九年级数学下二次函数质量检测试题

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九年级数学下二次函数质量检测试题

　　一、选择题

九年级数学下二次函数质量检测试题

　　1.二次函数y=-x2+2x+2化为y=a(x-h)2+k的形式，下列正确的是( )

　　A. y=-(x-1)2+2 B. y=-(x-1)2+3 C. y=(x-2)2+2 D. y=(x-2)2+4

　　2.抛物线y=(x-2)2+5的顶点坐标是( )

　　A. (-2，5) B. (2，5) C. (-2，-5) D. (2，-5)

　　3.把抛物线y=-x2向左平移1个单位长度，然后向上平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为( )

　　A.y=-(x-1)²-3 B.y=-(x+1)²-3 C.y=-(x-1)²+3 D.y=-(x+1)²+3

　　4.小明从图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面四条信息：① ;② <0;③ ;④方程必有一个根在-1到0之间.你认为其中正确信息的个数有( )

　　A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

　　5.已知二次函数的图象(﹣0.7≤x≤2)如图所示、关于该函数在所给自变量x的取值范围内，下列说法正确的是( )

　　A. 有最小值1，有最大值2 B. 有最小值-1，有最大值1

　　C. 有最小值-1，有最大值2 D. 有最小值-1，无最大值

　　x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …

　　y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …

　　6.二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表：

　　则下列说法正确的是( )

　　A. 抛物线的开口向下 B. 当x> 时，y随x的增大而增大

　　C. 二次函数的最小值是 D. 抛物线的对称轴是x=

　　7.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是( )

　　A. B. C. D.

　　8.如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动;另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动.设P点运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象是( )

　　9.二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为( )

　　A.﹣3 B.3 C.﹣6 D.9

　　10.已知二次函数y=kx2﹣5x﹣5的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )

　　A.k>- B.k - 且k≠0 C.k - D.k>- 且k≠0

　　评卷人得分

　　二、填空题

　　11.已知抛物线y=x2﹣(k+1)x+4的顶点在x轴上，则k的值是 .

　　12.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A(1，0)，对称轴为直线x=﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 .

　　13.利用图象法求方程的解，体现了数形结合的方法，它是将方程的解看成两个函数图象交点的横坐标.若关于x的方程x2+a﹣ =0(a>0)只有一个整数解，则a的值等于 .

　　14.已知抛物线p：y= +bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧)，点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y= +2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为 .

　　评卷人得分

　　三、解答题

　　15.已知：关于x的方程：mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2=0.

　　(1)求证：无论m取何值时，方程恒有实数根;

　　(2)若关于x的二次函数y=mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.

　　16.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣4，0)、B(1，0)、C(0，3)三点，直线y=mx+n经过A(﹣4，0)、C(0，3)两点.

　　(1)写出方程ax2+bx+c=0的解;

　　(2)若ax2+bx+c>mx+n，写出x的取值范围.

　　17.已知抛物线y=x2﹣2x﹣8.

　　(1)用配方法把y=x2﹣2x﹣8化为y=(x﹣h)2+k形式;

　　(2)并指出：抛物线的顶点坐标是，抛物线的对称轴方程是，抛物线与x轴交点坐标是，当x 时，y随x的增大而增大.

　　18.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+1的对称轴是直线x=1.

　　(1)求抛物线的表达式;

　　(2)点D(n，y1)，E(3，y2)在抛物线上，若y1

　　(3)设点M(p，q)为抛物线上的一个动点，当﹣1

　　19.根据下列要求，解答相关问题.

　　(1)请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x>0的解集的过程.

　　①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x;并在下面的坐标系中(图1)画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象(只画出图象即可).

　　②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为 ;并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y>0的部分.

　　③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x>0的解集为﹣2

　　20.若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.

　　(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;

　　(2)已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1+y2为y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的取值范围.

　　21.九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：

　　时间x(天) 1≤x<50 50≤x≤90

　　售价(元/件) x+40 90

　　每天销量(件) 200﹣2x

　　已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.

　　(1)求出y与x的函数关系式;

　　(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少?

　　(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.

　　22.如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点.

　　(1)求此抛物线的解析式;

　　(2)求C、D两点坐标及△BCD的面积;

　　(3)若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD= S△BCD，求点P的坐标.

　　23.如图1，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，点P、Q同时从点B出发，以相同的速度分别沿折线B→A→C、射线BC运动，连接PQ.当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动.设BQ=x，△BPQ与△ABC重叠部分的面积为S.如图2是S关于x的函数图象(其中0≤x≤8，8

　　(1)填空：m的值为 ;

　　(2)求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围;

　　(3)请直接写出△PCQ为等腰三角形时x的值.

　　24.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为(4，0)，与y轴交于C(0，﹣4)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

　　(1)求这个二次函数的表达式.

　　(2)连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形?若存在，请求出此时点P的坐标;若不存在，请说明理由.

　　(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

　　参考答案

　　1.B

　　2.B

　　3.D

　　4.C

　　5.C

　　6.D

　　7.B

　　8.A

　　9.B.

　　10.B

　　11.3或﹣5.

　　12.x1=1，x2=﹣3.

　　13.3.

　　14.y= ﹣2x﹣3.

　　15.解：(1)、①当m=0时，原方程可化为x﹣2=0，解得x=2;②当m≠0时，方程为一元二次方程，

　　△=[﹣(3m﹣1)]2﹣4m(2m﹣2) =m2+2m+1 =(m+1)2≥0，故方程有两个实数根;

　　故无论m为何值，方程恒有实数根.

　　(2)、∵二次函数y=mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2，

　　∴ =2，整理得，3m2﹣2m﹣1=0，解得m1=1，m2=﹣ .

　　则函数解析式为y=x2﹣2x或y=﹣ x2+2x﹣ .

　　16.解：(1)、根据一元二次方程的解就是抛物线与x轴的交点的横坐标解答即可;(2)、确定出抛物线在直线上方部分的x的取值即可.

　　试题解析：(1)、∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣4，0)、B(1，0)，∴方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣4，x2=1;

　　(2)、由图可知，ax2+bx+c>mx+n时，﹣4

　　17.解：(1)、y=x2﹣2x﹣8=x2﹣2x+1﹣1﹣8 =(x﹣1)2﹣9.

　　(2)、由(1)知，抛物线的解析式为：y=(x﹣1)2﹣9， ∴抛物线的顶点坐标是(1，﹣9)

　　抛物线的对称轴方程是x=1 当y=0时， (x﹣1)2﹣9=0，解得x=﹣2或x=4，

　　∴抛物线与x轴交点坐标是(﹣2，0)，(4，0); ∵该抛物线的开口向上，对称轴方程是x=1，

　　∴当x>1时，y随x的增大而增大.

　　18.解：(1)∵抛物线的对称轴为x=1，∴x=﹣ =1.

　　解得：m=1.∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x.

　　(2)将x=3代入抛物线的解析式得y=﹣32+2×3=﹣3.

　　将y=﹣3代入得：﹣x2+2x=﹣3.解得：x1=﹣1，x2=3.

　　∵a=﹣1<0，∴当n<﹣1或n>3时，y1

　　(3)设点M关于y轴对称点为M′，则点M′运动的轨迹如图所示：

　　∵当P=﹣1时，q=﹣(﹣1)2+2×(﹣1)=﹣3.∴点M关于y轴的对称点M1′的坐标为(1，﹣3).

　　∵当P=2时，q=﹣22+2×2=0，∴点M关于y轴的对称点M2′的坐标为(﹣2，0).

　　①当k<0时，∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，∴﹣2k﹣4≤0.

　　解得：k≥﹣2.

　　②当k>0时，∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，

　　∴k﹣4≤﹣3.解得;k≤1.

　　∴k的取值范围是﹣2≤k≤1.

　　19.解：①图所示：

　　;

　　②方程﹣2x2﹣4x=0即﹣2x(x+2)=0，

　　解得：x1=0，x2=﹣2;

　　则方程的解是x1=0，x2=﹣2，

　　图象如图1;

　　③函数y=x2﹣2x+1的图象是：

　　当y=4时，x2﹣2x+1=4，解得：x1=3，x2=﹣1.

　　则不等式的解集是：x≥3或x≤﹣1.

　　20.解：(1)、设顶点为(h，k)的二次函数的关系式为y=a(x﹣h)2+k，当a=2，h=3，k=4时，

　　二次函数的关系式为y=2(x﹣3)2+4. ∵2>0， ∴该二次函数图象的开口向上.

　　当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3(x﹣3)2+4. ∵3>0，∴该二次函数图象的开口向上.

　　∵两个函数y=2(x﹣3)2+4与y=3(x﹣3)2+4顶点相同，开口都向上，

　　∴两个函数y=2(x﹣3)2+4与y=3(x﹣3)2+4是“同簇二次函数”.

　　∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2(x﹣3)2+4与y=3(x﹣3)2+4.

　　(2)、∵y1的图象经过点A(1，1)， ∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1. 整理得：m2﹣2m+1=0. 解得：m1=m2=1.

　　∴y1=2x2﹣4x+3=2(x﹣1)2+1， ∴y1+y2=2x2﹣4x+3+x2+bx+c=3x2+(b﹣4)x+(c+3)，

　　∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”， ∴y1+y2=3(x﹣1)2+1=3x2﹣6x+4， ∴函数y2的表达式为：y2=x2﹣2x+1.

　　∴y2=x2﹣2x+1=(x﹣1)2， ∴函数y2的图象的对称轴为x=1. ∵1>0，

　　∴函数y2的图象开口向上. 当0≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上， ∴y2的取值范围为0≤y2≤4.

　　21.解：(1)、当1≤x<50时，y=(200﹣2x)(x+40﹣30)=﹣2x2+180x+2000，

　　当50≤x≤90时，

　　y=(200﹣2x)(90﹣30)=﹣120x+12000，

　　综上所述：y= ;

　　(2)、当1≤x<50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，

　　当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，

　　当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，

　　当x=50时，y最大=6000，

　　综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元;

　　(3)、当1≤x<50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，

　　因此利润不低于4800元的天数是20≤x<50，共30天; 当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，

　　因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，

　　所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元.

　　22.解：(1)、∵抛物线的顶点为A(1，4)， ∴设抛物线的解析式y=a(x﹣1)2+4，

　　把点B(0，3)代入得，a+4=3，解得a=﹣1， ∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4;

　　(2)由(1)知，抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4; 令y=0，则0=﹣(x﹣1)2+4，

　　∴x=﹣1或x=3， ∴C(﹣1，0)，D(3，0); ∴CD=4，∴S△BCD= CD×|yB|= ×4×3=6;

　　(3)由(2)知，S△BCD= CD×|yB|= ×4×3=6;CD=4， ∵S△PCD= S△BCD，

　　∴S△PCD= CD×|yP|= ×4×|yP|=3， ∴|yP|= ， ∵点P在x轴上方的抛物线上，

　　∴yP>0， ∴yP= ， ∵抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4; ∴ =﹣(x﹣1)2+4，

　　∴x=1± ， ∴P(1+ ， )，或P(1﹣ ， ).

　　考点：二次函数综合题.

　　23.解：(1)如图1中，作AM⊥BC，PN⊥BC，垂足分别为M，N.

　　由题意AB=AC=8，∠A=120°，

　　∴∠BAM=∠CAM=60°，∠B=∠C=30°，

　　∴AM= AB=4，BM=CM= ，

　　∴BC= ，

　　∴m=BC= ，

　　故答案为： .

　　(2)①当0≤m≤8时，如图1中，

　　在RT△PBN中，∵∠PNB=90°，∠B=30°，PB=x，

　　∴PN= x.

　　s= •BQ•PN= •x• •x= .

　　②当

　　在RT△PBN中，∵PC=16﹣x，∠PNC=90°，∠C=30°，

　　∴PN= PC=8﹣ x，

　　∴s= •BQ•PN= •x•(8﹣ x)= +4x.

　　③当

　　s= × •(8﹣ x)= ，

　　综上，当0≤m≤8时，s = ;当

　　(3)①当点P在AB上，点Q在BC上时，△PQC不可能是等腰三角形.

　　②当点P在AC上，点Q在BC上时，PQ=QC，

　　∵PC= QC，

　　∴16﹣x= ( ﹣x)，

　　∴x= +4.

　　③当点P在AC上，点Q在BC的延长线时，PC=CQ，

　　即16﹣x=x﹣ ，

　　∴x=8+ .

　　∴△PCQ为等腰三角形时x的值为 +4或8+ .

　　考点：动点问题的函数图象.

　　24.(1)二次函数的表达式为：y=x2﹣3x﹣4;

　　(2)存在，P点的坐标为( ，﹣2);

　　(3)此时P点的坐标为：(2，﹣6)，四边形ABPC的面积的最大值为18.

　　解：(1)将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值;

　　(2)由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标;

　　(3)由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大;过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标.

　　试题解析：(1)将B、C两点的坐标代入得：

　　，

　　解得： ;

　　所以二次函数的表达式为：y=x2﹣3x﹣4;

　　(2)存在点P，使四边形POP′C为菱形;

　　设P点坐标为(x，x2﹣3x﹣4)，PP′交CO于E

　　若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO;

　　如图1，连接PP′，则PE⊥CO于E，

　　∵C(0，﹣4)，

　　∴CO=4，

　　又∵OE=EC，

　　∴OE=EC=2