实数基本定理及闭区间上连续函数性质证明
§1. 关于实数的基本定理
一 子列 定义1 在数列 EMBED Equation.DSMT4 中，保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列，就称为 EMBED Equation.DSMT4 的子列，记为 EMBED Equation.DSMT4 。 子列的极限和原数列的'极限的关系
定理1 EMBED Equation.DSMT4 若 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的任何子列 EMBED Equation.DSMT4 都收敛，并且它的极限也等于 EMBED Equation.DSMT4 。
注：该定理可用来判别 EMBED Equation.DSMT4 不收敛。 例：证明 EMBED Equation.DSMT4 不收敛。
推论：若对任何 EMBED Equation.DSMT4 ： EMBED Equation.DSMT4 都有 EMBED Equation.DSMT4 收敛，则 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 的极限存在。
二 上确界和下确界 上确界的定义，下确界的定义
定理2 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界。
定理3 单调有界数列必收敛.
三 区间套定理 区间套: 设 EMBED Equation.DSMT4 是一闭区间序列. 若满足条件
ⅰ> 对 EMBED Equation.DSMT4 , 有 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ;
ⅱ> EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .
则称该闭区间序列为为区间套 .
注：区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.( 都不是).
例： EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 都是区间套.但 EMBED Equation.DSMT4
定理4设 EMBED Equation.DSMT4 是一闭区间套. 则存在唯一的点 EMBED Equation.DSMT4 属于所有的区间。
注：区间套中的任何一个条件去掉，定理一般将不成立。
四 致密性定理
定理5 任一有界数列必有收敛子列。
推论 若 EMBED Equation.DSMT4 是一个无界数列，则存在子列 EMBED Equation.DSMT4 。
五 Cauchy收敛原理
定理6 数列 EMBED Equation.DSMT4 收敛 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 当 EMBED Equation.DSMT4 时，有 EMBED Equation.DSMT4 。
注：定理可通过数列本身来判别它收敛还是发散。
例：设 EMBED Equation.DSMT4 ，证明 EMBED Equation.DSMT4 发散。
例：设 EMBED Equation.DSMT4 ，证明 EMBED Equation.DSMT4 收敛。
六 有限覆盖定理 复盖: 先介绍区间族 EMBED Equation.DSMT4 .
定义 (复盖 )：设 EMBED Equation.DSMT4 是一个数集, EMBED Equation.DSMT4 是区间族.若对 EMBED Equation.DSMT4 使得 EMBED Equation.DSMT4 , 则称区间族 EMBED Equation.DSMT4 复盖了 EMBED Equation.DSMT4 , 或称区间族 EMBED Equation.DSMT4 是数集 EMBED Equation.DSMT4 的一个复盖. 记为 EMBED Equation.DSMT4 若每个 EMBED Equation.DSMT4 都是开区间，则称区间族 EMBED Equation.DSMT4 是开区间族.开区间族常记为 EMBED Equation.DSMT4 .
定义 (开复盖 )：数集 EMBED Equation.DSMT4 的一个开区间族复盖称为 EMBED Equation.DSMT4 的一个开复盖,简称为 EMBED Equation.DSMT4 的一个复盖.
子复盖、有限复盖、有限子复盖.
例： EMBED Equation.DSMT4 复盖了区间 EMBED Equation.DSMT4 , 但不能复盖 EMBED Equation.DSMT4 。
定理7 闭区间 EMBED Equation.DSMT4 的任一开复盖必有有限子复盖。
注：在定理的条件中，若 EMBED Equation.DSMT4 不是开区间集，或 EMBED Equation.DSMT4 为非闭区间，则从 EMBED Equation.DSMT4 中就不一定能选出有限个区间来覆盖。
§2闭区间上连续函数性质的证明
一 有界性定理 定理1 闭区间 EMBED Equation.DSMT4 上的连续函数必定有界。
注：开区间上的连续函数既可能有界，也可能无界。
二 最大值和最小值定理 定理2 闭区间 EMBED Equation.DSMT4 上的连续函数必定有最大值和最小值。
三 零点存在定理 定理3 EMBED Equation.DSMT4 在闭区间 EMBED Equation.DSMT4 连续，且 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 内至少有一个根。
证法一(用区间套定理); 证法二(用确界原理); 证法三 (用有限复盖定理)。
四 一致连续性定理 定理4 闭区间 EMBED Equation.DSMT4 上的连续函数 EMBED Equation.DSMT4 必定一致连续。
证法一 (用区间套定理); 证法二 (用致密性定理)。
武夷学院经济与数学系 《数学分析》 授课教案