在的班级是一个集合，是由几十个和你同龄的同学组成的集合，你相对于这个班级集合来说，是它的一个元素;
而整个学校又是由许许多多个班级组成的集合，你所在的班级只是其中的一分子，是一个元素。
班级相对于你是集合，相对于学校是元素，参照物不同，得到的结论也不同，可见，是集合还是元素，并不是绝对的。
解集合问题的'关键
解集合问题的关键：弄清集合是由哪些元素所构成的，也就是将抽象问题具体化、形象化，将特征性质描述法表示的集合用列举法来表示，或用韦恩图来表示抽象的集合，或用图形来表示集合;比如用数轴来表示集合，或是集合的元素为有序实数对时，可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合等。
高一数学《集合》重点知识点归纳 3
集合是数学中的一个基本概念，它指的是某些指定的对象集在一起所形成的一个整体。在集合中，每一个对象都被称为元素。集合具有以下三个基本特性：
确定性：集合中的元素是明确的，即一个元素要么属于某个集合，要么不属于该集合，二者必居其一。
互异性：集合中的.元素是互不相同的，即任意两个元素都是不同的。
无序性：集合中的元素是没有顺序的，即集合中元素的排列顺序不影响集合的本质。
集合的表示方法主要有两种：
列举法：将集合中的所有元素一一列出，用大括号“{}”括起来。例如，集合A={1, 2, 3}。
描述法：通过描述集合中元素的共同特征或属性来表示集合。例如，集合B={x|x是大于1的整数}。
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集合间的关系主要包括子集、真子集、空集和相等集合等概念。
子集：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，那么称A是B的子集，记作AB。
真子集：如果A是B的子集，并且A不等于B（即A中至少有一个元素不在B中），那么称A是B的真子集，记作AB。
空集：不含任何元素的`集合称为空集，记作。空集是任何集合的子集。
相等集合：如果两个集合A和B的元素完全相同，那么称A和B是相等集合，记作A=B。
集合的运算主要包括交集、并集和补集等。
交集：两个集合A和B的交集是指同时属于A和B的元素组成的集合，记作A∩B。
并集：两个集合A和B的并集是指属于A或属于B的所有元素组成的集合，记作A∪B。
补集：在全集U中，但不在集合A中的元素组成的集合称为A的补集，记作CuA（或A）。
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集合具有一些重要的性质，如集合的幂集性质、集合的运算性质等。
幂集性质：设集合A有n个元素，则A的子集个数为2^n个（包括空集和A本身）。
运算性质：
交集运算满足交换律和结合律，即A∩B=B∩A，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。
并集运算也满足交换律和结合律，即A∪B=B∪A，A∪(B∪C)=(A∪B)∪C。
补集运算满足德摩根定律，即Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB。
此外，集合的运算还满足一些其他性质，如空集的性质（任何集合与空集的'交集为空集，任何集合与空集的并集为该集合本身）、全集的性质（任何集合与全集的交集为该集合本身，任何集合与全集的补集为空集）等。
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集合在数学和其他学科中有着广泛的应用。在解决实际问题时，常常需要将问题转化为集合问题，利用集合的性质和运算来求解。
集合在不等式解集中的应用：可以利用集合表示不等式的解集，并通过集合的运算求解不等式的解。
集合在函数定义域和值域中的应用：函数的定义域和值域都可以用集合来表示，通过集合的运算可以求解函数的定义域和值域。
集合在逻辑推理中的应用：可以利用集合进行逻辑推理，如利用集合的包含关系进行命题的真假判断等。
集合在解决实际问题中的应用：如集合在排班问题、分组问题、分配问题等方面的'应用，都可以通过集合的性质和运算来求解。
总之，集合是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用价值。通过学习和掌握集合的基本概念、表示方法、关系与运算以及性质和定律等知识点，可以更好地理解和应用集合来解决实际问题。
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一、集合的基本概念
集合的定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（简称集）。
元素：集合中的每一个对象叫做这个集合的元素。
集合的表示：通常用大写拉丁字母表示集合，如A、B、C等；用小写拉丁字母表示元素，如a、b、c等。如果元素a属于集合A，表示为a∈A；如果元素a不属于集合A，表示为aA。
二、集合的表示方法
列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合。
描述法：用文字、符号或式子等来描述集合中元素的共同特征，从而表示集合。基本形式为{x∈I | p(x)}，其中x是集合的.代表元素，I是x的取值（或变化）范围，p(x)是集合中元素所具有的共同特征。
图示法：用数轴、文氏图（Venn图）等来形象地表示集合。
三、集合的三个特性
确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确判断它是不是某一集合的元素。
互异性：集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复。
无序性：集合中的元素是无序的，即集合中元素的排列没有固定的顺序。
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一、集合的分类
有限集：含有有限个元素的集合。
无限集：含有无限个元素的集合。
空集：不含任何元素的集合，记作。空集是任何集合的.子集。
二、集合间的关系
子集：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么称A是B的子集，记作AB。
真子集：如果A是B的子集，且A不等于B（即A中至少有一个元素不属于B），那么称A是B的真子集，记作AB。
相等：如果两个集合的元素完全相同，那么这两个集合相等。
三、集合的运算
交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，记作A∩B。
并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记作A∪B。
补集：在全集U中，由不属于集合A的所有元素组成的集合，记作C_U A（或A）。
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一、常用数集及其记法
自然数集：记作N，表示所有正整数的集合（有时包括0，有时不包括，具体根据教材或上下文确定）。
正整数集：记作N*（或N+），表示所有大于0的整数的集合。
整数集：记作Z，表示所有整数的集合（包括正整数、0和负整数）。
有理数集：记作Q，表示所有可以表示为两个整数之比的'数的集合（即分数集合）。
实数集：记作R，表示所有实数的集合（包括有理数和无理数）。
二、集合的运算性质
交集运算性质：
A∩A=A
A∩=
A∩B=B∩A（交集满足交换律）
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)（交集满足结合律）
并集运算性质：
A∪A=A
A∪=A
A∪B=B∪A（并集满足交换律）
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)（并集满足结合律）
补集运算性质：
C_U (A∪B)=C_U A∩C_U B
C_U (A∩B)=C_U A∪C_U B
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一、集合的应用
实际问题抽象化：将实际问题中的对象抽象为集合，通过集合的运算和性质解决实际问题。
逻辑推理：利用集合的运算和性质进行逻辑推理，判断命题的真假。
二、注意事项
区分元素与集合：元素是集合的基本单位，集合是由元素组成的.整体。
注意集合的运算顺序：在进行集合的运算时，需要注意运算的顺序和优先级。
理解集合的运算性质：掌握集合的运算性质是进行集合运算的基础。
综上所述，高一数学《集合》的重点知识点包括集合的基本概念、表示方法、三个特性、分类、关系、运算以及常用数集和运算性质等。在学习时，应注重理解和掌握这些知识点，并能够灵活运用它们解决实际问题。
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