一元二次方程的解法教学设计

<一>设置悬念，引发兴趣：

1、我们已经学会了怎么解一元二次方程，一元二次方程的根有哪几种情况？能不能不解方程便判断出它们根的情况？

2、由学生举出几个一元二次方程的例子，教师直接判断出它们根的情况

这样设计，能激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造最佳的心理状态。

<二>设置练习，创设情境。

用公式法解下列一元二次方程

使学生亲身感知一元二次方程根的情况，回顾已有知识

<三>启发引导，发现结论：

观察解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，都是先确定了a、b、c的值，然后求出的值，为什么要这样做呢？学生能说出 的作用是：它能决定方程是否可解。

由此可见：在解一元二次方程时，代数式起着重要的作用，显然我们可以根据的值的符号来判断一元二次方程  的根的情况，因此我们把  叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△”来表示，即△=。在今后的数学学习中还会遇到用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要适应这一点，它体现了数学的简洁美。

让学生明白： 的值的符号在解一元二次方程中所起的重要作用，从而很自然地引出了根的判别式概念。

培养学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣。

<四>引导学生，理论验证：

 利用配方法，可以把一元二次方程变形为：

     ∵   ∴ ，

故的值是正数、零还是负数直接对方程的根产生影响

（1）时，可得：

   ，而且

（2）时，，

显然

（3）时，，

     ∵ 负数没有平方根    ∴  方程没有实数根

培养学生思维的严谨性，养成严格论证问题的习惯。

<五>揭示定理：

（1）由此我们就得出了关于一元二次方程 的根的判别式定理：

在一元二次方程中，

     若△＞0  则方程有两个不相等的实数根

     若△ = 0 则方程有两个相等的实数根

     若△＜0  则方程没有实数根

     (若△≥0  则方程有实数根)

 （2）这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：

在一元二次方程中，

     若方程有两个不相等的实数根，则△＞0

     若方程有两个相等的实数根，  则△= 0

     若方程没有实数根，         则△＜0

(若方程有实数根,  则△≥0)

培养学生学会如何用数学语言来阐述发现的结论，如何将感性认识上升到理性认识，以及加深学生对定理的认识，为正确运用做好铺垫。

  <六>应用定理，解决问题：

 练习一：不解方程，判别下列方程根的情况

 分析：判别方程根的情况，根据定理可知，就是要确定△值的符号

练习二： 不解方程，判别下列方程根的情况

（4）题补充了一个含有字母系数的方程，补充此题的目的是：发展学生的符号意识，为今后解综合性问题打好基础。

以上练习的设计，主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会，同时也为了吸引和调动全班同学参与到积极动脑，各抒己见的活跃气氛中来，并培养学生分析问题，解决问题的能力。

思考：已知关于的方程，当取什么值时，方程

（1）     有两个不相等的实数根

（2）     有两个相等的实数根

（3）     没有实数根

分析：要解决这个问题，应先根据方程根的情况，得出△的取值，从而求出的取值范围。

本题是一个用逆定理来解决的问题，以巩固逆定理的运用方法，本题让学生自己分析，教师只帮助学生理清思路，最后让学生自己完成。

<七>归纳小结

一元二次方程中，

方程有两个不相等的实数根

方程有两个相等的实数根

方程没有实数根

使学生系统地了解和掌握本节课的内容

< 八>作业布置：

  （必做题）不解方程判定下列方程根的情况：

（选做题）已知：方程有两个实数根，

求：的取值范围

使学生能及时巩固本节课所学知识，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间。

科  　目

数学

年    级

九年级

教学时间

一课时

学习者分析

学生的学习 思维、解决问题等能力的高低叁差不齐。从学生现有的情况来看，多数同学对列方程解应用题感觉较难掌握，面对题意无法找出等量关系。另外，很多学生的计算能力也不强。因此，在教学中主要以较为简单的基础题为授课主线，其中参入少数中档题供一些学有余力的学生思考。

教学目标

一、情感态度与价值观

1.培养学生主动探索、敢于实勇于发现、合作交流的精神。

二、过程与方法

1. 经历抽象一元二次方程的过程, 使学生体会出方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型

2. 经历探索满足方程解的过程，发展估算的意识和能力。

三、知识与技能

1.充分了解一元二次方程的概念

2.正确掌握一元二次方程的一般形式。

教学重点、难点

1.一元二次方程的概念及一般形式。

2.由实际问题向数学问题的转化过程。

3.正确识别一般式中的“项”及“系数”。

教学资源

多媒体课件

教学过程

教学活动1

一 . 创设情境，导入新课

问题1：

2008年奥运会将在北京举办，许多大学生都希望为奥运奉献自己的一份力量。现组委会决定对高校奥运志愿者进行分批培训，由已合格人员培训第一轮人员，再由前面所有合格人员培训第二轮人员,以此类推来完成此次培训任务。某高校学生李红已受训合格，成为一名志愿者，并由她负责培训本校志愿者。若每轮培训中每个志愿者平均培训x人。

(1)已知经过第一轮培训后该校共有11人合格, 请列出满足条件的方程:

(2)若两轮培训后该校共有121人合格，你能列出满足条件的方程吗？

问题2:

有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm²,那么铁皮各角应切去多大的正方形?

问题3:

我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度？

教学活动2

二 . 探究新知，尝试练习

由以上问题得到2个方程,学生观察归纳这2个方程的特征,给出名称并类比一元一次方程的定义,得出一元二次方程的定义.

归纳：

1、一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

强调定义中体现的3个特征:

①整式;    ②一元;     ③2次

练习1：判断下列各式是否为一元二次方程：

(1)4x²=81  (2)2(x^2_1)=3y   (3)5x^2_1=4x (4)x²+3x^_c=0       (5)3x(x+1)=5(x+2)

引导学生类比一元一次方程的一般形式，总结归纳一元二次方程的一般形式及项、系数的概念

2、一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项。

提问：说出下列方程的一次项系数、二次项系数和常数项

x²+2x-1=0         x²-36x+35=0

练习2：说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：（由学生以抢答的形式来完成此题,并让学生找出错误理由.）

（1）x²十3x十2＝O （2）x^2_3x十4＝0；

（3）3x²-5＝0       （4）4x²十3x^_2＝0；

（5）3x^2_5=0；      （6）6x^2_x=0。

整理一般形式后,教师应强调整理过程中应用到的等式变形方法,如去括号,移项,合并同类项,去分母。

教学活动3

三、合作学习，巩固提高

1、把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项

（1）2（x²－1）= 3 x

（2）3（x－3）²=（x＋2）²＋7              

（3）3x(x-1)＝2(x十2)

    2、我校为树立学生的团结、拼搏精神，组织了一次篮球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？(列方程并整理成一般形式）

教学活动4

四、归纳小结，布置作业　

本节课你学会哪些新知识？

学生交流、讨论，谈谈自己的收获或感悟。