小升初奥数讲解

　　第一讲行程问题

　　走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：

　　距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；

　　速度在单位时间内（例如1小时内）行走或移动的距离；

　　时间行走或移动所花时间.

　　这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：

　　距离=速度×时间

　　很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如

　　总量=每个人的数量×人数.

　　工作量=工作效率×时间.

　　因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.

　　当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.

　　这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米

　　1.1追及与相遇

　　有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，

　　甲走的距离-乙走的.距离

　　= 甲的速度×时间-乙的速度×时间

　　=（甲的速度-乙的速度）×时间.

　　通常，“追及问题”要考虑速度差.

　　例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？

　　解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.

　　此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此

　　所用时间=9÷6＝1.5（小时）.

　　小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是

　　面包车速度是 54-6＝48（千米/小时）.

　　城门离学校的距离是

　　48×1.5＝72（千米）.

　　答：学校到城门的距离是72千米.

　　例2 小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？

　　解一：可以作为“追及问题”处理.

　　假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是

　　50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分钟）?

　　因此，小张走的距离是

　　75× 20＝ 1500（米）.

　　答：从家到公园的距离是1500米.

　　还有一种不少人采用的方法.

　　家到公园的距离是

　　一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.

　　例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如果速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少？

　　解一：自行车1小时走了

　　30×1-已超前距离，

　　自行车40分钟走了

　　自行车多走20分钟，走了

　　因此，自行车的速度是

　　答：自行车速度是20千米/小时.

　　解二：因为追上所需时间=追上距离÷速度差

　　1小时与40分钟是3∶2.所以两者的速度差之比是2∶3.请看下面示意图：

　　马上可看出前一速度差是15.自行车速度是

　　35- 15＝ 20（千米/小时）.

　　解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.

　　例4 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？

　　解：画一张简单的示意图：

　　图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了

　　8-4＝4（千米）.

　　而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.

　　这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.

　　但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了

　　4＋12＝16（千米）.

　　少骑行24-16＝8（千米）.

　　摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.

　　8＋8＋16＝32.

　　答：这时是8点32分.

　　下面讲“相遇问题”.

　　小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么

　　甲走的距离+乙走的距离

　　=甲的速度×时间+乙的速度×时间

　　=（甲的速度+乙的速度）×时间.

　　“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.

　　例5 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？

　　解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36÷12＝3（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是

　　36÷（3＋1）＝9（分钟）.

　　答：两人在9分钟后相遇.

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