函数的教学设计
篇一：函数的表示法教学设计
2.2 函数的表示法教学设计
鄂伦春中学 张建军
教学目标：
1.使学生掌握函数的常用的三种表示法；
2.使学生能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点； 3.使学生理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题； 4.培养学生数形结合与分类讨论的数学思想方法，激发学生的学习热情。
教学重点：
函数的三种表示法及其相互转化，分段函数及其表示法
教学难点：
根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数及其表示法。
教学过程：
一、新课引入
复习提问：函数的定义
问题1
（1）这份表格表示的是函数关系吗? （2）当x在(0,+∞)变化时呢? 怎么表示?
2
答：（1）是函数关系； （2）是函数关系；y＝x x∈(0，＋∞）或图象法。
在研究函数的过程中，采用不同的方法表示函数，可以帮助我们从不同的角度理解函数的性质，同时也是研究函数的重要手段.
问题2：请同学们回忆一下初中学过的函数有哪些常用的表示法？ 答：列表法是、图像法、解析法 二、新课讲解
请同学们阅读课本P28-P29例2以上部分内容。 1.列表法
在实际问题中常常使用表格，有些表格描述了两个变量间的函数关系，比如，某天一昼夜温度变化情况如下表.
问题：列表法是怎样定义的？有什么优、缺点？ 在学生回答的基础上师生共同总结：
（1）定义：用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法。
（2）优点：不用通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观.
缺点：只能表示有限个元素间的函数关系. 2．图象法：
人的心脏跳动强度是时间的函数，医学上常用的心电图，就是利用仪器记录心脏跳动的强度（函数值）随时间变化的曲线图.
问题：图像法是怎样定义的？有什么优、缺点？ 在学生回答的基础上师生共同总结：
（1）定义：用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图像法。
（2）优点：图像法可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势. 缺点：只能近似反映函数的变化情况. 3解析式法：
例如，设正方形的边长为x，面积为y，则y是x的函数，用解析式表示为y＝x x∈(0，＋∞） 问题：解析式法是怎样定义的？有什么优、缺点？ 在学生回答的基础上师生共同总结：
（1）解析式法：一个函数对应关系用自变量的解析表达式（简称解析式）表示出来的方法，称
为解析法。
（2）优点：解析法表示的函数关系能较便利地通过计算等手段研究函数性质.
缺点：一些实际问题很难找到它的解析式.
函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体，像我们非常熟悉的一次函数、二次函数，我们都可以用列表法是、图像法、解析法来表示和研究它们。
下面我们再通过几个具体实例来研究函数的列表法是、图像法、解析法的相互转化和应用。
例1、 请画出函数y?x的图像
2
解：由绝对值定义，得y?x??
?x,x?0
?x,x?0?
它的图像为第一和第二象限的角平分线，如右图所示
例2、 画出图像，并写出函数的解析式。
解：邮资M是信函质量m的函数，函数图像如下图所示
?1.20,?2.40,??
函数解析式为：M??3.60,
?4.80,???6.00,
0?m?2020?m?4040?m?60 60?m?8080?m?100
4．分段函数：像这样在定义域内的不同区间上对应着不同的解析式的函数叫分段函数
注意：（1）分段函数是一个函数，而不是“几个函数”；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 （3） 有些函数既可用列表法表示,也可用图像法或解析法表示.
三、思考交流
1.某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1，2，3，4，5}）个笔记本需要多少元？试用函数的三种表示法表示函数.
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝,解析式法：y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}
列表法：
图像法：多媒体显示
四、课堂练习
P31第1、2题。 五、课堂小结
师生共同归纳本节主要内容
1.掌握函数三种表示法的优、缺点，灵活运用三种表示法表示函数. 2.掌握运用分段函数来表达实际问题.
六、布置作业
P34习题2-2 A组 第1、2题。
篇二：优秀教案8-函数的表示法(1)
1.2.2 函数的表示法(1)
教材分析
本节内容是数学1第一章函数的第二节内容，学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，而且是加深理解函数概念的过程。同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而使得学习函数的表示也是向学生渗透数形结合方法的重要过程。本课题的重点是
课时分配
本节内容用1课时的时间完成，主要讲解函数的三种表示法及应用.
教学目标
重点:掌握函数的三种方法表示以及各自的特点并灵活应用函数的三种表示方法。 难点：使学生面对实际情境时会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
能力点：如何在实际问题中抽象出函数模型，数形结合、归纳推理的数学思想的运用.
教育点：经历学习内容与生活实际的联系，验证与归纳等数学活动，感受数学美，增强学生好学乐学的
情感
自主探究点：如何运用初中的方法表示例3中的函数及利用描点作图的方法画分段函数的图象. 考试点：能使用恰当的方法表示函数、会画分段函数的图象及研究其性质. 易错易混点：分段函数的解析式和图象.
拓展点：如何恰当利用函数的表示法研究函数的性质.
教具准备 多媒体课件、三角板 课堂模式 学案导学 一、引入新课
提出问题:
初中学过的三种表示法:解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？ 【设计意图】引导学生回忆表示函数常用的三种方法：解析法、列表法。 【师生活动】教师引导：1.2.1中实例（1）（2）（3）分别是什么方法表示函数关系？
学生讨论，也可能产生疑问，如认为只有解析式表示的才是函数，图像法和列表法不是函数的表达形式。 教师与学生总结：(1)解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)图象法:就是用图像表示两个变量间的对应关系。以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象.
(3)列表法:就是列出表格来表示两个变量间的对应关系。列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值.
【设计意图】让学生进一步理解并掌握三种函数表示法的含义。
二、探究新知
例3 某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).
师：能独立用三种方法表示例3中的函数吗？是否所有的函数都能用解析式表示？指导学生独立解决例3，并提出问题：（1）用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？ （2）用描点法画函数图象的一般步骤是什么？此题中的图象为什么不是一条直线？
【设计意图】注意本例的设问，此处“y?f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．
解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}, 用解析法可将函数y=f(x)表示为 y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.
用图象法可将函数y=f(x)表示为图1-2-2-1.
生：思考、解决例3,。 师生共同得出：（1）在写函数解析式时一定要写出函数的定义域，定义域第函数存在的前提。（2）描点法画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线。
由（1）得出函数y?5x,x??1,2,3,4,5?与函数y?5x是两个不同的函数，函数y?5x的图象是一条直线，函数y?5x,x??（1）在画函数图象时一定注意函数的1,2,3,4,5?的图象是5个离散的点。由此可以看出：定义域；（2）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。 师：比较三种表示法，他们各自的特点是什么？
师生共同总结：解析式的特点是：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式 来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．
列表法的特点是：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值. 图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况.
师：向学生强调①解析法：必须注明函数的定义域；②列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法：是否连线；④函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等. ） 师：判
断一个图象是不是函数图象的依据是什么？鼓励学生用自己学过的只是和方法探求结论。 生：积极讨论，得出结论：平行于y轴的直线（或y轴）与图象至多有一个交点。 师：思考：所有的函数都能用解析法表示吗？ 生：不能。例如1.2.1实例（2）（3）。 师：让学生举出例子。 练习：课本P23练习1
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.
【设计意图】让学生掌握对于一个具体的问题，应该如何选择恰当的方法表示问题中的函数问题，也让学生意识到不是所有的函数都可以用解析法表示。
师：指导学生阅读例题并思考：由题目中给出的表格能否直观地分析出三位同学的成绩高低？如何才能更好地比较三个人的成绩高低呢？ 生：认真思考提出自己的观点。
师：具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳定,成绩变化趋势. 解：由图可看到:
王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀;
张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大; 赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.
【设计说明】本例利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的各次考试成绩及各次考试的班级平均分.由表格区分三位同学的成绩高低不直观，所以教科书选择了图象法表示.要培养学生根据实际需要选择恰当的函数表示法的能力.要注意的是，图中的虚线不是函数图象的组成部分，之所以用虚线连接散点，主要是为了区分这三个函数，并且让三个函数的图象具有整体性，以方便比较.教学时应引导学生观察图象，学习如何从图象上获取有用信息，为分析每位同学的学习情况提供依据. 练习：课本P23练习2
三、理解新知
许多函数均可用几种不同的方式表示，函数的表示渗透数形结合方法是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，
四、运用新知
例5 画出函数y=|x|的图象.
师：学生思考函数图象的画法:①化简函数的解析式为基本初等函数;②利用变换法画出图象,根据绝对值的概念来化简解析式.
?x,x?0,
解法一：由绝对值的概念,我们有y=?
-x,x?0.?
所以,函数y=|x|的图象如图所示.
解法二：画函数y=x的图象,将其位于x轴下方的部分对称到x轴上方,与函数y=x的图象位于x轴上方的部分合起来得函数y=|x|的图象如图所示. 变式训练
1.课本P23练习3.
【设计意图】让学生练习分段函数的图象画法。
x?0,?x?4,
?2
2.已知函数y=?x?2x,0?x?4,
??x?2,x?4.?
(1)求f{f［f(5)］}的值; (2)画出函数的图象.
【设计意图】本题主要考查分段函数及其图象.f(x)是分段函数,要求f{f［f(5)］},需要确定f［f(5)］的取值范围,为此又需确定f(5)的取值范围,然后根据所在定义域代入相应的解析式,逐步求解.画出函数在各段上的图象,再合起来就是分段函数的图象.
解：(1)∵5>4,∴f(5)=-5+2=-3.∵-3<0,∴f［f(5)］=f(-3)=-3+4=1.
2
∵0<1<4,∴f{f［f(5)］}=f(1)=1-2×1=-1,即f{f［f(5)］}=-1. (2)图象如图所示
:
3.画函数y=(x+1),-x,x≤0,x>0的图象.
2
步骤:①画整个二次函数y=x的图象,再取其在区间(-∞,0］上的图象,其他部分删去不要;②画一次函数y=-x的图象,再取其在区间(0,+∞)上的图象,其他部分删去不要;③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象.如图所示
.
2
函数y=f(x)的图象位于x轴上方的部分和y=|f(x)|的图象相同,函数y=f(x)的图象位于x轴下方的部分对称到上方就是函数y=|f(x)|的图象的一部分.利用函数y=f(x)的图象和函数y=|f(x)|的图象的这种关系,由函数y=f(x)的图象画出函数y=|f(x)|的图象.
例6 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:
(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米),票价2元;
(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算),
如果某条线路的总里程为20千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象. 【设计意图】本题主要考查分段函数的实际应用,以及应用函数解决问题的能力.生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.在列出其解析式时,要充分考虑实际问题的规定,根据规定来求得解析式. 生：讨论交流题目的条件,弄清题意.
师：本例是一个实际问题,有具体的实际意义,根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.由于里程在不同的范围内,票价有不同的计算方法,故此函数是分段函数. 解：设里程为x千米时,票价为y元,根据题意得x∈(0,20］. 由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式
:
图1-2-2-13
?2,0?x?5,?3,5?x?10,?y=?
4,10?x?15,???5,15?x?20.
根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图1-2-2-13所示.
【设计说明】①本例具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义;
②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.
变式训练：上海中学高三测试,理7某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100千米,票价是每千米0.5元,如果超过100千米,超过部分按每千米0.4元定价,则客运票价y(元)与行程千米数x(千米)之间的函数关系式是________.
分析:根据行程是否大于100千米来求出解析式. 答案：y=?
0?x?100,?0.5x,
10?0.4x,x?100.?
五、课堂小结
教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：
教师总结: 许多函数均可用几种不同的方式表示，函数的表示渗透数形结合方法是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，
六、布置作业
1．课本P24练习3、5、
2.书面作业练习：课本P24练习7、8 选做题：练习：课本P24练习1、2、3、4
篇三：函数表示法 经典教案
1.2.2 函数的表示法 （一）
一、说教材
函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一．
学习函数表示法，可以加深对函数概念的理解，领悟数形结合，化归等函数思想，函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．
解析法优点：
一是简明、精确地概括了变量间的关系；
二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值． 解析法缺点： 不直观形象
图象法的优点：
直观形象地表示自变量的变化的趋势，在生产和生活中有许多应用
缺点：不精确 列表法的优点：
不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．银行的利率表等．
缺点：只能表示自变量个数较少的情况
在研究函数时，函数有三种表示方法，但并不是每个函数都可以用三种方法表示，根据问题的特点，恰当的选取表示方法。
分段函数是一类重要的函数．所谓分段函数，就是在同一个定义域的不同子集上对应关系不同的函数．这类似于，同一个国家的不同地区可以实行不同的社会制度． 二、说目标
1、知识目标：
(1)理解函数的三种表示方法；
(2)掌握简单的分段函数，并能简单应用． 2、能力目标：
(1) 进一步提高对函数本质的理解；
(2) 初步培养学生运用函数知识解决实际问题的能力． 3、情感目标：
通过本节课的教学，使学生进一步认识到，数学源于生活，数学也可应用于生活，能够解决生活中的实际问题． 三、说重难点
1．函数三种表示方法的优缺点，恰当选取表示方法。 2．分段函数的理解
突破方法：通过探究1、说明函数有三种表示方法，而例1 ，无法用列表法表示，引出问题，加上思考2，说明，函数有三种表示方法，但并不是每个函数都可以用三种方法表示，应根据问题的特点，恰当的选取表示方法。如何选取呢，就要研究其优缺点，一气呵成，使学生易于接受
分段函数，通过实例实践，加上画含绝对值号的函数的图象，让学生体验到，分段函数的问题应该分段解决，然后再综合．这也为下一步研究分段函数的单调性等性质打下伏笔．
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么-------毕达哥拉斯
四、说教学基本流程
五、教学过程设计
一、自主学习
我们在初中就已经知道函数的三种表示法：解析法，图象法，列表法． 探索
1：北方馒头的单价是0.5
元，卖
x个馒头得钱y元，刚5岁的儿童暑期帮父母卖馒头，只要你说出购买个数，他就能准确说出钱数，其秘笈如右图，儿童的秘笈是用 法表示的函数，试用其它两种表示方法表示该函数。 （1）y?0.5x,x?N
（2）
*
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么-------毕达哥拉斯
设计意图：通过具体例子，让学生用三种不同的表示方法来表示的同一个函数，加深对函数概念的理解．
根据学生探究结果，点评：
1、函数概念中的对应关系、定义域、值域是一个整体．写解析式要注明定义域 2、函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等 学习了三种方法就是应用，看例1：
例1.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）。
如果某条路线的总里程为20公里，请根据题意，写出票价y元与里程x公里之间的函数解析式，并画出函数的图象。
?2,0?x?5；?3,5?x?10；?
解析：由题意知，自变量x的取值范围是：?0,20?；函数解析式为：y??
?4,10?x?15；??5,15?x?20.
二、点拨归纳
思考
1、你能用列表法表示例1中的函数吗？ 答：不能，自变量个数较多
2、心电图、股票走势图是函数图象吗，能用函数解析式表示吗？ 答：不能用解析式表示。
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么-------毕达哥拉斯
动手试一试：画出函数y?x的图象.
探究：
?2,0?x?5,?3,5?x?10,
?x,x?0,?
像例1及试一试中所涉及的函数， y??；y??是在定义域不同
??x,x?0.?4,10?x?15,
??5,15?x?20.
子集上对应关系不同的函数称为分段函数
1、 分段函数是一个函数吗？答：是
2、 分段函数的定义域指各段自变量取值集合的并集吗？值域呢？答：是；也是
所谓分段函数，就是在函数的同一个定义域的不同子集上对应关系不同的函数．类似于大陆、台湾是同一个国家的不同地区，社会制度可以不同．
三、自检互评
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么-------毕达哥拉斯
1、如下图可作为函数y?f(x)的图象的是（ D ）
.
A. B. C. D.
2、已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径 为y，则y关于x的解析式为（A ）
A.y?
222x B.y?x C.y?xD.y?x 24816
?x2,0?x?1
3、已知f(x)??，则函数
x?1,?1?x?0?
11
f(?)?f(x)的定义域为??1,， ?22
若f(x0)?
11
，则x0=
?或 222
四、拓展迁移
1、画出函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图象.
小结：
本节课学习的主要内容:
1、 2、 分段函数概念及应用 作业：
必做题： p.24 A组 7、8、9 选做题： B组 3、
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