数学圆锥曲线最经典题型教案

　　第一定义、第二定义、双曲线渐近线等考查

数学圆锥曲线最经典题型教案

　　1、(2010辽宁理数)设双曲线的个焦点为F;虚轴的个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐

　　近线垂直，那么此双曲线的离心率为

　　(A) (B) (C) (D)

　　【答案】D

　　2、(2010辽宁理数)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足.如果直线AF的斜率为 ,那么|PF|=

　　(A) (B)8 (C) (D) 16

　　【答案】B

　　3、(2010上海文数)8.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 y28x 。

　　4、(2010全国卷2理数)(15)已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为 .若，则 .

　　若双曲线 - =1(b0)的渐近线方程式为y= ，则b等于。

　　【答案】1

　　5、已知椭圆的两焦点为 ,点满足 ,则| |+ |的取值范围为_______，直线与椭圆C的公共点个数_____。

　　6、已知点P是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，I为的内心，若成立，则双曲线的离心率为(▲ )

　　A.4 B. C.2 D.

　　8、(2010重庆理数)(10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是

　　A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线

　　解析：排除法轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B

　　9、(2010四川理数)椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是

　　(A) (B) (C) (D)

　　解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，

　　即F点到P点与A点的距离相等

　　而|FA|=

　　|PF|[a-c,a+c]

　　于是 [a-c,a+c]

　　即ac-c2 ac+c2

　　又e(0,1)

　　故e

　　答案：D

　　10、(2010福建理数)若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )

　　A. B. C. D.

　　【答案】B

　　11、(北京市海淀区2010年4月高三第一次模拟考试理科试题)已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，双曲线的离心率的取值范围为 .则该椭圆的离心率的取值范围是 .

　　12、(2010年4月北京市西城区高三抽样测试理科) 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则的最小值为___________.

　　13、(北京市东城区2010届高三第二学期综合练习理科)直线过双曲线的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若原点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 .

　　14、(2010全国卷1文数)已知、为双曲线C: 的左、右焦点，点P在C上， = ，　(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8

　　15、(2010全国卷1理数)(9)已知、为双曲线C: 的左、右焦点，点P在C上， P = ，则P到x轴的距离为

　　(A) (B) (C) (D)

　　16、(2010重庆理数)(14)已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足 ,则弦AB的中点到准线的距离为___________.

　　解析：设BF=m,由抛物线的定义知

　　中，AC=2m,AB=4m,

　　直线AB方程为

　　与抛物线方程联立消y得

　　所以AB中点到准线距离为

　　17、(2010上海文数)已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.

　　(1)若点满足，求点的坐标;

　　(2)设直线交椭圆于、两点，交直线于点 .若，证明：为的中点;

　　(3)设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足 ?令，，点的坐标是(-8，-1)，若椭圆上的`点、满足，求点、的坐标.

　　解析：(1) ;

　　(2) 由方程组，消y得方程，

　　因为直线交椭圆于、两点，

　　所以0，即，

　　设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，

　　则，

　　由方程组，消y得方程(k2k1)xp，

　　又因为，所以，

　　故E为CD的中点;

　　(3) 因为点P在椭圆内且不在x轴上，所以点F在椭圆内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程.

　　，直线OF的斜率，直线l的斜率，

　　解方程组，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3).

　　18、(2010全国卷2理数)(21)(本小题满分12分)

　　己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为 .

　　(Ⅰ)求C的离心率;

　　(Ⅱ)设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切.

　　19、(2010安徽文数)椭圆经过点，对称轴为坐标轴，

　　焦点在轴上，离心率。

　　(Ⅰ)求椭圆的方程;

　　(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程。

　　20、(2010全国卷1理数)(21)(本小题满分12分)

　　已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.

　　(Ⅰ)证明：点F在直线BD上;

　　(Ⅱ)设，求的内切圆M的方程 .

　　21、(2010江苏卷)在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T( )的直线TA、TB与椭圆分别交于点M 、，其中m0, 。

　　(1)设动点P满足 ,求点P的轨迹;

　　(2)设，求点T的坐标;

　　(3)设 ,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。

　　22、在直角坐标系中，点M到点的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线与轨迹C交于不同的两点P和Q.

　　(I)求轨迹C的方程;

　　(II)当时，求k与b的关系，并证明直线过定点.

　　解：(1) 的距离之和是4，

　　的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，

　　其方程为 3分

　　(2)将，代入曲线C的方程，

　　整理得

　　5分

　　因为直线与曲线C交于不同的两点P和Q，

　　所以 ①

　　设，则

　　② 7分

　　且 ③

　　显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A(-2，0)，

　　所以

　　由

　　将②、③代入上式，整理得 10分

　　所以

　　即经检验，都符合条件①

　　当b=2k时，直线的方程为

　　显然，此时直线经过定点(-2，0)点.

　　即直线经过点A，与题意不符.

　　当时，直线的方程为

　　显然，此时直线经过定点点，且不过点A.

　　综上，k与b的关系是：

　　且直线经过定点点 13分

　　23、(北京市朝阳区2010年4月高三年级第二学期统一考试理科)(本小题满分13分)

　　已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P(2，1)的直线与椭圆C在第一象限相切于点M .

　　(1)求椭圆C的方程;

　　(2)求直线的方程以及点M的坐标;

　　(3))是否存过点P的直线与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足 ?若存在，求出直线l1的方程;若不存在，请说明理由.

　　解(Ⅰ)设椭圆C的方程为，由题意得

　　解得，故椭圆C的方程为 .4分

　　(Ⅱ)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可调直线l的议程为

　　由得 . ①

　　因为直线与椭圆相切，所以

　　整理，得解得 [

　　所以直线l方程为

　　将代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为 9分

　　(Ⅲ)若存在直线l1满足条件，的方程为，代入椭圆C的方程得

　　因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为

　　所以

　　所以 .

　　又，

　　因为即，

　　所以 .

　　即

　　所以，解得

　　因为A，B为不同的两点，所以 .

　　于是存在直线 1满足条件，其方程为 13分

　　24、直线的右支交于不同的两点A、B.

　　(I)求实数k的取值范围;

　　(II)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在，求出k的值;若不存在，说明理由.

　　答案：.解：(Ⅰ)将直线

　　①

　　依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

　　(Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得

　　②

　　假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).

　　则由FAFB得：

　　整理得

　　③

　　把②式及代入③式化简得

　　解得

　　可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.

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