2016年潍坊市中考数学试题及答案

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2016年潍坊市中考数学试题及答案

　　初中三年，究竟学到了什么?水平如何?都可以通过中考的成绩来反映。下面百分网小编带来一份2016年潍坊市中考的数学试题，文末有答案，有需要的考生可以测试一下，需要更多内容可以关注应届毕业生网!

2016年潍坊市中考数学试题及答案

　　一、选择题：本大题共12小题，每小题3分

　　1.计算：20•2﹣3=(　　)

　　A.﹣ B. C.0 D.8

　　2.下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　3.如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是(　　)

　　A. B. C. D.

　　4.近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016年第一季度潍坊全市实现生产总值1256.77亿元，将1256.77亿用科学记数法可表示为(精确到百亿位)(　　)

　　A.1.2×1011B.1.3×1011C.1.26×1011D.0.13×1012

　　5.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是(　　)

　　A.﹣2a+b B.2a﹣b C.﹣b D.b

　　6.关于x的一元二次方程x2﹣ x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于(　　)

　　A.15° B.30° C.45° D.60°

　　7.木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　8.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是(　　)

　　A.a2﹣1 B.a2+a C.a2+a﹣2 D.(a+2)2﹣2(a+2)+1

　　9.如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是(　　)

　　A.10 B.8 C.4 D.2

　　10.若关于x的方程 + =3的解为正数，则m的取值范围是(　　)

　　A.m< B.m< 且m≠ C.m>﹣ D.m>﹣ 且m≠﹣

　　11.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2 ，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是(　　)

　　A. ﹣ B. ﹣ C. ﹣ D. ﹣

　　12.运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是(　　)

　　A.x≥11 B.11≤x<23 C.11

　　二、填空题：本大题共6小题，每小题3分

　　13.计算： ( + )=　　　　　　.

　　14.若3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项，则m+n=　　　　　　.

　　15.超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：

　　测试项目创新能力综合知识语言表达

　　测试成绩(分数) 70 80 92

　　将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是　　　　　　分.

　　16.已知反比例函数y= (k≠0)的图象经过(3，﹣1)，则当1

　　17.已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是　　　　　　.

　　18.在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是　　　　　　.

　　三、解答题：本大题共7小题，共66分

　　19.关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值.

　　20.今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表.

　　评估成绩n(分) 评定等级频数

　　90≤n≤100 A 2

　　80≤n<90 B

　　70≤n<80 C 15

　　n<70 D 6

　　根据以上信息解答下列问题：

　　(1)求m的值;

　　(2)在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小;(结果用度、分、秒表示)

　　(3)从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率.

　　21.正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：

　　(1)四边形EBFD是矩形;

　　(2)DG=BE.

　　22.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度(结果保留根号)

　　23.旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数.发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出;当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元.

　　(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元?(注：净收入=租车收入﹣管理费)

　　(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多?

　　24.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.

　　(1)如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN= AC;

　　(2)如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3 时，求旋转角的大小并指明旋转方向.

　　25.如图，已知抛物线y= x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(﹣9，10)，AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点.

　　(1)求抛物线的解析式;(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标;

　　(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

　　参考答案与试题解析

　　一、选择题：本大题共12小题，每小题3分

　　1.计算：20•2﹣3=(　　)

　　A.﹣ B. C.0 D.8

　　【考点】负整数指数幂;零指数幂.

　　【分析】直接利用负整数指数幂的性质结合零指数幂的性质分析得出答案.

　　【解答】解：20•2﹣3=1× = .

　　故选：B.

　　2.下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　【考点】中心对称图形;轴对称图形.

　　【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

　　【解答】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误;

　　B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误;

　　C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误;

　　D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确.

　　故选：D.

　　3.如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是(　　)

　　A. B. C. D.

　　【考点】简单组合体的三视图.

　　【分析】根据俯视图的概念和看得到的边都应用实线表现在三视图中、看不到，又实际存在的，又没有被其他边挡住的边用虚线表现在三视图中解答即可.

　　【解答】解：图中几何体的俯视图是C选项中的图形.

　　故选：C.

　　4.近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016年第一季度潍坊全市实现生产总值1256.77亿元，将1256.77亿用科学记数法可表示为(精确到百亿位)(　　)

　　A.1.2×1011B.1.3×1011C.1.26×1011D.0.13×1012

　　【考点】科学记数法与有效数字.

　　【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数;当原数的绝对值<1时，n是负数.

　　【解答】解：将1256.77亿用科学记数法可表示为1.3×1011.

　　故选B.

　　5.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是(　　)

　　A.﹣2a+b B.2a﹣b C.﹣b D.b

　　【考点】二次根式的性质与化简;实数与数轴.

　　【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a<0，a﹣b<0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案.

　　【解答】解：如图所示：a<0，a﹣b<0，

　　则|a|+

　　=﹣a﹣(a﹣b)

　　=﹣2a+b.

　　故选：A.

　　6.关于x的一元二次方程x2﹣ x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于(　　)

　　A.15° B.30° C.45° D.60°

　　【考点】根的判别式;特殊角的三角函数值.

　　【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出sinα= ，再由α为锐角，即可得出结论.

　　【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣ x+sinα=0有两个相等的实数根，

　　∴△= ﹣4sinα=2﹣4sinα=0，

　　解得：sinα= ，

　　∵α为锐角，

　　∴α=30°.

　　故选B.

　　A. B. C. D.

　　【考点】轨迹;直角三角形斜边上的中线.

　　【分析】先连接OP，易知OP是Rt△AOB斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OP= AB，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么OP就是一个定值，那么P点就在以O为圆心的圆弧上.

　　【解答】解：如右图，

　　连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，

　　所以OP= AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线.

　　故选D.

　　8.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是(　　)

　　A.a2﹣1 B.a2+a C.a2+a﹣2 D.(a+2)2﹣2(a+2)+1

　　【考点】因式分解的意义.

　　【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果.

　　【解答】解：∵a2﹣1=(a+1)(a﹣1)，

　　a2+a=a(a+1)，

　　a2+a﹣2=(a+2)(a﹣1)，

　　(a+2)2﹣2(a+2)+1=(a+2﹣1)2=(a+1)2，

　　∴结果中不含有因式a+1的是选项C;

　　故选：C.

　　9.如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是(　　)

　　A.10 B.8 C.4 D.2

　　【考点】切线的性质;坐标与图形性质.

　　【分析】如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH是矩形，根据垂径定理求出HB，在RT△AOM中求出OM即可.

　　【解答】解：如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H.

　　∵⊙M与x轴相切于点A(8，0)，

　　∴AM⊥OA，OA=8，

　　∴∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°，

　　∴四边形OAMH是矩形，

　　∴AM=OH，

　　∵MH⊥BC，

　　∴HC=HB=6，

　　∴OH=AM=10，

　　在RT△AOM中，OM= = =2 .

　　故选D.

　　10.若关于x的方程 + =3的解为正数，则m的取值范围是(　　)

　　A.m< B.m< 且m≠ C.m>﹣ D.m>﹣ 且m≠﹣

　　【考点】分式方程的解.

　　【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案.

　　【解答】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，

　　整理得：2x=﹣2m+9，

　　解得：x= ，

　　∵关于x的方程 + =3的解为正数，

　　∴﹣2m+9>0，

　　级的：m< ，

　　当x=3时，x= =3，

　　解得：m= ，

　　故m的取值范围是：m< 且m≠ .

　　故选：B.

　　11.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2 ，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是(　　)

　　A. ﹣ B. ﹣ C. ﹣ D. ﹣

　　【考点】扇形面积的计算;含30度角的直角三角形.

　　【分析】连接连接OD、CD，根据S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣(S扇形OCD﹣S△OCD)计算即可解决问题.

　　【解答】解：如图连接OD、CD.

　　∵AC是直径，

　　∴∠ADC=90°，

　　∵∠A=30°，

　　∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，

　　∵OC=OD，

　　∴△OCD是等边三角形，

　　∵BC是切线.

　　∴∠ACB=90°，∵BC=2 ，

　　∴AB=4 ，AC=6，

　　∴S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣(S扇形OCD﹣S△OCD)

　　= ×6×2 ﹣ ×3× ﹣( ﹣ ×32)

　　= ﹣ π.

　　故选A.

　　12.运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是(　　)

　　A.x≥11 B.11≤x<23 C.11

　　【考点】一元一次不等式组的应用.

　　【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，第三次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可.

　　【解答】解：由题意得，，

　　解不等式①得，x≤47，

　　解不等式②得，x≤23，

　　解不等式③得，x>11，

　　所以，x的取值范围是11

　　故选C.

　　二、填空题：本大题共6小题，每小题3分

　　13.计算： ( + )=　12　.

　　【考点】二次根式的混合运算.

　　【分析】先把化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算.

　　【解答】解：原式= •( +3 )

　　= ×4

　　=12.

　　故答案为12.

　　14.若3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项，则m+n=　　.

　　【考点】同类项.

　　【分析】直接利用同类项的定义得出关于m，n的等式，进而求出答案.

　　【解答】解：∵3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项，

　　∴ ，

　　解得：

　　则m+n= + = .

　　故答案为： .

　　15.超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：

　　测试项目创新能力综合知识语言表达

　　测试成绩(分数) 70 80 92

　　将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是　77.4　分.

　　【考点】加权平均数.

　　【分析】根据该应聘者的总成绩=创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所占的比值即可求得.

　　【解答】解：根据题意，该应聘者的总成绩是：70× +80× +92× =77.4(分)，

　　故答案为：77.4.

　　16.已知反比例函数y= (k≠0)的图象经过(3，﹣1)，则当1

　　【考点】反比例函数的性质;反比例函数图象上点的坐标特征.

　　【分析】根据反比例函数过点(3，﹣1)结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，根据k值可得出反比例函数在每个象限内的函数图象都单增，分别代入y=1、y=3求出x值，即可得出结论.

　　【解答】解：∵反比例函数y= (k≠0)的图象经过(3，﹣1)，

　　∴k=3×(﹣1)=﹣3，

　　∴反比例函数的解析式为y= .

　　∵反比例函数y= 中k=﹣3，

　　∴该反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内均单增.

　　当y=1时，x= =﹣3;

　　当y=3时，x= =﹣1.

　　∴1

　　故答案为：﹣3

　　17.已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是　2 　.

　　【考点】轴对称-最短路线问题.

　　【分析】过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，解直角三角形即可得到结论.

　　【解答】解：过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，

　　则MN′的长度等于PM+PN的最小值，

　　即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，

　　∵∠ON′M=90°，OM=4，

　　∴MN′=OM•sin60°=2 ，

　　∴点P到点M与到边OA的距离之和的最小值为2 .

　　18.在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是　(2n﹣1，2n﹣1)　.

　　【考点】一次函数图象上点的坐标特征;正方形的性质.

　　【分析】先求出B1、B2、B3的坐标，探究规律后即可解决问题.

　　【解答】解：∵y=x﹣1与x轴交于点A1，

　　∴A1点坐标(1，0)，

　　∵四边形A1B1C1O是正方形，

　　∴B1坐标(1，1)，

　　∵C1A2∥x轴，

　　∴A2坐标(2，1)，

　　∵四边形A2B2C2C1是正方形，

　　∴B2坐标(2，3)，

　　∵C2A3∥x轴，

　　∴A3坐标(4，3)，

　　∵四边形A3B3C3C2是正方形，

　　∴B3(4，7)，

　　∵B1(20，21﹣1)，B2(21，22﹣1)，B3(22，23﹣1)，…，

　　∴Bn坐标(2n﹣1，2n﹣1).

　　故答案为(2n﹣1，2n﹣1).

　　三、解答题：本大题共7小题，共66分

　　19.关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值.

　　【考点】根与系数的关系.

　　【分析】由于x= 是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后由根与系数的关系来求方程的另一根.

　　【解答】解：设方程的另一根为t.

　　依题意得：3×( )2+ m﹣8=0，

　　解得m=10.

　　又 t=﹣ ，

　　所以t=﹣4.

　　综上所述，另一个根是﹣4，m的值为10.

　　评估成绩n(分) 评定等级频数

　　90≤n≤100 A 2

　　80≤n<90 B

　　70≤n<80 C 15

　　n<70 D 6

　　根据以上信息解答下列问题：

　　(1)求m的值;

　　(2)在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小;(结果用度、分、秒表示)

　　(3)从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率.

　　【考点】列表法与树状图法;频数(率)分布表;扇形统计图.

　　【分析】(1)由C等级频数为15，占60%，即可求得m的值;

　　(2)首先求得B等级的频数，继而求得B等级所在扇形的圆心角的大小;

　　(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中至少有一家是A等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

　　【解答】解：(1)∵C等级频数为15，占60%，

　　∴m=15÷60%=25;

　　(2)∵B等级频数为：25﹣2﹣15﹣6=2，

　　∴B等级所在扇形的圆心角的大小为： ×360°=28.8°=28°48′;

　　(3)评估成绩不少于80分的连锁店中，有两家等级为A，有两家等级为B，画树状图得：

　　∵共有12种等可能的结果，其中至少有一家是A等级的有10种情况，

　　∴其中至少有一家是A等级的概率为： = .

　　21.正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：

　　(1)四边形EBFD是矩形;

　　(2)DG=BE.

　　【考点】正方形的性质;矩形的判定;圆周角定理.

　　【分析】(1)直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，进而得出答案;

　　(2)直接利用正方形的性质的度数是90°，进而得出BE=DF，则BE=DG.

　　【解答】证明：(1)∵正方形ABCD内接于⊙O，

　　∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，

　　又∵DF∥BE，

　　∴∠EDF+∠BED=180°，

　　∴∠EDF=90°，

　　∴四边形EBFD是矩形;

　　(2))∵正方形ABCD内接于⊙O，

　　∴ 的度数是90°，

　　∴∠AFD=45°，

　　又∵∠GDF=90°，

　　∴∠DGF=∠DFC=45°，

　　∴DG=DF，

　　又∵在矩形EBFD中，BE=DF，

　　∴BE=DG.

　　【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

　　【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长，根据正切的定义求出EF，得到BE的长，根据正切的定义解答即可.

　　【解答】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，

　　∵∠BCD=150°，

　　∴∠DCF=30°，又CD=4，

　　∴DF=2，CF= =2 ，

　　由题意得∠E=30°，

　　∴EF= =2 ，

　　∴BE=BC+CF+EF=6+4 ，

　　∴AB=BE×tanE=(6+4 )× =(2 +4)米，

　　答：电线杆的高度为(2 +4)米.

　　(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元?(注：净收入=租车收入﹣管理费)

　　(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多?

　　【考点】二次函数的应用.

　　【分析】(1)观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费，根据不等关系：净收入为正，列出不等式求解即可;

　　(2)由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值.

　　【解答】解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0

　　由50x﹣1100>0，

　　解得x>22，

　　又∵x是5的倍数，

　　∴每辆车的日租金至少应为25元;

　　(2)设每辆车的净收入为y元，

　　当0

　　∵y1随x的增大而增大，

　　∴当x=100时，y1的最大值为50×100﹣1100=3900;

　　当x>100时，

　　y2=(50﹣ )x﹣1100

　　=﹣ x2+70x﹣1100

　　=﹣ (x﹣175)2+5025，

　　当x=175时，y2的最大值为5025，

　　5025>3900，

　　故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元.

　　24.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.

　　(1)如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN= AC;

　　【考点】旋转的性质;菱形的性质.

　　【分析】(1)连接BD，证明△ABD为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB，根据相似三角形的性质解答即可;

　　(2)分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可.

　　【解答】(1)证明：如图1，连接BD，交AC于O，

　　在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AD=AB，

　　∴△ABD为等边三角形，

　　∵DE⊥AB，

　　∴AE=EB，

　　∵AB∥DC，

　　∴ = = ，

　　同理， = ，

　　∴MN= AC;

　　(2)解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，

　　∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，

　　∴∠EDF=60°，

　　当∠EDF顺时针旋转时，

　　由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，

　　DE=DF= ，∠DEG=∠DFP=90°，

　　在△DEG和△DFP中，

　　，

　　∴△DEG≌△DFP，

　　∴DG=DP，

　　∴△DGP为等边三角形，

　　∴△DGP的面积= DG2=3 ，

　　解得，DG=2 ，

　　则cos∠EDG= = ，

　　∴∠EDG=60°，

　　∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积等于3 ，

　　同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于3 ，

　　综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3 .

　　25.如图，已知抛物线y= x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(﹣9，10)，AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点.

　　(1)求抛物线的解析式;(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标;

　　(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

　　【考点】二次函数综合题.

　　【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可;

　　(2)设点P(m， m2+2m+1)，表示出PE=﹣ m2﹣3m，再用S四边形AECP=S△AEC+S△APC= AC×PE，建立函数关系式，求出极值即可;

　　(3)先判断出PF=CF，再得到∠PCF=∠EAF，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况计算即可.

　　【解答】解：(1)∵点A(0，1).B(﹣9，10)在抛物线上，

　　∴ ，

　　∴抛物线的解析式为y= x2+2x+1，

　　(2)∵AC∥x轴，A(0，1)

　　∴ x2+2x+1=1，

　　∴x1=6，x2=0，

　　∴点C的坐标(﹣6，1)，

　　∵点A(0，1).B(﹣9，10)，

　　∴直线AB的解析式为y=﹣x+1，

　　设点P(m， m2+2m+1)

　　∴E(m，﹣m+1)

　　∴PE=﹣m+1﹣( m2+2m+1)=﹣ m2﹣3m，

　　∵AC⊥EP，AC=6，

　　∴S四边形AECP

　　=S△AEC+S△APC

　　= AC×EF+ AC×PF

　　= AC×(EF+PF)

　　= AC×PE

　　= ×6×(﹣ m2﹣3m)

　　=﹣m2﹣9m

　　=﹣(m+ )2+ ，

　　∵﹣6

　　∴当m=﹣ 时，四边形AECP的面积的最大值是，

　　此时点P(﹣ ，﹣ ).

　　(3)∵y= x2+2x+1= (x+3)2﹣2，

　　∴P(﹣3，﹣2)，

　　∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3，

　　∴PF=CF，

　　∴∠PCF=45°

　　同理可得：∠EAF=45°，

　　∴∠PCF=∠EAF，

　　∴在直线AC上存在满足条件的Q，

　　设Q(t，1)且AB=9 ，AC=6，CP=3

　　∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，

　　①当△CPQ∽△ABC时，

　　∴ ，

　　∴t=﹣4，

　　∴Q(﹣4，1)

　　②当△CQP∽△ABC时，

　　∴ ，

　　∴t=3，

　　∴Q(3，1).

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